Rosenau-KdV-RLW 方程的高精度线性化差分格式

易莉佳，陈 举，胡劲松

（西华大学理学院,四川 成都 610039）

1 预备知识

Rosenau-KdV-RLW 方程[1-3]

作为非线性浅水波的一个重要模型有着广泛的应用，文献[1-3]研究了它的孤波解和不变量，其数值方法研究也备受关注[4-14]。本文考虑如下一类Rosenau-KdV-RLW 方程初边值问题：

文献[4-5]对问题（2）—（4）分别提出了拟紧致线性格式和加权线性格式，文献[7-8]在时间层进行线性化离散，分别建立了新的三层和两层线性化差分格式，提高了数值求解的效率，但理论精度都只达到2 阶。为了进一步提高数值方法的理论精度，本文在时间层对非线性项uux进行线性化外推离散，在空间层进行外推组合离散，从而对问题（2）—（4）构造了一个理论精度为O(τ2+h4)的三层线性化数值差分格式，利用离散泛函分析方法和数学归纳法不仅证明了其差分解的存在唯一性，还证明了该差分格式的收敛性和稳定性。最后数值实验证明该差分方案是有效的。

2 差分格式及其可解性

在时间层和空间层分别进行外推数值离散，对问题（2）—（4）构造如下三层外推有限差分数值求解格式：

定理1当取时间步长 τ足够小时，线性差分格式（5）—（8）的数值解是唯一存在的。

证明：由式（6）和式（7）知，显然U0和U1是线性差分格式（5）—（8）的数值解。现假设Un-1和Un（n≤N-1）是唯一存在的，则

考虑式（5）中的未知层Un+1对应的齐次线性方程组，有

以Un+1对式（10）取内积，由式（8）、式（9）和引理1，并利用分部求和公式[16]，并且注意到

取时间步长 τ足够小，使得当 (1-Cτ)>0时，关于Un+1的齐次线性方程组（10）有且仅有唯一零解，于是关于Un+1的非齐次线性方程组（6）的解是唯一存在的。从而由归纳假设知，线性有限差分格式（5）—（8）的数值解是存在且唯一的。

3 差分格式的收敛性和稳定性

将外推线性化有限差分数值格式（5）—（8）的截断误差定义为：

且由Taylor 展开公式显然有，当h,τ →0时

引理2[7]假设u0∈H2，初边值问题（2）—（4）的连续解满足如下估计式：

定理2假设u0∈H2，若空间步长h和时间步长τ足够小，则外推线性化差分格式（5）—（8）的数值解Un以范数 ‖·‖∞收敛到初边值问题（2）—（4）的连续解，此时收敛阶为O(τ2+h4)。

证 明记，用（12）—（15）式减去（5）—（8）式，可得

根据截断误差式（16）和引理2 可知，存在与空间步长h和 时间步长 τ都无关的常数Cu和Cr,满足

再根据式（19）以及初始条件（6）可得估计式：

将式（18）两端与e1作内积，再由边界条件（20），得

于是根据式（16）和Cauchy-Schwarz 不等式以及引理1 可以推出

其中C1是 与 τ 和h无关的常数。

假设

其中Cl(l=2,3,···,n)为与空间步长h和 时间步长 τ都无关的常数。利用Cauchy-Schwarz 不等式，再由离散Sobolev 嵌入不等式[16]有

并由离散分部求和公式[16]，整理得

根据微分中值定理，结合引理2 有

此时取 τ 和h充分小，使得

于是，由引理1、引理2 和式（25）、式（27）、式（28），利用Cauchy-Schwarz 不等式有

同理可得

将式（29）—式（31）代入式（26），整理得

将式（32）两端同时乘以τ，从1到n递推求和，再根据引理1 整理可得

又根据式（21）、式（23）有

最后再根据离散的Sobolev 不等式[16]，即得

定理3假设u0∈H2，如果空间步长h和 时间步长 τ充分小，那么外推线性化有限差分格式（5）—（8）的数值解满足如下估计式：

证明由定理2 的结论，当时间步长 τ和空间步长h足够小时，有

由定理3 可知，如果时间步长 τ和空间步长h足够小，外推线性化有限差分格式（5）—（8）的数值解Un以范数 ‖·‖∞关于初始值绝对稳定。

4 数值实验

Rosenau-KdV-RLW 方程（1）的孤立行波解[7]为

为了验证本文外推线性化有限差分算法的可行性，取初值函数u0(x)=u(x,0)进行数值模拟求解，固定xL=-30，xR=120，T=40。为了验证差分格式（5）—（8）对函数u(x,t)数值求解时在不同范数下的理论精度为O(τ2+h4)，分别定义

就 τ 和h的 不同取值，外推线性化有限差分格式（5）—（8）的数值解在不同时刻的误差及其对理论精度的数值检验见表1—表2。

表1 不同时刻数值解的误差Tab.1 Error of numerical solution at different time

表2 对格式的理论精度O (τ2+h4)的数值模拟Tab.2 Numerical example of the scheme on theoretical precision O(τ2+h4)

数值结果表明，本文对初边值问题（2）—（4）所提出的外推线性化有限差分数值格式（5）—（8）是有效的。更为重要的是，该格式是线性的，计算时间比较节约。