Fermat 型函数方程的亚纯解

段江梅，韩 艳，胡晓飞，杨惠娟

（昭通学院数学与统计学院，云南昭通 657000）

1 引言及主要结果

本研究采用Nevanlinna 值分布理论的基本结果及其标准记号〔1-2〕，文中f（z），g（z），h（z），w（z）都是指亚纯函数，f（s）（z）表示f（z）的s 阶导数（s 为正整数），f（z）的级，其中T（r，f）为f（z）的Nevanlinna 特征函数。

主要研究下述问题：是否存在复平面中的非常数亚纯函数f（z），g（z），h（z），w（z）满足函数方程

其中n 为大于等于2 的正整数。

关于函数方程（1）在整函数环，或是亚纯函数域上非常数解的状况，已有如下结果：

Hayman〔3〕和Gundersen 等〔4〕证明了：

定理A 当n≥16 时，函数方程（1）不存在非常数亚纯函数解。

定理B 当n≥13 时，函数方程（1）不存在非常数整函数解。

当n=8 时，Gundersen 在文献〔5〕中给出了满足函数方程（1）的超越亚纯函数解。

1979 年，Newman 和Slater 在文献〔6〕中第486 页的等式表明：当n≤7 时，函数方程（1）存在超越整函数解。

关于函数方程（1）整函数解和亚纯函数解的存在性问题，还有下述问题没有解决：

问题1 当9≤n≤15 时，函数方程（1）是否存在非常数的亚纯函数解？

问题2 当8≤n≤12 时，函数方程（1）是否存在非常数的整函数解？

本研究主要对问题1 进行探究，得到如下结论：

定理1 函数方程

不存在级小于1 的非常数亚纯解。

定理2 函数方程

不存在级小于1 的非常数亚纯解。

2 几个引理

引理1 设fj（z）（j=1，2，…，k）为区域D 内k 个亚纯函数。若f1，…，fk线性无关，则f1，…，fk的Wronskian行列式〔7〕

引理2 设f（z）为复平面上的亚纯函数，k 为正整数，则f（z）与f（k）（z）有相同的增长级〔2〕。

引理3 若fj（z）（j=1，2，…，m）为非常数亚纯函数〔8-12〕，且

特别地，若非常数亚纯函数f（z）的级ρf＜1，则有

3 定理的证明

3.1 定理1 的证明假设方程（2）存在级小于1 的非常数亚纯解f（z），f '（z），h（z），w（z），则f（z），f '（z），h（z），w（z）一定线性无关，从而W（f（z），f'（z），h（z），w（z））≢0。

记g（z）=f'（z），由（2）式可得方程组

令

其中L（1μ）＝14μμ'2+μ2μ"，L（2μ）＝182μ'3+42μμ'μ"+μ2μ'"，μ 为非常数亚纯函数，则W（f1（5z），g1（5z），h1（5z），w1（5z））=3375f12g12h12w12≢0，从而

另一方面，由克莱姆法则得

其中A-m，C-n，D-p均为不等于0 的某个常数，O（1）为解析部分，每次出现不一定相同，则g（z）=f'（z）=

于是由（6）式得

下面分情况进行讨论：

（i）若m+1=n=p≥2，则9（m+1）-3（n+p）-3=3（m+1）-3＞0，所以在z0处解析。

（ii）若m+1=n＞p≥1，则9（m+1）-3（n+p）-3=3［2（m+1）-（p+1）］＞0，故在z0处解析。

（iii）若m+1=n＞p＝0，此时m+1＝n≥2，则9（m+1）-3（n+p）-3=6（m+1）-3＞0，因此在z0处解析。

综上可知，断言成立。

由（5）～（8）式可得

又由引理2 和方程（2）知

故由引理3 得

3.2 定理2 的证明类比定理1 的证明过程易知定理2 成立。

以下对重点步骤作简要分析：将定理1 中的g（z）替换为f（s）（z），一方面容易推得≢0。另一方面，可以证明为整函数并且≡0。

由于12（m+s）-3（m+n+p）-6＝3（m+s-n）+3（m+s-p）+3m+（6s-6）＞0，因此在z0处解析。

又由引理2 和方程（3）知ρf＝ρf（s）＝ρh＝ρh'=ρw＝ρw'＜1，故由引理3 得