一种求解Riccati方程的方法

宋华兵

（肇庆学院数学与统计学院，肇庆 526061）

1 引言

为了更好的获得Riccati 方程的解析解，本研究考察了不同类型微分方程存在相同特解这一现象，在求解思路上提出以一阶线性微分方程为基础，引出Riccati方程的可解条件，进而达到求解的目的.

2 不同类型微分方程之间存在相同特解现象

为了获得可解Riccati 方程，下面给出一个例子说明不同类型微分方程之间存在相同特解的现象，考察一阶线性非齐次方程

及Riccati方程

容易验证，y=x2既满足（1）式又满足（2）式，即（1）式和（2）式具有相同的特解y=x2.

此例说明在一定条件下，一阶线性非齐次方程与Riccati方程之间可能存在相同的特解，由Riccati方程求解方法可知，如果知道Riccati 方程的一个特解y1，则可通过变换u=1/(y-y1)，将Riccati 方程化为一阶线性非齐次方程，进而求得其通解.

本研究将从这一现象出发，探讨一阶线性微分方程与Riccati 方程之间存在相同特解的条件，据此寻求可解的Riccati方程，并给出Riccati方程求解示例.

3 具有相同特解的条件

定义1：若一阶线性微分方程

与Riccati方程

具有相同的非零特解，则可先解（3）式，获得特解，然后求Riccati方程（4）的通解.此时，称一阶线性微分方程（3）式为Riccati方程（4）式的引导方程.

由于（3）式可通过常数变异法得到其通解，不妨设y=y1(x)≠0 是（3）式的非零特解，若其也是Riccati 方程的特解，则有

整理得y=y1(x)≠0 为Riccati方程（4）的特解的条件：

例1：考察引导方程

及Riccati方程

容易验证它们具有相同的特解y=x2，此时的特解条件为f(x)+g(x)y1=p(x)+q(x)y1+.

对于特解条件，若f(x)=p(x)，则特解条件可简化为：g(x)=q(x)+r(x)y1.

定理1：当f(x)=p(x)时，引导方程非零特解y=y1(x)也是Riccati方程（4）式的特解的充分必要条件是

证明：充分性：若y=y1(x)也是（4）式的解,代入（4）得

又因为y=y1(x)是（3）式的解，有

将（6）式代入（5）式得：p(x)+g(x)y1=p(x)+q(x)y1+r(x)，由y1≠0 简化得r(x)=必要性：若则（4）式为，当y=y1(x)时，（4）式变成（3）方程两边相等，即有解y=y1(x).

推论1: 当f(x)=p(x) 时,若，即g(x)-q(x)=μ（常数），则时，引导方程非零特解y=y1(x)也是方程（4）的特解.

例2：考察引导方程

及Riccati方程

其中f(x)=p(x)=x,g(x)=x,q(x)=x+1,求r(x)为何值时（8）式可解.

例3：引导方程

及Riccati方程

其中，p(x)=f(x)=1,g(x)=1,q(x)=2,g(x)-q(x)=-1.

解：求解（9）式可得其通解为y=Cex-1 ，（C 为任常数），若取C=0 得特解y1=-1.由推论1，若=1时，y1=-1也是方程（10）得特解.此时Riccati方程（10）为

为常系数Riccati方程，令z=y-y1=y+1，则（11）式可化为=z2

解得：z=，其中C为任常数，可得常系数Riccati方程（11）式的通解-1.

另，对（11）式也可采用分离变量法求解，同样可得其通解为y=-1，例3说明此方法也可用于常系数Riccati方程求解.

推论2: 当f(x)=p(x)时,若g(x)-q(x)=μ(x)，则r(x)=时，引导方程非零特解y=y1(x)也是方程（4）的特解.

例4: 引导方程

及Riccati方程

其中p(x)=f(x)g(x)=1,q(x)=ex,g(x)-q(x)=1-ex.

解：方程（9）式通解为：y=Cex-1 ，取C=1 时的特解y1=ex-1.则当r(x)=-1 时，y1=ex-1为方程=1+exy-y2的特解.

推论3：当f(x)=p(x)时,若q(x)=g(x)-r(x)y1，则引导方程非零特解y=y1(x)也是方程（4）的特解.

例5：引导方程

解：方程（9）有特解y1=ex-1，由推论3，当q(x)=1-e-x(ex-1)=e-x时，Riccati方程

有特解y1=ex-1.

由例3至例5可知，同一个一阶线性微分方程，可作为不同Riccati 方程的引导方程，说明引导方程法求解Riccati方程具有一对多的性质.

4 Riccati方程求解示例

通过例2的分析，可知求Riccati方程（8）

的通解.

解：令z=y-y1可得

为伯努利方程，两边乘以z-2得

令u=z-1，，代入上式得

求解可得:

则方程（14）的通解为：y=z+y1=