控制竖向几何缺陷的特征缺陷模态法*

李春华 贺 盛,4 熊安平

(1.广西大学土木建筑工程学院, 南宁 530004; 2.广西大学, 广西防灾减灾与工程安全重点实验室, 南宁 530004; 3.广西大学, 工程防灾与结构安全教育部重点实验室, 南宁 530004; 4.广西博世科环保科技股份有限公司, 南宁 530007; 5.江西农业大学工学院, 南昌 330045)

0 引 言

单层网壳结构对缺陷高度敏感,实际网壳结构不可避免地具有各种初始缺陷[1],相关技术规程[2]中规定进行网壳全过程分析时应考虑初始几何缺陷。国内外学者对网壳结构初始缺陷进行了诸多研究,Kani等采用网壳的切线刚度矩阵求得网壳的失稳模态[3],其结论说明,节点位置的偏差比杆件的缺陷影响更大。See等对由切线刚度矩阵得到的失稳模态进行了分析[4],其结论证实,用最低阶失稳模态可以准确预测结构的失稳区域,而且按最低阶失稳模态确定初始缺陷后其计算结果与试验值比较接近。Borri等采用蒙特卡洛法模拟缺陷的大小和分布,研究单层网壳在随机缺陷下的影响[5]。1992年国内学者陈昕等提出随机缺陷模态法和一致缺陷模态法后[6],这两种方法被广泛使用。一致缺陷模态法基本思路是试图寻找最不利的缺陷分布,进而通过一次计算,求出结构最不利缺陷下的稳定极限承载力,但求得的承载力在矢跨比较大时可靠度较低[7-8]。随机缺陷模态法假设初始几何缺陷分布是随机的,通过多次计算求出结构的稳定承载力。由于计算量大,不利于在实际工程中的应用。有学者对这两种方法进行了改进[9-11],形成了改进随机缺陷模态法、特征缺陷模态法和改进的一致缺陷模态法等,其中特征缺陷模态法也被称为一致缺陷模态法。但一致缺陷模态法和随机缺陷模态法的弊端依然没有很好地解决,学者们还在研究带有初始几何缺陷的网壳结构稳定承载力分析的方法[7,12-15]。其中蔡健等提出了计算量较少的N阶特征缺陷模态法[7],认为在N=20时,N阶特征缺陷模态法能到达“3σ原则”概率可靠度。

目前实际工程设计中常用的模拟网壳结构初始几何缺陷的方法是特征缺陷模态法,其中,N阶特征缺陷模态法受到了广泛关注。但特征缺陷模态法在矢跨比较大时其概率可靠度较低[7],会带来安全隐患,而N阶特征缺陷模态法的计算量较特征缺陷模态法大。为了快速准确地分析带有初始几何缺陷的网壳结构稳定性,对特征缺陷模态法在矢跨比较大时概率可靠度较低的原因进行了分析,提出控制竖向几何缺陷的特征缺陷模态法。运用所提方法和N阶特征缺陷模态法对网壳结构进行了弹塑性荷载-位移全过程分析。结果表明,控制竖向几何缺陷的特征缺陷模态法在矢跨比较大时依然可以安全地评估网壳结构的稳定性能,解决了特征缺陷模态法在矢跨比较大时可靠度较低的问题。

1 特征缺陷模态法和随机缺陷模态法初始几何缺陷值分析

1.1 特征缺陷模态法

运用特征缺陷模态法进行网壳结构稳定分析的主要步骤如下。

步骤1:对网壳结构进行线性屈曲分析,得到结构的最低阶屈曲模态。

步骤2:用最低阶屈曲模态作为初始几何缺陷分布,根据初始几何缺陷最大计算值R更新结构,R按JGJ 7—2010《空间网格结构技术规程》[2]取结构跨度的1/300。

步骤3:对更新后的结构进行非线性分析得到结构的稳定极限承载力。

(1)

因为Δs,max为三维空间全位移,Δz,max为竖向位移,所以Δz,max/Δs,max<1,并且比值越小,所引入的竖向初始几何缺陷最大值Rc,z越小于R。

1.2 随机缺陷模态法

运用随机缺陷模态法进行网壳结构稳定分析时,假设结构每个节点的安装误差随机变量都是相互独立的,每个节点在空间直角坐标三个方向的安装偏差均符合两倍均方差范围内的正态概率密度函数。即每个节点每个方向的安装偏差随机变量为RX/2,其中随机变量X服从标准正态分布,R为最大安装偏差,偏差随机变量的范围是[-R,R]。

运用随机缺陷模态法进行网壳结构稳定分析的基本步骤如下。

步骤1:确定初始几何缺陷最大计算值R,对每个节点引入最大值为R的三个方向的初始安装偏差,形成1个随机的带有初始几何缺陷计算模型,对此模型进行非线性稳定分析,得到1个稳定承载力,此稳定承载力为样本空间中的1个样本。

步骤2:重复步骤1的内容进行多次计算,得到多个稳定承载力,形成稳定承载力样本空间中的n个样本。

步骤3:基于概率论与数理统计方法,对稳定承载力样本进行统计特性分析,确定结构最终的稳定承载力。

根据随机缺陷模态法的假设和计算步骤,假设x轴、y轴和z轴方向的几何缺陷最大值分别为Rr,x、Rr,y和Rr,z,则有Rr,x、Rr,y和Rr,z均等于R。

1.3 两种方法的初始几何缺陷值对比

特征缺陷模态法控制Rc,s=R,从而Rc,z

由于网壳结构的竖向几何缺陷往往起到控制作用,仅引入节点竖向安装偏差所得的稳定承载力值接近于全方向缺陷情况[14]。若以随机缺陷模态法的计算结果为参考,显然Δz,max/Δs,max明显小于1时,Rc,z将明显小于Rr,z。由文献[16]可知,单层网壳结构稳定极限承载力随初始几何缺陷最大值的增加而不断降低,导致特征缺陷模态法计算的稳定极限承载力将大于随机缺陷模态法,因此高估了网壳结构的稳定极限承载力,使其在与随机缺陷模态法比较时可靠度较低。

2 算例线性屈曲分析

线性屈曲分析的特征值方程为:

([KE]+λi[KG]){φi}=0

(2)

式中:[KE]为结构的弹性刚度矩阵;[KG]为结构几何刚度矩阵,也称为初应力刚度矩阵;λi为第i阶特征值;{φi}为与λi对应的特征向量,是相应该阶屈曲荷载时结构的变形形状,即屈曲模态。

为考察不同矢跨比和不同阶次线性屈曲模态节点全位移最大值Δs,max和节点竖向位移最大值Δz,max的变化规律,对算例进行分析。

2.1 计算模型

以跨度50 m,矢跨比分别为1/4、1/5、1/6和1/7的K8型凯威特单层网壳结构为计算模型,环数均为7。杆件均采用外直径168 mm,壁厚6 mm钢管,钢材弹性模量206 GPa,泊松比为0.3,质量密度7 850 kg/m3。支座为周边铰接支承,施加竖向荷载1 000 N/m2,考虑荷载全跨均匀布置。施加荷载方式为施加节点荷载,每个节点荷载均为外荷载乘以结构水平投影面积再除以节点总数。计算应用通用有限元软件ANSYS完成,用Beam 189单元对杆件进行模拟。矢跨比1/5的网壳结构分析模型如图1所示。

图1 1/5矢跨比结构分析模型 m

2.2 屈曲模态节点位移分析

对模型进行线性屈曲分析,得到1/4、1/5、1/6和1/7矢跨比网壳结构的前20阶屈曲模态的Δs,max和Δz,max,其结果见表1。可以发现2个规律:

表1 前20阶特征值屈曲模态的Δs,max和Δz,max

1)对于不同矢跨比结构,当矢跨比较大时,第1阶的Δs,max明显大于Δz,max,随着矢跨比的减小,Δs,max与Δz,max的差值逐渐减小,几乎相等。

2)对于同一矢跨比,Δs,max与Δz,max的相对误差在某些阶次会变小,甚至接近于零。

根据1.3节的分析,当屈曲模态的Δz,max/Δs,max<1时,特征缺陷模态法计算的稳定极限承载力将大于随机缺陷模态法。那么规律1)就可以解释当网壳结构矢跨比较大时,特征缺陷模态法较随机缺陷模态法概率可靠度较低的原因。即矢跨比较大时,特征缺陷模态法第一阶屈曲模态的Δz,max/Δs,max明显小于1,进而对结构稳定承载力起控制作用的竖向缺陷最大值Rc,z明显小于Rr,z。特征缺陷模态法的计算结果也就明显大于随机缺陷模态法的,表现为概率可靠度较低。当矢跨比较小时,第一阶屈曲模态的Δs,max近似等于Δz,max,特征缺陷模态法引入的竖向缺陷最大值Rc,z近似等于随机缺陷模态法引入的竖向缺陷最大值Rr,z,即特征缺陷模态法的计算结果近似等于随机缺陷模态法的计算结果,概率可靠度较高。

3 控制竖向几何缺陷的特征缺陷模态法

针对在矢跨比较大时,特征缺陷模态法引入的竖向几何缺陷Rc,z明显小于随机缺陷模态法的Rr,z,导致可靠度较低的原因分析,提出了控制竖向几何缺陷的特征缺陷模态法。该方法的计算步骤与特征缺陷模态法基本一样,但改变了初始几何缺陷值的确定方法,将特征缺陷模态法的控制Rc,s=R改为控制Rc,z=R,本质上依然是特征缺陷模态法,是特征缺陷模态法的改进。在ANSYS中具体的操作为使用Upgeom命令引入初始几何缺陷时,设置Factor等于R除以屈曲模态节点的竖向最大位移Δz,max,从而实现Rc,z=R。随机缺陷模态法一开始就假设Rr,z=R,而控制竖向几何缺陷的特征缺陷模态法充分考虑了竖向几何缺陷最大值,实现了Rc,z=Rr,z。

4 算例弹塑性荷载-位移全过程分析

为了验证控制竖向几何缺陷的特征缺陷模态法可以较特征缺陷模态法更安全地评估网壳结构的稳定性能,分别使用控制竖向几何缺陷的特征缺陷模态法和N阶特征缺陷模态法对单层球面网壳结构进行弹塑性荷载-位移全过程分析,当后者只考虑第一阶时,即为特征缺陷模态法。计算模型同第2节,杆件材料弹塑性本构采用两段式,屈服准则采用von Mises 准则,屈服强度235 MPa,用Beam189单元对杆件进行模拟,考虑材料非线性和几何非线性,采用弧长法进行双重非线性稳定分析。令稳定极限承载力与设计荷载组合值的比值为安全系数K。对1/4,1/5,1/6和1/7这4种矢跨比完善结构进行双重非线性稳定分析时,完善结构安全系数K分别为20.22,16.12,13.48,10.92。

当运用N阶特征缺陷模态法,但在更新模型时每阶线型屈曲模态都用Upgeom命令控制竖向几何缺陷最大值等于R,得到1/4、1/5、1/6和1/7共4种矢跨比结构前20阶屈曲模态模拟初始几何缺陷的安全系数Kz。当阶次为1时,Kz所对应的值为控制竖向几何缺陷的特征缺陷模态法的安全系数Kz1。用N阶特征缺陷模态法得到1/4、1/5、1/6和1/7共4种矢跨比结构前20阶安全系数Ks,Ks的最小值即为N阶特征缺陷模态法的安全系数Ksn。

4.1 竖向几何缺陷值对网壳稳定性影响分析

将1/4、1/5、1/6、1/7矢跨比结构前20阶屈曲模态的Δs,max与Δz,max的相对误差用δd表示,Ks和Kz的相对误差用δK表示,将δd和δK随阶次的变化绘制于图2。

a—矢跨比1/4; b—矢跨比1/5; c—矢跨比1/6; d—矢跨比1/7。

由图2可知,当矢跨比相同时,δd与δK的变化趋势相似,由1.3节分析可知,δd越大,实际引入的竖向几何缺陷Rc,z会越小于R,δd与δK的变化趋势相似可以认为网壳结构的稳定性对竖向几何缺陷十分敏感。因此在分析带初始几何缺陷网壳结构稳定承载力时应该充分考虑竖向几何缺陷。

4.2 与N阶特征缺陷模态法计算结果对比

控制竖向几何缺陷的特征缺陷模态法计算所得安全系数Kz1和N阶特征缺陷模态法前20阶安全系数Ks见图3。

图3 不同矢跨比结构的Kz1和Ks

图3中,各点线图的第0阶对应控制竖向几何缺陷的特征缺陷模态法所得安全系数Kz1;点线图第1～20阶的最低点,对应N阶特征缺陷模态法安全系数Kz1;点线图的第1阶对应特征缺陷模态法所得安全系数Ks1。对于1/4、1/5、1/6、1/7矢跨比结构,N阶特征缺陷模态法安全系数Ksn对应的阶次分别为第19阶、第18阶、第17阶和第20阶。由图3可知:对于各矢跨比,Kz1均接近该点线图的最低点;当矢跨比较大时,Ks1明显高于Ksn。为了更清楚地对比Kz1、Ksn和Ks1,将三者绘制于图4。

图4 不同矢跨比结构Kz1、Ksn和Ks1的比较

由图4可知,对于各矢跨比结构,控制竖向几何缺陷的特征缺陷模态法的安全系数Kz1与N阶特征缺陷模态法的Ksn接近,相对误差均在工程允许误差5%以内。蔡健等认为,在N=20时,N阶特征缺陷模态法与随机缺陷模态法相比能到达“3σ原则”概率可靠度,N阶特征缺陷模态法可以安全地评估网壳结构的稳定性[7]。控制竖向几何缺陷的特征缺陷模态法计算结果Kz1与N阶特征缺陷模态法计算结果Ksn误差在工程允许的5%以内,所以控制竖向几何缺陷的特征缺陷模态法可以安全地评估单层球面网壳结构的静力稳定性。当矢跨比较大时,Ks1明显高于Kz1和Ksn,即特征缺陷模态法会高估结构的稳定极限承载力。

5 结束语

分析了特征缺陷模态法和随机缺陷模态法初始几何缺陷最大值,以1/4、1/5、1/6、1/7矢跨比K8单层凯威特网壳为研究对象,进行线性屈曲分析,运用N阶特征缺陷模态法和控制竖向几何缺陷的N阶特征缺陷模态法进行弹塑性荷载-位移全过程分析,得出以下结论:

1)单层球面网壳静力稳定分析时,特征缺陷模态法的竖向几何缺陷最大值小于随机缺陷模态法的竖向几何缺陷最大值,特别是当矢跨比较大时,特征缺陷模态法所得稳定极限承载力高于随机缺陷模态法,概率可靠度较低。

2)单层球面网壳结构对竖向几何缺陷十分敏感,控制竖向几何缺陷最大值等于几何缺陷最大计算值R更合理,并由此提出控制竖向几何缺陷的特征缺陷模态法。

3)对于不同矢跨比的单层球面网壳结构,控制竖向几何缺陷的特征缺陷模态法与N阶特征缺陷模态法的计算结果接近,误差在工程允许的5%以内。控制竖向几何缺陷的特征缺陷模态法可以安全地评估单层球面网壳结构的静力稳定性,解决了特征缺陷模态法在矢跨比较大时可靠度较低的问题。