复变函数与积分变换在通信工程专业中的教学实践

张原园 古再力努尔·依明 苗瑾超

摘 要：复变函数与积分变换课程在电子信息类工科专业中占据举足轻重的作用，由于课程应用性强，相比高等数学较为抽象、复杂，大多数授课教师是数学系专任教师，不能尽可能地将课程内容充分联系电子信息类专业进行有侧重的讲解，导致授课效果不是很理想，对通信工程专业学生后续学习信号与系统等专业核心课程不能做好衔接工作。笔者采用实践与理论相结合的教学方式，融合前期电路分析、后期信号与系统部分内容，提高学生学习兴趣；通过实例讲解，学生能够充分了解设置课程的作用及其意义，从而达到对课程内容的精准掌握。

关键词：复变函数与积分变换；通信工程；信号与系统；实践教学

Abstract：The course of complex variable function and integral transformation plays an important role in electronic and information engineering majors.Because of its strong applicability，the course is more abstract and complex than advanced mathematics，and most of the teachers are fulltime teachers in the Department of Mathematics，who are unable to fully link the course content with the electronic and information majors for focused explanation，resulting in poor teaching effect，Communication engineering students can't do a good job ;in connecting the core courses of signal and system.The author adopts the teaching method of combining practice and theory，integrating the ;contents of circuit analysis in the early stage，signal and system in the later stage，to improve students' learning interest；Through the explanation of examples，students can fully understand the role and significance of the curriculum，so as to accurately grasp the content of the curriculum.

Keywords：Complex function and integral transformation；Communication engineering；Signal and system；Practical teaching

一、復变函数与积分变换课程内容

复变函数与积分变换课程主要分为两个重点内容，复变函数部分主要讲授复变函数论，包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、保留映射，其理论产生于18世纪，在19世纪得到全面发展，欧拉、拉普拉斯、柯西、黎曼等众多数学家为复变函数论的开拓及丰富做出了巨大的贡献［1］。积分变换是在实变函数与微积分基础之上发展而来的，主要讲授傅里叶变换、拉普拉斯变换等内容，主要应用在电子信息类工科专业中［2］。复变函数与积分变换作为工科专业中一门基础必修课程，在通信工程、自动控制、电子信息等专业有着非常重要的作用，相比于高等数学有明显的难度提升，在学习过程中如果一再对概念讲解，脱离现实技术应用难免导致课程效果较差，不能够引起学生兴趣，造成被动学习、填鸭式教学［3］。建议教学过程中要讲究侧重点，结合实践应用，提高学生学习兴趣，增加多种教学方式，让学生能够充分了解课程作用及其意义，更好地掌握课程内容［4］。

二、复变函数在通信工程专业中应用

作为高等院校众多专业的基础必修课程，首先，通过复变函数与积分变换的学习，能够培养学生抽象思维能力、逻辑思维能力、空间想象能力和科学计算能力；培养学生利用复变函数、积分变换的方法来有效地、系统地解决一些工程实际问题；逐步培养学生能够建立复杂数学模型的能力，并为后续的专业基础课程、专业核心课程的学习，以及将来从事教学、科研及其他实际工作打下坚实的理论知识基础。其次，复变函数中傅里叶变换、拉普拉斯变换等内容作为信号与系统课程中的核心内容，直接关系着通信工程专业学生后续专业课程的学习效果，通过引入信号与系统中相关内容，更好地体悟复变函数与积分变换的工具作用，学习过程中要重点弄明白傅里叶变换的来龙去脉，能够更好地对信号的变换、信号之间运算、信号表述有更为全面系统的认识。傅里叶变换、拉普拉斯变换在信号处理、图像处理等领域发挥巨大的作用，如何巧妙地讲授积分变换内容也是专任教师需要思考的主要问题［510］。

三、通信工程专业中复变函数教学实践

（一）激发学生兴趣

通过实例教学激发学生学习复变函数的兴趣，通过前期的学习掌握复变函数基本运算、基本概念、基本定义。后期重点讲授傅里叶变换的来龙去脉，提出时频域概念、周期与非周期概念，从熟悉的时域扩展到频域，从周期过度非周期，通过直观理解可以知道时域是以时间轴为参考、频域是以频率为参考。下图1表示音频信号时域—频域转换图，图1（a）表示随时间变换的一段音频，经过傅里叶变换能够看到图1（b）是信号在频域上的变换，通过在不同的域得到不同的观察结果，直观形象地说明问题，不断引导学生、激发学生探索兴趣。

（二）重难点讲授

图2是通过基本信号叠加形成方波的过程，能够充分展示信号之间的构成与表示。通过动态演示不同谐波叠加形成方波过程，明白任何波形可由正弦波n次叠加形成。讲解傅里叶变换类似于对数运算能将积商运算转换成加减运算一样，讲解积分变换是一种数学变换，它能将卷积运算变成乘积运算，能将微积分运算转换为代数运算，使问题进一步简化。

（三）衔接信号与系统后续课程

讲解图像处理中的基本操作，通过对傅里叶变换的了解，增加学生学习兴趣，利用傅里叶变换做一些图像处理实践练习，进而体会其实际意义。通过图像去噪、边缘提取、滤波、OFDM调制与解调等例子的学习，完成对相关知识的理解及熟练应用。图3是通过对椒盐噪声图像进行傅里叶变换后，去掉高频噪声部分，再进行傅里叶反变换后恢复的椒盐噪声图像结果。

图3中（a）（b）（c）分别表示对高频成分进行滤除，保留图像中心600×600、300×300、30×30图像块之后恢复的结果，从结果中可以得到（b）图相比（a）图噪点减少了许多，（c）图相比（b）图因为滤除过多，将一部分低频也进行了滤除，导致图片失真。通过实例使同学们能更好地理解重点知识的具体应用，更好地进行后续课程的学习。

讲解拉普拉斯变换在解微分方程中的应用，回顾之前高等数学及电路分析求解微分方程的步骤，一般在时域中求解微分方程首先需要通过特征方程来求解特征根，进而得到齐次解，之后根据齐次解判断特解类型，带入方程得到相应特解，最后齐次解加特解构成微分方程的全解，将已知参数带入得到最终结果。在拉普拉斯变换章节中，我们通过对方程两端进行拉普拉斯正变换，根据拉普拉斯变换性质，得到像函数在S域的代数方程，从而求解出未知函数X（s）的像函数，最后通过逆变换得到方程的解，具体操作流程如图4。通过讲解使用拉普拉斯变换性质求解微分方程的过程，比较前期使用经典时域方法求解微分方程的流程，更加深入地体会到拉普拉斯变换的优势以及便捷之处。

四、如何学好复变函数与积分变换

前期首先认真学习高等数学、电路分析、大学物理等必修课程，高等数学作为高等院校大部分专业的基础必修课程，在后续学习中有着非常重要的作用，极限思维、抽象思维、逻辑推理、数形结合等从各方面影响后续复变函数与积分变换的学习；电路分析的学习为后续复变函数与积分变换提供了实际例子，更好地理解域的转化对求解电路参数提供了更好的方法。

理解复变函数前期基本概念、定理，掌握复变函数运算及几何表示，通过类比高等数学导数方面的内容掌握解析函数概念及其主要内容，通过类比高等数学积分、级数等方面内容掌握复变函数积分、级数等内容。

针对后半部分积分与变换的内容，首先联系高等数学的傅里叶变换章节进行初步学习，掌握傅里叶变换的基本内容，通过信号与系统中的实例讲解δ函数、阶跃函数概念、帕萨瓦尔定理、卷积等内容，联系电路分析中相关知识从工程方面进行理解。从积分变换使用范围上讲解傅里叶变换到拉普拉斯变换的过渡原因，讲解使用拉普拉斯变换解决RLC动态微分方程的方法，理解其核心思想。

通过前后学期知识点的串联交织，能够更好地使学生回顾前期知识，掌握后续内容的方向，知识之间的联系更加紧密，不会有很强的跳跃性，导致学生难以接受，丧失学习兴趣。通过实践教学，使学生学习兴趣更加浓厚，能够利用所学知识解决相关问题，提升自身技能，增加获得感、成就感，有利于后续课程的顺利展开。

参考文献：

［1］包革军，邢宇明，盖英云.复变函数与积分变换（第三版）［M］.北京：科学出版社，2013.

［2］张雯莹，黄贺艳，周延.复变函数与积分变换教学改革探索［J］.科技风，2023（02）：6971.

［3］庞洪博.复变函数课程思政的探索与实践［J］.辽宁工业大学学报（社会科学版），2022，24（06）：132134.

［4］刘方红，刘晓妍，鞠圣会.复变函数与积分变换课程的研究导向型教学设计［J］.电子技术，2022，51（11）：356357.

［5］宋达霞，许世军，康筱锋.复变函数与积分变换课程过程性考核的探索与实践［J］.大学教育，2022（10）：138141.

［6］华杰，董贺，汪玉海，等.复變函数与积分变换课程教学方法［J］.高师理科学刊，2022，42（09）：6769+74.

［7］崔晓梅，茹静.新工科背景下《复变函数与积分变换》课程教学改革探索［J］.吉林化工学院学报，2022，39（02）：912.

［8］王鹏，杨晓艺.具有集成电路特色的数学基础课程改革——以“复变函数”为例［J］.工业和信息化教育，2021（12）：5457.

［9］吴延红.复变函数与积分变换课程教学与学习情况调研分析及对策研究［J］.黑龙江科学，2021，12（17）：102103.

［10］郑连伟.复变函数教学实践的案例分析［J］.电子技术，2021，50（01）：8283.

基金项目：2022年度新疆理工学院校级教育教学研究和改革项目——通信工程专业学生工程创新实践能力培养模式的研究

作者简介：张原园（1996— ），男，汉族，陕西蒲城人，硕士，助教，研究方向：通信信号处理、计算机视觉；古再力努尔·依明（1996— ），女，维吾尔族，新疆库车人，硕士，助教，研究方向：自然语言处理。

*通讯作者：苗瑾超（1987— ），女，汉族，陕西西安人，硕士，副教授，从事通信工程专业教学研究。