求解浅水方程组的三阶ＷＥＮＯ 新格式

胡伟依 李小纲 邓玉喜

摘 要：浅水方程的求解难点在于存在间断问题。研究具有高分辨率且对间断有效模拟能力强的求解方法，对提高方程求解精度具有重大意义。以ＷＥＮＯ 差分格式为基础，对全局光滑因子进行拆分和泰勒级数展开，并引入调节耗散性的参数ｐ，建立了求解浅水方程组的三阶ＷＥＮＯ 新格式。通过数值模拟验证表明，所建立的新格式的优势主要是在函数的极值点处可以保持三阶精度且捕捉间断的能力强；通过增大间断模板分配权重，可以降低数值耗散、提高对间断点的分辨率；修改带源项浅水方程的动量项，重构源项后浅水方程能够满足静水条件下的和谐性。

关键词：浅水方程组；三阶ＷＥＮＯ 格式；高分辨率；高精度

中图分类号：Ｏ１７５．２ 文献标志码：Ａ ｄｏｉ：１０．３９６９／ ｊ．ｉｓｓｎ．１０００－１３７９．２０２３．００６

引用格式：胡伟依，李小纲，邓玉喜．求解浅水方程组的三阶ＷＥＮＯ 新格式［Ｊ］．人民黄河，２０２３，４５（１２）：３１－３６．

０ 引言

水力学中的浅水是指水深尺度远小于平面尺度且垂向流速小的水流［１］ 。自然界中的溃坝问题、潮汐问题和水环境问题等都可以归为浅水问题，因此对浅水方程组进行研究是十分必要的。浅水方程组的本质是非线性双曲守恒律方程，满足质量守恒和动量守恒。求解这类方程的难点在于双曲型偏微分方程组存在间断问题［２］ ，因此求解该类问题时使用的数学方法应当具备高分辨率和有效模拟间断的能力［３－５］ 。

１９８３ 年，Ｈａｒｔｅｎ［６］ 提出针对双曲守恒型方程的高分辨率二阶ＴＶＤ 格式，该格式保持了数值解的单调性，避免了间断处振荡的产生。但是在光滑解的极值点处ＴＶＤ 格式的精度会降为一阶。针对这一问题，Ｓｈｕ［７］ 于１９８７ 年提出了ＴＶＢ 格式，該格式可以在保证间断处没有振荡产生的同时使数值解的精度达到二阶。同年，Ｈａｒｔｅｎ 等［８］ 提出具备高精度、高分辨率且基本没有振荡产生的ＥＮＯ 格式，但是ＥＮＯ 格式在构造过程中选择最光滑的模板进行计算，导致相邻模板间有可能发生改变，使得数值通量不光滑，且只选择一个子模板进行计算造成了大量的信息浪费。为了克服这些缺陷，１９９４ 年Ｌｉｕ 等［９］ 提出了赋予子模板非线性权重来进行组合的ＷＥＮＯ 格式。随后Ｊｉａｎｇ 等［１０］ 在１９９６ 年将ＷＥＮＯ 格式推广到了有限差分形式并且提出了一种新的光滑因子度量方式，即ＷＥＮＯ－ＪＳ 格式，但是ＷＥＮＯ－ＪＳ 格式在极值点处精度会降阶。为了解决这一问题，Ｂｏｒｇｅｓ 等［１１］ 通过进一步改进ＷＥＮＯ－ＪＳ格式中非线性权重的计算方式，得到ＷＥＮＯ－Ｚ 有限差分格式。近年来涌现出了许多优化的ＷＥＮＯ 格式。孙阳等［１２］ 构造了一种新型的紧致型ＷＥＮＯ 格式，该格式在保留原格式分辨率的前提下提高了计算效率。

王亚辉［１３］ 通过在ＷＥＮＯ－ＪＳ 格式的构造过程中加入二次项使得模板达到了三阶精度。刘旭亮等［１４］ 通过算子函数近似导数关系，设计出一种新型光滑因子，相较于传统格式，该方法在提高短波的分辨率、降低格式耗散的同时能够准确识别间断。ＷＥＮＯ 格式在研究中也被用于求解浅水方程组。早期阶段， 胡四一等［１５－１６］ 成功地将ＴＶＤ 格式运用到一维溃坝数值模拟和二维浅水波方程的求解之中。郭永涛等［１７］ 将ＥＮＯ格式应用于一维溃坝模拟中并取得了理想的结果。当下，如何解决ＷＥＮＯ 格式在光滑函数极值点处精度会降阶且捕捉间断能力降低的问题，从而更加准确地对水力现象进行模拟，依旧是学者们关注的重点。

本文在ＷＥＮＯ－Ｚ 方法的基础框架下将大模板上光滑因子进行拆分，并且对小模板上光滑因子做泰勒级数展开，得到新的全局光滑因子；在非线性权重中引入相关参数， 得到改进的三阶ＷＥＮＯ 差分格式（ＷＥＮＯ－Ｎｅｗ）。通过数值试验证明了这是一种较传统格式更加精准地捕捉激波、兼顾高分辨率和低耗散的数值方法，将其应用到浅水方程中可以更加高效精准地模拟洪水的演进过程。