指向高阶思维的初中数学解题教学

徐乐

【摘  要】  问题是数学的“心脏”，解决问题是数学教学的核心.问题解决是一项复杂且有创造性的活动，思维则是重中之重.本文以2021年一道中考试题为例，基于高阶思维的视角，对整个解题教学过程展开探究.

【关键词】  高阶思维；初中数学；解题教学

数学作为初中阶段最为重要的一门学科，极具抽象性、逻辑性，素有“思维体操”之称.新课程改革背景下，基于数学课堂激活、促进高阶思维，已成为教学的重中之重.纵观当前初中数学解题教学现状，受到灌输式、机械化解题教学模式的影响，学生的思维水平比较低，依然拘泥于定向思维模式中，致使学生一旦遇到开放、复杂的数学问题，就会手足无措.鉴于此，立足于日常解题教学加强学生的高阶思维训练刻不容缓.

1  基于初中数学解题教学培养学生高阶思维发展

原题  如图1所示，射线，且的长度为8，点位于射线的上方，并在线段的垂直平分线上，连接，将线段绕着按照逆时针方向进行旋转，最终得到对应线段，若点恰好落在射线上，则到射线的距离为多少？

图1

1.1  搭建问题支架，激活高阶思维

在培养学生高阶思维时，必须要科学、合理搭建问题支架，使得学生在问题支架的引导下，构建起从题目已知条件到所求结论之间桥梁[1].在本题目中，就遵循这一原则，为学生设计如下问题：

问题1  回忆旋转具备哪些性质？分析题目和图形，在必要时可添加辅助线，一共可得到的已知条件？在这一问题的引导下，学生根据旋转性质得出：，结合“对应点到旋转中心距离相等”得出；结合“由任意点一对对应点和旋转中心连线构成的旋转角相等”得出；如此，学生就会联想到连接，在题目中构建成为两个新的三角形，分别为：（如图2所示）.

图2

问题2  分析题目结论，可在图中如何表示出来？在这一问题的引领下，学生围绕“所求结论”展开分析，得出：要想求出“到射线的距离”，需要过做，垂足为，因此即为所求距离.

问题3  分析图2，图形中存在哪些特殊的图形，这些特殊的图形与所求结果之间存在什么关系？在这一问题引领下，学生通过题目分析得出，因为二者是旋转得到的；同时，图形中还存在一系列的直角三角形，且这些直角三角形对应角相等.不仅仅是一条直角边，同时还是中边上的高.

如此，在这三个问题的引导下，学生不仅理清了已知条件和所求结论，也逐渐形成了明确的解题思路，为高阶思维发展奠定了坚实的基础.

1.2  一题多解训练，推进高阶思维

为了促进学生的高阶思维发展，必须要引领学生从多个角度探索解题方法.在本题目中，结合上述分析，以及初中生已有的知识体系，可从以下两个角度进行思考和解答：角度一：将视为一条直角边进行解答；角度二：将视为中边上的高进行解答.根据这两种思路，可形成三种不同解题方法：

解法1  从三角形相似的角度进行解答.设的垂直平分线与射线相交于点，则有，根据勾股定理得知.

因为是由线段绕點旋转所得，

所以，

又因为，

所以，即，

代入相关数值，即可得出.

解法2  从三角函数的角度进行解答.设的垂直平分线与射线相交于点，则有，根据勾股定理得知.

同时，结合旋转知识得出，

因此，，则有，

代入即可得.

解法3  利用等积法进行解答.设的垂直平分线与射线相交于点，则有，根据勾股定理得知.

结合旋转性质得出，，因此，

则，代入相关数值即可得出.

1.3  变式训练，强化高阶思维

为促进数学高阶思维发展，教围绕“线段绕线段外一点旋转”展开变式训练.

变式1  如图3所示，射线互相垂直，且，点位于射线的上方，并在线段的垂直平分线上，连接，将线段绕着按照逆时针的方向进行旋转，最终得到对应线段，若点恰好落在射线上，则线段在旋转过程中扫过的面积为多少？

图3

在这一变式训练中，学生只要添加必要的辅助线，即可构成两个全等三角形，即：，根据题目中所求“阴影部分面积”，即可采用割补法，通过.

变式2  在直角坐标系中，，线段绕着点按照逆时针方向进行旋转，最终得到，使得其一个端点恰好落在轴上，求另一点的横坐标？

变式3  在直角坐标系中，，线段绕着点按照逆时针的方向旋转得，使得其一个端点恰好落在轴上，试用的代数式对另一点的横坐标进行表示？

1.4  解题反思，升华高阶思维

解题反思是促进学生高阶思维发展的关键阶段.但在引领学生反思的过程中，鉴于初中生实情，应充分发挥教师的引导价值，为学生科学设置反思问题.在本题目解题反思中，就为学生提出了以下问题：

问题1  在解答上述问题时，总共涉及哪些数学知识？

问题2  上述题目分析思考流程如何？

问题3  在分析和解决问题的过程中，出现了哪些错误？应如何避免？

问题4  在解题过程中，遇到了哪些解题障碍？又是如何突破这些障碍的[2]？

2  结语

综上所述，基于数学解题教学培养和发展学生的高阶思维，已经成为数学解题教学的重中之重.鉴于此，教师应深层次挖掘数学题目中蕴含的高阶思维培养点，科学组织解题教学，使得学生在解题学习中，逐渐形成一定的高阶思维.

参考文献：

[1]张文钰.解题教学中初中生数学思维的培养策略分析[J].新课程研究，2022（35）：132-134.

[2]刘舟娟.培育数学核心素养 提升高阶思维[J].现代教学，2022（19）：54-55.