例析解直角三角形问题的不同模型与解题思路

任勃勃

【摘  要】  解直角三角形问题是中考必考的一类几何问题，因与实际生活密切联系而具有深刻的考查意义.将不同实际生活模型简化为三角形问题时，可根据形状的不同分为不同的模型，常见的有背靠背模型、拥抱模型以及字母模型.熟悉并掌握这些常见模型以及对应的解题思路，有助于更高效地解题，更深刻地理解问题.本文主要对三种不同模型做出分析，以便学生们参考与学习.

【关键词】  初中数学；直角三角形；解题模型

1  背靠背型

背靠背模型主要指两个直角三角形中存在一条公共的直角边，这类模型的解答应利用公共边长度推断其他边长.也可以根据已知条件构造背靠背模型，如作三角形的高将其看做两个有公共边的直角三角形.解答這类问题，常见解题思路为：①分析给出的三角形特点和已知条件，构造背靠背模型；②利用公共边长长度和相关角度，结合勾股定理或正余弦公式，列式计算求得问题最终解.

例1  如图1，河宽米，在点处测得对岸点在点的南偏东方向，则两点间的距离为____米（结果保留根号）.

分析  该题为典型的背靠背模型，已知公共直角边边长，可结合给出的角度和长度，利用正切公式列出对应等式，其次问题所求属于两直角边之和，分别求得直角边后相加，即可得到答案.

解析  在中，，

则米，

在中，∠，

∴米

即米.

2  字母模型

通常情况下，将两个拥有同一条高且位于同一侧的三角形组成的图形看作字母模型，求解时需要借助同一条高对问题作出解答.字母模型的构造需要借助等高条件，且两直角三角形具有重叠部分，是区分其他模型的特点所在.解答这类模型，大致解题思路为：①作公共点的垂线构造字母模型，结合已知条件求得公共高的长度；②利用正余弦、正切公式，求直角三角形的边长，并列式对问题所求作出解答.

例2  如图2，在综合实践活动中，某小组想要测量某河流的宽度，小组成员在专业人员的协助下使用无人机测量，在点处测得两点的俯角分别是和（即，）.若无人机离地面的高有米，且在同一水平直线上，求这条河的宽度.（精确到米，参考数据：）

分析  求河的宽度需要知道直角三角形的边长，即解答字母模型的直角三角形问题.首先利用已知高和角度，对直角三角形的边长作出解答，其次列式求出两边之差，也是的长度.

解析  ∵，

∴∠，

∠，

在中，

∵，

∴，

∴米，

在中，

∵，

∴米，

∴米，

答：该河流宽度为米.

3  拥抱模型

拥抱模型具体是指具有公共直角的两个直角三角形图形，形似“拥抱”故得以此名.拥抱模型的构造，可从拥有对顶角的一对三角形着手，延长边长构造直角从而得到拥抱模型图形.解答这类问题，大致解题思路为：①在已知图形基础上构造拥抱模型；②结合已知边长和角度，列式运算分别求出两个直角三角形的具体值，从而得到问题所求.

例3  如图3，一座商场大楼的顶部竖立一块矩形广告牌，甲学生在地面上分别选择了三点：（为楼底）、、，分别在处测得广告牌顶端的仰角为，在处测得商场大楼楼顶的仰角为，已知米，广告牌高米，求这座商场的高度.（，，甲学生身高忽略，结果保留整数）

分析  求的长度需要知道与的长度，该题属于拥抱模型问题，首先应结合正切公式按顺序分别求出两个直角三角形的具体值，根据两边长之差得到问题最终答案.

解析  设米，

∵点处测得商场大楼楼顶的仰角为，

∴，

∴，

∴，

，

∵在处测得商场大楼楼顶的仰角为，

∴，

∴，

∴，

，

解得，

答：商场大楼的高度大约为米.

4  结语

上述内容分别以典型例题向学生们介绍如何分辨和构造不同模型，背靠背模型、字母模型以及拥抱模型都具有鲜明的图形特点，都是利用直角三角形的公共边和角度正切公式列式求解.学生们应加强练习，只有对模型更加熟悉，才能更高效快速地解答解直角三角形问题.

参考文献：

[1]马金福.初中数学直角三角形问题解法探讨[J].教育教学论坛，2014（23）：123-124.

[2]王旭阳，陈瑞平.中学数学教学中直角三角形问题的探讨与应用[J].教育教学论坛，2007（34）：98-99.