找“周”测“长”?凸显概念本质

黄海欧

【摘 要】“周长”是小学“图形与几何”领域的一个重要概念，对这一概念的不理解会影响后续有关实际问题的解决以及造成周长和面积概念的混淆。文章以“周长的认识”为切入点，着手研究几何概念教学的改进模式，力求引导学生通过系列操作活动，经历概念的发生、感知、形成和深化过程，把握“周长”的概念，发掘内在本质。

【关键词】周长 概念本质 平面图形

数学概念是数学知识的核心和数学思想方法的有效载体，正确理解和掌握概念是学生能力提升的保证。“周长”是小学“图形与几何”领域的一个重要概念，它是平面图形的本质属性，是几何知识的核心之一，也是培养学生空间意识的有效载体。然而，实际教学的成效却往往不尽如人意，如在教学完周长概念后，学生在解决与周长有关的实际问题或是求不规则图形的周长时感到困难；还有些学生到高年级后，将周长与后续学习的面积概念发生混淆等。这都是由于学生对周长表象建立不完善，对周长概念的理解不深、不透导致的，这也一直是几何教学中的一个痛点。本文以“周长的认识”为切入点，着手研究几何概念教学的改进模式，力求引导学生通过一系列操作活动，在经历概念的发生、感知、形成和深化的过程中，把握“周长”的概念，发掘其内在本质。

一、教材分析，寻求本质点

人教版数学三年级上册“周长”这一内容，是学生在学习了线段、长方形和正方形之后学习的，为今后学习多边形的周长和圆的周长打下基础。

笔者研读了人教版、浙教版、西师大版、苏教版、北师大版等教材，发现其内容都包含三个层面：首先是结合熟悉的实物或图形去认识什么是周长；其次是掌握测量周长的方法；最后是应用周长概念解决问题。在这些版本的概念呈现环节中，人教版提供的素材是最多的，且只有人教版直接给出了周长的明确定义，从实物到图形再到文字，实现了从具体到抽象的层层递进。

二、学情分析，确定混淆点

为了进行学情分析，笔者设计前测题（如图1）：

学生的前测数据如图2：

可见，学生对“周长”的认知率是比较高的，但对本质概念的认识还存在一定的偏差。比如：部分学生根据已有线段测量的经验，认为曲线图形、不规则图形用直尺不好测量，就没有周长；学生在描一周时容易忽略周长的本质，把图形内部的线条也看作周长的一部分。另外，由于周长和面积的表象都是借助封闭图形表现出来的，学生对面积的感觉又远比周长强烈，很容易将这两者混淆，导致以“大小”来判断周长的长短。所以，笔者将本节课的教学重点立足在准确把握“周长”的概念上，凸显“周长”概念的本质。

三、实践过程，落实关键点

【片段一】让周长在“周”的基础上生长

1.任务一：这些图形有一周吗？如果有，用水彩笔描出它一周的边线。（如图3）

2.汇报交流。

追问1：五角星里面为什么不描？

追问2：角呢？

小结：这是圆的一周、数学课本封面的一周、五角星的一周。角不是封闭图形没有一周。

3.变式。

问题：怎么变，它才会有一周，请描出来。（学习单上操作）

追问1：还可以怎么变？它们的一周在哪里？

追问2：只要怎么变，就会有一周？

小结：只有封闭图形才有一周。

【设计意图】在任务一的解决过程中，学生描出边线后，同桌之间交流评价。让学生学会从已有认知出发，自学教材内容，尝试解决问题。所提供的素材有具体实物，也有抽象图形，旨在用最精简的素材，从行动表征到图象表征，再到语言表征，帮助学生一步步建立起“一周”的表象，获得鲜明形象的认识。重点辨析有内部线条的五角星和不封闭的角之后，让学生想象角怎么变就会有一周，学生最先想到的是三角形，再针对前测中学生认为曲线图形和不规则图形没有周长的学情，让学生创作既有曲线又不规则的变式图形，要求学生辨析是否有一周，得到“只要是封闭图形就有一周”的结论。在培养学生空间想象力的同时，拓展了“周长”这一概念的外延，让学生在不同外延中深刻感受“封闭边线”的含义，为接下来的测量、计算打下了认知基础。

【片段二】让周长在“长”的基础上延续

1.任务二：完成下面的填空。（如图4）

我想测量的周长。

想一想：怎么测量。

选一选：我需要的工具是。

测一测：它的周长是厘米。（结果取整厘米）

2.汇报交流。

（1）三角形。

小结：测量了3次，这三条边的长度和就是三角形的周长。

（2）长方形。

生1：测量了4次。

生2：测量了2次，长量1次，宽量1次就可以了。

小结：虽然生2测量了2次，但“×2”后，也是在求四条边的长度和，这四条边的长度和就是长方形的周长。

（3）五角星。

生1：把五角星的每一条边都量了一遍，然后把所有的长度都加起来。

生2：只要量一条边，再乘10就行。

小结：虽然生2测量了1次，但“×10”后，也是在求十条边的长度和，就是五角星的周长。

（4）圆。

生1：用卷尺把它绕起来。

生2：用线把它绕一圈，再测量线的长度。

小结：不管是围还是滚，都是数学上所讲的“化曲为直”。求的是一圈的长度和，就是圆的周长。

演示总结：不管是圆的周长、三角形的周长、长方形的周长还是五角星的周长，都是一周的长度。（如图5）

【设计意图】认识了图形的一周之后，学生自主完成任务二——测长。学生选择自己想要测量的图形，先思考如何测量，再选择合适的工具进行测量，记录过程，得出结论。从最简单的三角形入手進行交流展示，由简到繁，层层递进；接着对比长方形的两种测法，通过测量次数的减少，体现学生基于图形直观特征的算法优化；五角星的周长则帮助学生进一步感受“积段成数”；圆作为曲线图形，它的测量更具有挑战性。学生发现绕圆的绳子拉直后依旧能表示圆的周长，是因为长度没有发生变化，“化曲为直”的数学思想得到自然渗透。在学生深刻体验的基础上，教师进行动画演示，进一步让学生感悟无论“一周”的形怎样变化，周长都是边线长度的总和，在形与线段的变换中逐步领悟周长的内涵，积累数学学习活动经验，培养空间观念。

【片段三】让周长在操作中深刻

1.任务三：你能把这个长方形分成周长相等的两部分吗？（如图6）

2.汇报交流。

问题：为什么这两部分的周长相等？（如图7）

3.任务四：剪掉一块，剩下图形的周长和原来长方形的周长相比，有什么变化？（如图8）

4.追问：剪掉一块，剩下图形的周长不变，还有其他情况吗？

【设计意图】学生能否灵活应用概念，最合适的检测方法就是在变化中思辨。因此，笔者设计了两个习题。第一题基于形与量的思考，形状上，从均分变为大小不一；数量上，从单个图形到一分为二。这样的思辨不仅是对周长理解的深入，还在一定程度上促使学生打破思维定式，排除面积的视觉干扰，重新回到“周长”概念的内涵上进行对比辨析。第二题旨在关注解决问题方法的多样性与层次性。之前，学生求周长的方法只有量，这时可以利用所学知识进行抽象和推理，提升思维层次。笔者适时追问，要求学生进行思考，感受周长的三种变化情况——不变、变长、变短，在“变”与“不变”中，深入发掘周长的本质。

四、课后反思，呵护生长点

数学课的学习要解学生之困，那这节概念课，学生之困“困”在何处呢？

（一）周长在哪里

首先，学生的困难在于不会准确找到“周长在哪里”。所以，笔者在任务一中提供了“角”这样的学习素材，先提问：“角怎么变，也有一周？”并不断追问：“还可以怎么变？”通过这样的变化，学生经历多个层次的想象，先是基于经验的想象连接出三角形，之后突破经验的想象，得到多边形和有曲线的不规则图形的周长。这时，笔者继续追问：“只要怎么样都有一周？”通过问题引导学生总结。由此，学生对“一周”的理解真正得到了修正和内化。

（二）周长怎么测

其次，学生困在“周长怎么测”。在测量周长环节，笔者给学生提供了丰富的素材，如三角形、长方形、五角星等都可以通过测量直接得出周长，圆的周长则需要通过转化再测量。得出数据之后，笔者不满足于此，引导学生归纳提炼“不管怎么测、测几次，都是求这个图形一周的长度”，让学生深刻体会“积段成数”“化曲为直”的方法。

（三）周长怎么比

我们知道，面积与周长是共存的，显性的面积一直影響着隐性的周长。笔者沿用任务二中长方形这一素材，设置了任务三：“你能把这个长方形分成周长相等的两部分吗？”这一任务灵活多变，适合不同发展层次的学生。课堂上，思维层次低的学生，只能通过把长方形分成两个形状大小相同的图形，借形判断周长相同，而思维层次高的学生可以脱离形，通过推理从概念本质上去判断，提升了灵活解决问题的能力，同时为后续周长和面积的辨析做好铺垫。

总之，概念课的教学要基于学生的自主构建，关注概念本质，在思辨中发展学生思维。本节课，笔者引导学生通过一系列操作活动，在经历概念的发生、感知、形成和深化的过程中，找“周”测“长”，凸显了概念的本质，让学生的深度学习真正发生。学生由此获得的不仅是知识技能，更重要的是抽象思维、推理思维层次的提升。