考虑渗流和剪胀特性的Z-P准则及巷道稳定性分析

经来旺 黄 旭 尚佳乐 蒋浩杰 冯瑜腾 经 纬

(安徽理工大学土木建筑学院,安徽 淮南 232001)

巷道岩体存在大量的微裂隙,地下水的渗入进一步削弱了岩体的力学性能[1]。巷道作为地下交通、水利、矿山等工程中的关键部分,其稳定性直接关系到工程的安全性和可持续运行性。渗流可以改变巷道围岩的应力分布,影响岩体强度和围岩变形特性[2-3],将会导致巷道的塑性区扩大、变形加剧,最终可能引发巷道的失稳甚至坍塌。因此,考虑渗流作用下的巷道稳定性具有重要的工程价值。

目前,考虑渗流作用下的圆形巷道稳定性分析大多都是基于Mohr-Coulomb(简称M-C)准则和Hoek-Brown(简称H-B)准则[4]。彭立、黄阜等[5-6]基于HB准则推导了考虑地下水渗流作用下隧洞的弹塑性解析解,对比分析了考虑渗流和不考虑渗流对塑性区范围和位移的影响,并将其与基于M-C准则计算得到的结果进行了比较。李宗利、吕晓聪等[7-8]简化圆形隧洞的各影响因素为轴对称,并基于M-C准则研究了渗流场对圆形隧洞应力场和位移场的影响,得出了他们的分布规律。M-C和H-B准则模型简洁且适用性强,对后续研究提供了思想,D-P准则在此基础上考虑了中间主应力效应。王睢等[9]采用Drucker-Prager(简称D-P)准则,以平面应变假设为基础,推导了深埋有压圆形隧洞在不同工况下的弹塑性解。D-P准则在评估岩石的破坏准则时会夸大中间主应力的作用,因此,在使用D-P准则进行岩石力学分析时,需要考虑实际情况并综合其他影响因素。范浩等[10]采用统一强度准则,综合考虑了中间主应力和剪胀对渗流作用下隧洞围岩的影响,并基于非关联流动法则对围岩的塑性区进行了分析。统一强度准则的推导和应用相对复杂,涉及到多个参数和方程。潘继良等[11]基于H.Matsuoka和T.Nakai提出的SMP准则,综合考虑围岩的剪胀特性和中间主应力对渗透水压力作用下巷道围岩的影响,其认为该准则较统一强度准则计算更便利,并且能够有效地与M-C准则相匹配。Zienkiewicz和Pande于1980年提出的Zienkiewicz-Pande(简称Z-P)准则对M-C准则进行了修正,该准则不仅解决了M-C准则的奇异性问题,还能够有效地考虑中间主应力的影响,在工程领域具有广阔的应用前景。

综上所述,目前的巷道围岩分析研究普遍忽视了中间主应力、渗流和巷道围岩的剪胀特性。因此,本文旨在研究地下工程中渗流作用对巷道稳定性的影响,探讨受渗透水压力作用下巷道围岩的弹塑性特性,基于Z-P准则推导渗透水压力作用下巷道围岩塑性区的半径、位移和应力分布的解析解,结合具体算例分析中间主应力和剪胀角对巷道围岩塑性区的影响规律。同时,将所得结果与M-C、M-O和DP1准则计算得到的结果进行对比。

1 Z-P准则

为了改善M-C准则在某些情况下可能存在奇异点[12]以及未考虑中间主应力对材料破坏影响的两个不足,Z-P准则对其进行了修正。在π平面上,Z-P准则通过对M-C准则的六边形形状进行修圆,函数曲线如图1所示,很好地描述了土壤或岩石在不同应力状态下的屈服行为,避免了尖点可能导致的数值计算问题。本文基于Z-P准则的双曲线型屈服函数进行了巷道围岩稳定性分析。通过调整系数,使得双曲线能够近似拟合M-C准则中的直线部分,曲线形式如图2所示。

图2 p-q子午面上屈服函数曲线Fig.2 Yield function curves on p-q plane

Z-P准则的一般表达式[13-14]为

其中:

式中,c表示内聚力,MPa;φ表示内摩擦角,(°);k表示屈服参数;g(θσ)是Z-P准则在π平面上随着洛德角θσ变化的函数;J2表示偏应力张量的第二不变量,MPa2;J3表示偏应力张量的第三不变量,MPa3;σm为平均主应力,MPa。

当a=0时,可以消除双曲线型Z-P准则中的尖点,使其在子午面上变为光滑的曲线,无限趋于M-C直线,即k=。

中间主应力系数n的值可以提供有关岩石或土壤受力状态的信息,包括最大主应力σ1、中间主应力σ2和最小主应力σ3之间的关系,关系式为

结合式(1)和式(4)可得:

结合式(4)和式(5)可得:

当侧压力系数λ=1时,可将σθ、σr,和σz视为巷道围岩的3个主应力,即满足σ1=σθ,σ3=σr和σ2=σz,且σθ≥σz≥σr。令

其中:

式中,σθ为周向应力,MPa;σr为径向应力,MPa。

M-C、DP1和M-O准则在岩土工程领域中使用广泛,在进行巷道稳定性分析时,其准则表达式都可写为以下形式:

各准则的M、N表达式如下:M-C准则:

M-O准则

DP1准则

2 计算模型

将渗透水压力作用下的圆形巷道计算模型做如下假设:① 视为平面应变模型;② 岩体物理性质在空间上是均匀且各向同性的;③ 渗流过程中围岩的渗透特性不会发生明显的变化,并忽略浮力产生的影响。简化的力学模型如图3所示,取巷道半径为R0,塑性区半径为Rp,计算区域半径为R1,初始地应力为σ0,孔隙水压力为pw,巷道支护力为Pi。

图3 渗流圆形巷道简化力学模型Fig.3 Simplified mechanical model of a seepage circular alleyway

由Darcy定律[15]得到渗流微分方程为

边界条件:

式中,P0为渗流产生的半径R1处的孔隙水压力,MPa。

由式(10)和式(11)可得孔隙水压力pw(r)沿巷道径向的分布规律:

3 围岩弹塑性分析解

3.1 基本方程

根据弹塑性力学的理论,在考虑渗流影响时,将孔隙水压力视为体积力,并且不考虑体积力中与浮力相关的内容,建立的平衡微分方程[16]为

式中,η为渗流系数。

几何方程:

式中,εr为径向应变;εθ为周向应变;u为径向位移,mm。

物理方程:

式中,E为弹性模量,GPa;μ为泊松比。

3.2 弹性区分析

由式(7)、式(12)、式(13)、式(14)和式(15)可得:

其中:

求解式(16)得弹性区位移表达式:

由式(14)和式(17)可得:

式中,C1、C2为待定系数。

边界条件:

式中,σrpe为弹塑性区域交界处的径向应力,MPa。

在弹性区内始终有关系式:

由式(7)和式(20)可得σrpe表达式:

由边界条件式(19)求得待定系数C1、C2:

式中,w=1-μ。

由式(15)、式(17)和式(22)可得弹性区的应力分布:

弹性区的真实应变需忽略初始地应力,得:

由式(14)和式(24)可得弹性区的真实位移。

3.3 塑性区分析

围岩剪胀特性对巷道塑性区的形成具有直接影响[17-19]。在巷道开挖过程中,由于围岩的剪胀特性,围岩会产生侧向膨胀,进而在巷道周围形成明显的应力集中。这些应力集中会导致围岩中出现明显的剪切带,即巷道塑性区。通常情况下,塑性区的体积应变不为0。由非关联流动法则,剪胀参数在塑性区满足不同于弹性区的关系式:

式中,β为剪胀参数。

巷道围岩的塑性区应变为弹性应变和塑性应变的叠加[20],即:

式中,εpr为塑性区的径向应变;εpθ为塑性区的周向应变;εpre和εpθe为塑性区弹性部分的应变;εprp和εpθp为塑性区塑性部分的应变。令

由式(14)、式(25)、式(27)和式(28)得:

由弹塑性交界r=Rp处的位移性质可知up=uep,计算得塑性区的位移表达式为

忽略初始地应力σ0,得到塑性区的弹性应变为

由式(29)和式(31)可得:

其中:

结合式(7)、式(13)和式(19),可以得到塑性区的重分布应力为

由式(30)、式(32)和式(33)可得塑性区位移表达式:

根据边界条件式(19)σpr∣r=R0=Pi,得:

由式(33)和式(35)可得塑性区半径Rp的表达式:

将式(8)代入式(36),可以进一步得到塑性区半径的表达式:

4 算例分析

某近似圆形巷道半径R0=3 m,计算区域半径R1=20R0=60 m,初始地应力σ0=30 MPa,孔隙水压力系数η=1,孔隙水压力P0=2 MPa,支护力Pi=0 MPa,围岩的力学参数c=2.8 MPa,μ=0.3,φ=24°,E=2 GPa,剪胀角ψ=10°。

4.1 塑性区半径分析

在考虑渗流和不考虑渗流的情况下,不同准则所对应的中间主应力系数n所确定的塑性区半径,变化规律如图4所示。

图4 有无渗流作用时n值对塑性区半径的影响Fig.4 Effect of n on the radius of the plastic zone in the presence or absence of seepage

由图4可知,Z-P、DP1和M-O准则都显示出对中间主应力敏感的特征。随着中间主应力系数n的增大,塑性区半径呈现出先减小后增大的变化模式,表明中间主应力存在区间效应。Z-P准则在n=0.4处有最小值,在n=0和n=1时,塑性区半径相差无几;M-O准则在n=0.5处有最小值,在n=0和n=1时,塑性区半径相当;DP1准则在n=0.8处有最小值,在n=0和n=1时,塑性区半径相差很大。这是因为不同的准则基于不同的假设和数学模型来描述材料的塑性行为。有无渗流作用下,整体变化趋势不变,均呈现出抛物线型的变化模式。同时,当中间主应力系数n相等时,考虑渗流的情况下塑性区半径较不考虑渗流时更大。这说明Z-P、DP1和M-O准则在考虑渗流和不考虑渗流2种情况下均能反映工程实际。当n=0时,M-O准则退化为M-C准则,此时的塑性区半径值较Z-P准则偏大,表明M-C准则相较于Z-P准则更为保守。

4.2 围岩应力分布分析

为了分析中间主应力系数n对巷道围岩应力分布的影响,分别选取中间主应力系数n为0、0.25、0.5、0.75、1进行分析,得到的围岩应力分布规律如图5所示。

图5 围岩应力分布曲线Fig.5 Surrounding rock stress distribution curves

由图5可知:中间主应力直接影响巷道塑性区范围。在塑性区内,随着距离的增加,周向应力逐步提高,在塑性区边界处有最大值;在弹性区内,周向应力随距离的增加逐渐恢复至原岩应力状态。

围岩应力在中间主应力系数n=0.5处有最大值,与图4抛物线型的变化模式相关,关于最低点近似对称,离对称点越远峰值越小。径向应力随着半径增大而增大直至趋于原岩应力。当n=0和n=1时,巷道围岩的径向应力和周向应力具有相同的分布状态。

4.3 塑性区位移分析

选取中间主应力系数n为0、0.5、1和剪胀角ψ为0°、10°、24°分析了塑性区位移的影响,与M-C准则进行对比,得到的位移图如图6所示。

图6 剪胀对位移的影响Fig.6 Effect of shear expansion on displacement

由图6可得: 塑性区位移up随着半径的增大逐渐减小,变化趋势由陡变缓。当n不变时,up随着剪胀角的增大而增大;当ψ不变时,n=0.5时up最小,且当n=0和n=1时,塑性区位移up重合。当ψ=0°时,巷道围岩最大塑性区位移由n的不同从34.41 mm降至25.18 mm,降低了26.8%;当ψ=10°时,最大位移由n的不同从47.49 mm降至32.98 mm,降低了30.6%;当ψ=24°时,最大位移由n的不同从100.05 mm降至66.66 mm,降低了33.4%;从图中还可以看出,M-C准则计算得到的位移较Z-P准则偏大。表明围岩的位移变化受到中间主应力和剪胀角的双重影响,M-C准则相较于Z-P准则更为保守。这是由于围岩的位移变化受到剪胀系数的影响,剪胀系数与剪胀角以及强度准则之间存在关联。

4.4 支护力对塑性区半径的影响

选取支护力为0 MPa、1 MPa、2 MPa、3 MPa、4 MPa、5 MPa分析了塑性区半径的影响,得到的关系图如图7所示。

图7 支护力与塑性区半径的关系Fig.7 Relationship between support force and radius of plastic zone

由图7可知,塑性区半径随着支护力的增加明显减小,当支护力不变时,塑性区半径随着孔隙水压力的增大而增大。当支护力为0 MPa时,塑性区半径随着孔隙水压力的增大由5.83 m增至6.73 m,增加了15.4%;当支护力为5 MPa时,塑性区半径随着孔隙水压力的增大由4.19 m增至4.39 m,增加了4.8%,这说明随着支护力的增加,提高了巷道围岩的稳定性,渗流作用对围岩塑性区半径的影响逐渐减小。

4.5 内聚力和内摩擦角对塑性区半径的影响

当内聚力c=2.8 MPa时,选取内摩擦角为24°、28°、30°、32°、36°五组数据,分析了内摩擦角对塑性区半径的影响;当内摩擦角φ=24°时,选取内聚力为2.8 MPa、3.2 MPa、3.6 MPa、4.0 MPa、4.4 MPa五组数据,分析了内聚力对塑性区半径的影响。计算孔隙水压力从0 MPa到10 MPa下的塑性区半径,结果如图8所示。

图8 内聚力和内摩擦角与塑性区半径的关系Fig.8 Cohesion and internal friction angle as a function of the radius of the plastic zone

由图8可知,塑性区半径随着内聚力和内摩擦角的增大明显减小。当内摩擦角为24°时,塑性区半径随着孔隙水压力的增大由5.83 m增至6.73 m,增加了15.4%;当内摩擦角为36°时,塑性区半径随着孔隙水压力的增大由3.89 m增至4.03 m,增加了3.6%。当内聚力为2.8 MPa时,塑性区半径随着孔隙水压力的增大由5.83 m增至6.73 m,增加了15.4%;当内聚力为4.4 MPa时,塑性区半径随着孔隙水压力的增大由4.74m增至5.08m,增加了7.2%。这说明随着内聚力和内摩擦角的增大,渗流作用对围岩塑性区半径的影响逐渐减小。

5 结 论

本文基于Z-P准则进行了巷道稳定性分析,研究了系数对巷道围岩塑性区半径、位移和应力分布的影响,得到如下结论:

(1)基于Z-P准则,推导得出了巷道围岩塑性区半径解析解,能够有效地反映中间主应力、渗流作用和剪胀特性下的巷道塑性区半径。

(2)围岩剪胀特性对巷道应力分布和塑性区半径影响较小,对位移分布影响较大;围岩塑性区位移随剪胀角的增加而增大。

(3)随着中间主应力的增大,塑性区半径、位移和弹性区应力先减小后增大,塑性区应力先增大后减小;考虑渗流作用下计算得到的塑性区半径和位移更大。

本文仅考虑了中间主应力、孔隙水压力和剪胀特性对圆形巷道稳定性的影响,忽略了应变软化和扩容作用对巷道稳定性的影响,因此在后续的研究中,应当进一步研究上述因素综合作用下的巷道稳定性。