考虑技术进步的动态经济系统

赵成兵,章睿敏,汪 瑶,储立铮

(安徽建筑大学 数理学院,安徽 合肥 230022)

1 射流黎曼拉格朗日几何

设T=[a,b]⊂R是一个实数集合,对于一维仿射纤维丛

J1(T,R)→T×Rn,n≥2

显然d-张量场X生产一阶射流微分系统

(1)

利用如下记号

假设有欧式结构(T,1)和(Rn,δij),这里δij是Kronecker符号,那么一阶射流微分系统(1)自动生成射流最小平方拉格朗日函数

JLS:J1(T,Rn)→R+

表达式为

这里x=(xk),k=1,…n,整体最小平方拉格朗日函数能量的最小点

是一阶射影流系统(1)的C2类的精确解,换句话说一阶射流微分系统(1)的C2类的精确解通过二阶欧拉拉格朗日方程JLS产生,这里c(t)=(x(t))是上Rn的未知曲线。

定义1:任何通过射流最小平方拉格朗日函数JLS的二阶欧拉方程产生的在J1(T,Rn)的几何标价被称为由一阶射流微分系统(1)所产生。

为了表达一阶射流微分系统(1)的射流拉格朗日几何标价的特点,利用下面的Jacobian矩阵符号

2 考虑技术进步模型

考虑资本家只消费剩余价值的一部分,而把其余部分用于积累,这就是扩大再生产情况,其一般均衡条件为:

(2)

UC>0,UCC<0,UB>0,UBB<0,

Lucas研究了如下形式的经济模型[1]:

(3)

Rebelo研究了如下形式的改进的经济模型[2]:

(4)

这里K和H是在物质和人力资本的投资,C是整体消费,0

周少波等改进了Rebelo的模型,讨论了带技术进步的经济模型系统[3]:

(5)

这里L是劳动输出因素,N是整个人口,τ是用于政府服务的部分,λ>0是人力资本的贬值率。

利用M.Neagu的射流拉格朗日几何理论研究Kadlor流(5),得到如下的几个结果。

定理2.1:在J1(M,R2)上由Kadlor流(5)产生的典范非线性联络有局部分支

这里:

证明:让n=3,x1=K,x2=H,x3=A,则

其中

其中

其中

定理2.3:由Kaldor流(5)产生的一阶微分方程系统得到的几何电磁特异形式有如下的表达式:

具体的证明过程可以参考文献[4]。

定理2.4:由Kaldor流(5)产生经济几何Yang-Mills能量有如下的表达式:

证明: