挖掘本质，提升思维

徐守军

近五年来，双曲线每年都出现在高考的小题中，分布在不同的试题中，以双曲线的定义和性质为核心进行考查.随着年份的推移，考查的难度在加深.主要依托解三角形为背景进行考查，三角形个数越来越多，几何条件的转化也更有挑战性.2023年年高考索性立足于新高考Ⅰ卷第16题的位置，更彰显其地位和研究价值.下面，我围绕该题进行探讨，主要研究其几何条件如何通过解三角形简化计算，以此提高解题的效率．

一、试题重现

已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F 1，F 2.点A在C上，点B在y轴上，F 1A⊥F 1B，F 2A=-23F 2B，则C的离心率为    ．

二、试题分析

本题虽然在试卷第16题的位置，但属于中等难度的题目，还是较多考生可以做出来.看到本题侧重于“解三角形”，即在解析几何的背景下，考生需要剥离无用的外表而找到问题的本源.用好y轴平分∠B与F 1O=F 20的隐含条件，对 Δ BF 1A作出全面的解析.从而求得离心率．

三、主要解法

解法一：依题意，设｜AF 2｜=2m，则｜BF 2｜=3m=｜BF 1｜，｜AF 1｜=2a+2m.

在 Rt △ABF 1中，9m2+（2a+2m）2=25m2，则（a+3m）（a-m）=0，故a=m或a=-3m（舍去），所以｜AF 1｜=4a，｜AF 2｜=2a，｜BF 2｜=｜BF 1｜=3a，则｜AB｜=5a，

故 cos ∠F 1AF 2=｜AF 1｜｜AB｜=4a5a=45，所以在△AF 1F 2中， cos ∠F 1AF 2=16a2+4a2-4c22×4a×2a=45，整理得5c2=9a2，故e=ca=355．

解法二：依题意，得F 1（-c，0），F 2（c，0），令A（x 0，y 0），B（0，t），

因为F 2A=-23F 2B，所以（x 0-c，y 0）=-23（-c，t），则x 0=53c，y 0=-23t.

又F 1A⊥F 1B，所以F 1A·F 1B=83c，-23t（c，t）=83c2-23t2=0，则t2=4c2.

又点A在C上，则259c2a2-49t2b2=1，整理得25c29a2-4t29b2=1，则25c29a2-16c29b2=1，

所以25c2b2-16c2a2=9a2b2，即25c2（c2-a2）-16a2c2=9a2（c2-a2），

整理得25c4-50c2+9a4=0，则（5c2-9a2）（5c2-a2）=0，解得5c2=9a2或5c2=a2，

又e>1，所以e=355或e=55（舍去），故e=355．

解法三：由BF 2：F 2A=3：2知S △BF 1F 2：S △AF 1F 2=3：2.设∠F 2F 1A=α，角度关系如图所示，即BF 1 sin （90 ° -α）：AF 1 sin  α=3：2，而BF 1：AF 1=1： tan  2α．

有3 tan  α tan  2α=2，解得： tan  α=12，  sin  α=15， cos  α=25， cos  2α=35．

由 Δ F 1F 2A中的正弦定理有： F 1F 2：（AF 1-AF 2）=e= cos  2α cos  α- sin  α=355．

由e=F 1F 2|F 1A-F 2A|求得離心率．

由此我们发现，该题主要的解法可以分成两类：几何法、解析法.无论是用边角关系建立方程还是正余弦定理，都是切实可行并且计算量不大的.解析法主要是用坐标来表示长度和角度，大大降低了逻辑推理的难度，主要考查考生的数学运算能力.无论是上述哪种解法，对该题来说都是行之有效的．

四、历年对比

（2018理Ⅰ-11）已知双曲线C：x23-y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若△OMN为直角三角形，则｜MN｜=（  ）

A.32

B.3

C.23

D.4

（2019理Ⅱ-11）设F为双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点.若｜PQ｜=｜OF｜，则C的离心率为（  ）

A.2

B.3

C.2

D. 5

（2019理Ⅰ-16）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若

F 1A=AB，F 1B·F 2B=0，则C的离心率为    ．

（2020理Ⅰ-15）已知F为双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为    ．

（2020理Ⅲ-11）设双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5.P是C上一点，且F 1P⊥F 2P.若△PF 1F 2的面积为4，则a=（  ）

A.1

B.2

C.4

D.8

（2021甲卷理-5）已知F 1，F 2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F 1PF 2=60°，｜PF 1｜=3｜PF 2｜，则C的离心率为（  ）

A.72

B.132

C.7

D .13

（2022乙卷-11）双曲线C的两个焦点为F 1，F 2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F 1作D的切线与C交于M，N两点，且 cos ∠F 1NF 2=35，则C的离心率为（  ）

A.52

B. 32

C. 132

D.  172

通过前5年的试题研究，发现双曲线每年都会考查，而且几乎每年的考查都离不开“垂直”，几乎都在考查离心率.实际上无论垂直与否，都是在考查“解三角形”.很明显，新高考的趋势告诉我们，越来越多的知识板块在相互渗透，题目的本质其实是一样的，但题型一直在变化，这就要求我们备考的时候脱离机械刷题，要学会透过现象看本质，从而总结出解决问题的一般规律．

五、命题思考

在课本的解析几何板块，无论是直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线，都有专门的例题和练习与现实情境相联系，如双曲线的几个题：

（人教版新教材 P 120例2）已知A，B两地相距800 m ，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s，且声速为340m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．

（人教版新教材 P 122例4）双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（圖3.2-10（1））.它的最小半径为12 m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m ）．

（人教版新教材 P 146复习参考题15）综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜.这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚.例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为2 m 的反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示.其中，一个反射镜PO 1Q弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜MO 2N弧所在的曲线为双曲线的一个分支.已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，其中F 2同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸（单位 mm ），分别求抛物线和双曲线的方程．

在高考命题中主张数学问题情景化，考查数学建模的思想，转化与化归的思想方法.所以个人认为，也可以把这个高考题再重新包装一下，变得更加有味道，对学生的应用意识要求更上一层楼.比如说涉及到焦点（焦点三角形）问题可以与光学性质相结合（后面变式推广有相应题目），与定义或方程相关可以与建筑等相结合，诸如此类，其实都是不错的题材.可以丰富学生的视野，提升爱国情怀，也可以教会学生如何采集有效信息，专注解决核心问题．

为了让试题的本质更加明显，对解三角形的应用更加深刻，在此对该高考题进行变式与推广：

【变式1】原题中，去掉条件F 2A=-23F 2B，改为“记F 1A与y轴交于点K，有F 1K=35KA”．

【提示】用角平分线定理．

【变式2】原题中，将“双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）”改为“椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）”．

【提示】基本不变，最终e=|F 1F 2||F 1A|+|F 2A|即可．

【变式3】原题中，去掉条件“∠BF 1A=90°”，增加“设双曲线过A的切线交y轴于R，F 1R交BA于T，有BT=34TA”，或更有迷惑性地，题设为“BT=57BF 2”．

【提示】光学性质. R为 Δ BF 1A的内心， F 1R为角平分线，再用角平分线定理．

【拓展1】双曲线Γ：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心， F 1F 2为半径作圆，交Γ于A，B，C，D，其中A，B在Γ的左支， C，D在Γ的右支.若ΔACD的重心在y轴上，求Γ的离心率．

【拓展1解析】由对称性知：x A=x B，x C=x D.由ΔACD重心在y轴上知： x A+2x C=0.……①

取左准线x=-a2c.由|AF 1|=|CF 1|知A，C至l的距离相等.……②

结合①②可得： x A=-4a2c，x C=2a2c．

解法一：设C的纵坐标为n，则：

n2+（2a2c+c）2=4c2，

4a4a2c2-n2b2=1，消去n2得： 4e4-9e2=0，有e=32．

解法二：由第二定义有： 3a2c2c=1e，于是e=32．

【拓展2】双曲线Γ：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F 1，F 2，左右顶点分别为A 1，A 2，过F 1作AB直线交双曲线左支于A、B，有|AB|=|AF 2|.过A 1作A 1H⊥BF 2于H，有 tan ∠F 1HA 1=1515，求Γ的离心率．

【拓展2解析】双曲线Γ：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦点分别为F 1，F 2，左右顶点分别为A 1，A 2，过F 1作AB直线交双曲线左支于A、B，有|AB|=|AF 2|.过A 1作A 1H⊥BF 2于H，有 tan ∠F 1HA 1=1515，求Γ的离心率．

由|AB|=|AF 2|，且AF 2-AF 1=2a，知BF 1=2a．

由∵H为BF 2中点，有OH为ΔF 2F 1B的中位线.记γ=∠F 1HA 1．

于是， OH=OA 1=OA 2=a，有∠A 1HA 2=90°．

设∠OA 2H=θ，由e+1e-1=c+ac-a=A 2F 1A 1F 1=S  Δ A 2HF 1S  Δ A 1HF 1=A 2H·HF 1· sin （γ+90 ° ）A 1H·HF 1· sin  γ=15 tan  θ……①

与∠A 2OH=∠A 2F 1B= π -2θ，从而ep1-e cos  2θ=2a，化简得：  cos  2θ=1- tan 2θ1+ tan 2θ=3-e22e……②

由②可得： tan 2θ=e2+2e-33+2e-e2=（e+3）（e-1）-（e-3）（e+1）……③，代入①式得e=32或e=2．

变式和推广的过程对题目进行了横向和纵向推广，渗透了一些二级结论.实际上在高考复习中不仅做题，也要研究题，更重要的是学会多角度解决问题，在解题的过程中提升转化的能力，才能在高考中如鱼得水．

总的来说，该题依据课程标准命题，深化基础考查，突出主干知识，创新试题设计，加强教考衔接，发挥高考试题对中学教学改革的引导和促进作用．

责任编辑  徐国坚