类分数阶微分系统的能控和能观性

摘 要： 动态微分系统的能控性和能观性是现代控制理论的基本问题，紧密联系着微分系统的极点配置、最优控制和观测器设计等。能控性是评估系统是否具有通过控制作用支配系统状态的能力，而能观性则研究系统测量输出是否具备推断系统内部状态的能力。本文研究了类分数阶线性微分系统和矩阵李雅普诺夫微分系统的能控和能观性问题。首先，应用常数变易法给出类分数阶线性系统的解析解，基于解析解导出类分数阶线性微分系统能控能观的充分必要条件；其次，应用相似方法提出了类分数阶矩阵李雅普诺夫微分系统能控能观性的判定准则，同时研究其稳定性问题；最终，通过两个具体的数值案例，本文提出的理论结果的有效性得到了充分的验证，从而不仅证实了我们的分析的正确性，而且展示了所提出方法在实际应用中的潜力和价值。

关键词： 类分数阶线性微分系统；类分数阶矩阵李雅普诺夫微分系统；能控性；能观性

中图法分类号： O231.1 文献标识码： A 文章编号： 1000-2324（2024）06-0943-07

能控性和能观性是从控制和观测角度表征微分系统结构的两个基本特性。整数阶线性微分系统的经典控制理论提供了通过能控格拉姆矩阵和能观格拉姆矩阵的秩，检验系统能控性和能观性的基本方法，证明了线性微分系统能观性和能控性是对偶的。经过几十年的发展，整数阶线性微分系统的能控和能观性研究已经取得了许多优秀的研究成果［1，2］。然而，有时应用整数阶微分系统描述实际问题不够准确，无法描述出问题的本质，所以诞生了经典分数阶微积分理论［3，4］。应用经典分数阶微分系统能够更加准确的描述实际问题的本质，因此经典分数阶微分系统理论及应用研究近年来已成为数学、控制等领域的研究热点［5，6］。经典分数阶微分系统的能控和能观性是分数阶控制理论的基本问题，目前存在许多研究成果，如文献［7］导出了连续时间分数阶微分系统能控和能观矩阵并给出了相应的计算方法，文献［8］针对多个不同阶的分数阶微分系统，提出了能控性和能观性判定准则，其它经典分数阶微分系统的能控能观性问题的研究见［9-11］。