带有变系数的分数阶线性微分方程的显式解

摘要：分数阶微积分理论是传统整数阶微积分理论的推广和延伸。相比较于传统整数阶微积分，分数阶微积分具有遗传和记忆功能，可以更加准确地模拟现实生活中的复杂现象。许多农业机械控制的研究指出，分数阶微积分可以大大提升控制系统设计过程中的灵活度，使系统具有更好的控制性能。可见，分数阶微积分理论在农业机械控制和农业信息化等方面起到了不可或缺的作用。分数阶线性微分方程作为基础和常见的分数阶系统，其显式解虽然得到了一些研究，但仍然不够成熟，致使后续应用工作受阻。本文讨论了带有变系数的分数阶线性微分方程的初值问题，通过逐步逼近方法和广义Mittag-Leffler 函数，得到了在齐次和非齐次两种情况下的显式解，并给出了通俗易记的表达式。齐次情况下的显式解与现有研究结果保持一致。非齐次情况下的显式解修正并改进了B. Sambandham等人在文献［1］中的论述。另外，当阶数ν → 1 时，整数阶的结果可作为特殊情况推导得出。本文期待能为交叉学科的发展提供一定的理论参考。

关键词：分数阶微分方程；显式解；Mittag-Leffler函数；算子级数的收敛

中图法分类号： O175.1 文献标识码： A 文章编号： 1000-2324（2024）06-0874-07

整数阶线性微分方程的显式解是众所周知的，它为解决控制问题提供了理论基础。分数阶微积分理论是传统整数阶微积分理论的推广和延伸。相比较于传统整数阶微积分，分数阶微积分具有遗传和记忆功能，可以更加准确地模拟现实生活中的复杂现象。从建模的角度来看，具有分数阶导数的动力系统被认为更为契合实际，也更有效便捷。特别是在农业机械控制和农业信息化等方面，分数阶微积分理论起到了不可或缺的作用［2-5］。另外，分数阶微积分也广泛应用于航空航天、量子化学、生物医学和电子信息工程等学科领域。因此，对分数阶微积分理论和应用的研究越来越受到人们的重视［6-10］。

分数阶线性微分方程作为基础和常见的分数阶系统，其显式解虽然得到了一些研究，但却没有统一简易的表达。这致使很多交叉学科的工作苦于没有明确的显式解而止步不前，甚至有些在用错误的结果。本文将探讨带有变系数的分数阶线性微分方程的初值问题，旨在能为读者提供些许理论参考。