数形结合思想在初中数学教学中的渗透与应用

■福建省龙岩市新罗区教师进修学校附属学校 肖小兰

数形结合思想应用于初中数学课程教学活动中，为初中教学工作改革指明了方向，带来创新发展动力的同时，对教学活动提出了更高要求。在此形势下，初中数学教师要选择科学合理的方式开展教学活动，显著提升教学成效，助力学生数学素养的发展。基于此，本文分析了在初中数学教学活动中渗透数形结合思想的重要性与实践策略。

一、数形结合思想概述

数形结合思想是一种数学解题方法，常用于数学基础知识、概率论、数据结构等问题解决方面。其基本思想是按照数形结构组织数据，在数形结构中进行分类、结合和计算，从而得到全面、准确的答案，避免重复和遗漏。具体而言，数形结合思想通常包括以下几个步骤。

1.描述问题：确定问题的背景和题干，明确问题需要求解的内容。

2.从根节点开始构建数形结构：将问题中给出的信息组成“一棵树”，其中节点表示问题中需要考虑的元素，边表示这些元素之间的关系。初始状态下，根节点表示节点。

3.定义层次：根据问题的特点，将数形结构分成不同的层次。例如，对相关的数学问题，可以根据选择的顺序将数形结构分成不同的层次，每一层表示一次选择。

4.确定分支：根据选择或不选择的情况，确定每个节点的分支。例如，每个节点对应一个元素，每个节点有两个分支，表示选择或不选择。

5.计算答案：根据数形结构进行分类、结合和计算，得到全面准确的答案。

由此可见，数形结合思想是一种重要的数学解题方法，通过组织数据，分类、计算得到准确的答案，同时避免重复和遗漏。在数学领域中，数形结合思想被广泛应用于结合数学、概率论、数据结构等领域，具有重要的现实意义。

二、在初中数学教学活动中渗透数形结合思想的重要性

数形结合思想是数学中的一种重要思想，可以在初中数学课程教学活动中得到很好的体现和应用，具有重要价值。首先，使用数形结合思想能够使学生从众多的数学概念和知识中，有条理地筛选出重点，建立起逻辑、系统、结构化的思维方式，从而更容易深入理解所学知识。其次，在数形结合思想中，学生要清晰地分析问题，判断数据之间的关系，从而在数学运算中实现数据的结合与分类，促进思维能力和解决问题能力的提升。再次，使用数形结合思想能够激发学生的学习积极性和自主性，使学生在学习数学知识时能够更主动地寻找问题解决方法，从而更自信地学习。最后，将数形结合思想应用于初中数学教学中，不仅能够让学生在个人思考过程中获得成就感，还能够促使学生发挥集体智慧，提高学生的团队协作能力。因此，在初中数学教学活动中渗透数形结合思想，能够有效提升学生的数学思维能力，激发学生的思考兴趣，为学生今后的学习带来更多收获。

三、在初中数学教学活动中渗透数形结合思想的有效措施

（一）在基础知识教学期间引入数形结合思想

数学是一门应用性较强的学科，在日常生活中有着极为广泛的应用空间，这也意味着生活化教学法是引入数形结合思想的有效途径。因此，在基础知识教学环节，教师选择科学的方式渗透数形结合思想，有助于学生思维能力的发展。在初中数学教学中，数形结合思想是学生解题非常重要的工具，利用图形化的方式总结某个数学概念的所有可能性，将学生的思路更清晰而有逻辑地组织起来，以便解决各种数学题目。

例如，在《二次函数》教学中，教师可以渗透数形结合思想。首先，教师引入一些典型的二次函数问题，引导学生萌生数形结合思想。其次，教师以数形结构分类组织知识点，如按顺序将二次函数的一般式、顶点式等知识点用数形结合分开来解释，不仅可以让学生更好地理解知识点之间的关系，而且便于学生轻松记忆。再次，用数形结合思想解决问题。教师可以在数形结构中分类问题，将一堆杂乱无章的问题利用图形的形式清晰地整理出来，使学生根据问题画出图形，再按照图形解决问题，掌握系统化解决问题的方法。最后，积极引导学生数形分析，深化学生对数学知识点的理解，在解决问题的过程中，鼓励学生使用数形结合思想，提升其解题能力，提出类似的二次函数问题，要求学生自主画图形、解决问题，使学习过程更加井井有条，进而提高学生的解题效率。

（二）借助生活案例引入数形结合思想

在教学中渗透数形结合思想时，教师应该让学生了解，所谓数形结合就是找准数与形的契合点，根据对象的属性，将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，成为解决问题的关键所在。利用渗透数形结合思想进行教学，不仅能够促进学生思维方式向更高层次转化，而且可以提高学生解决问题的能力，在实践中提高学生的数学素养。数形结合思想是一种思考问题并组织知识的方式，可以帮助学生更好地理解和记忆课程知识点，在解决问题时快速找到思路，达到事半功倍的效果。在初中数学基础知识环节渗透数形结合思想，可以对学生的思维方式和学习成效产生积极影响。

例如，在《二次函数的图像和性质》教学中渗透数形结合思想，首先，教师应了解数形结合思想的基本概念。数形结合思想是一种将各类现象的共性规律系统化组织起来的思维方式，即将某些对象按照某种规则组织起来，形成一个数形或网状的结构，以便分类、比较、推理和升华。其次，教师应在教学中采用清晰而简单的数形结构图来组织知识。对一些抽象的数学概念，通过清晰的数形结构图，将知识点整合在一起，使学生容易理解这些概念之间的联系。最后，教师应鼓励学生积极运用数形结合思想进行综合思考和深度分析，先按照二次函数的图像和性质，结合问题画出二次函数图像，再根据图像内容进行计算，有利于培养学生的数形结合思想，提升教学指导效果。

（三）创设生活化例题

生活化例题和数形结合思想都是教学中常用的教学方法，二者之间可以相互结合、取长补短。其中，生活化例题是以学生实际生活中的问题作为教学内容，通过直观生动的形式激发学生的学习兴趣，培养学生发现问题和解决问题的能力。而数形结合思想是一种系统性和分层次的学习方法，将知识系统化，形成一种由易到难、由简单到复杂的递进式知识框架，从而帮助学生理清知识点之间的逻辑结构和关联，提高学习效率和学习质量。将二者结合起来，能够很好地发挥它们的优势。在教学中，教师可以根据具体的知识体系，将知识点以数形结构进行组织，并在每个节点设置相应的生活化例题，让学生在求解这些实际问题的过程中，逐步加深对知识点的理解，更好地理清知识点之间的逻辑关系，形成系统的知识框架。

由此可见，生活化例题和数形结合思想是相互补充、相互促进的，它们的结合可以更好地发挥其在教学中的作用，提高学生学习质量。以生活化例题为教学载体的演练，可以帮助学生更深入地掌握二次函数的概念、图像和基本性质，提高学习自觉性，形成自主学习和探究能力。

例如，在《二次函数的图像和性质》教学中，为了激发学生学习的兴趣和积极性，教师可以通过生活化例题演练来达到教学目标。首先，教师要关注学生的学习兴趣，结合生活中的实例，让学生了解二次函数的性质和基本图像，进一步提高学生的学习兴趣。其次，在演练中，教师要让学生在课堂上动手做题，如分组学习。通过多次演练，学生能够理解题目中的难点和解题思路。再次，教师可以列举一些简单的生活例题，并给予学生转化时间，使学生熟练地掌握和运用二次函数知识，理解其在生活中的实际应用。最后，在生活化例题演练中，教师要逐步加深难度，让学生逐步进入“合作－展示－竞赛”模式，引导学生建立良好的自主学习和探究习惯。除此之外，在提高学生对二次函数图像的理解和绘图能力时，教师可以给学生提供一个图形界面，让学生根据所给条件来设计二次函数图像，这样学生可以很好地掌握二次函数的图像和性质，深入分析图像内容，按照图像内容处理问题。

（四）信息化教学引入数形结合思想

在教学中，教师可以使用信息化技术如幻灯片、动画、视频等多媒体手段，将抽象的数学概念进行可视化展示，使学生更好地理解这些概念。将数学概念按照其内部结构和逻辑关系进行分解，并形成数形结构，可以更好地梳理知识点之间的关系，有利于理清学生的思路和思维方向。需要注意的是，数形结合思想要求教学以递进式的方式进行，从而在教学过程中不断深化学生的理解，有序地展开知识教学。

例如，在《弧长和扇形面积》教学中，借助信息化技术能够很好地展现抽象的知识，而数形结合思想则是一种有利于梳理知识结构、加深理解的方法。首先，教师使用信息化手段，将弧长和扇形面积的概念进行可视化展示，有利于学生理解和记忆，使抽象的概念具象化，学生更容易接受和应用到实际问题解决中。其次，将弧长和扇形面积的概念按照其内部结构和逻辑关系进行分解，并形成数形结构。在教学中，有步骤地展开知识教学，帮助学生逐步加深对知识点的理解，形成更系统的知识框架。最后，教师可以使用一些例题来帮助学生巩固弧长和扇形面积概念的相关知识，引导学生根据例题内容画出“扇形”，然后进行扇形面积计算，使学生的学习更有组织、有系统。例题的难度可以逐步加深，在巩固知识点的同时，帮助学生提高解题能力和思维能力。由此可见，借助信息化技术展现抽象性的知识，结合数形结合思想进行教学，对完成《弧长和扇形面积》的教学任务能够取得很好的效果。

（五）启发式教学引入数形结合思想

启发性问题是指那些明确问题背景、鼓励学生发散思维、注重学生独立思考和探究的问题。在初中数学课程教学中提出一些有启发性的问题，不仅能够调动学生的学习兴趣，激发学生的求知欲望，而且能够帮助学生形成自主学习习惯。数形结合思维是一种思维清晰、组织有序的思考方式。在教学中，教师借助数形结合思想，可以帮助学生将复杂的问题逐层拆解，理清各个部分之间的关系，这不仅有利于学生更深入地掌握知识，还有助于提升学生的思维水平和解决问题的能力。教师提出启发性的问题能够帮助学生激发思维和创造力，促进学生主动思考问题。将启发性问题与数形结合思维引入教学中，可以使学生养成良好的分析问题意识。

例如，在《弧长和扇形面积》教学中，教师提出启发性问题，引入数形结合思想，能够帮助学生更好地理解和掌握知识，养成良好的分析问题的意识。首先，教师要注意引导学生自主思考问题，提出问题之后要鼓励学生独立思考，提供一些启发性的提示，激发学生的求知欲望，提高其自主探究问题的能力。其次，布置启发性问题时，教师可以指导学生画图，通过图形分解、解构问题逐步理清思路和逻辑关系，这有助于促进学生深入思考，提高学生分析问题的能力。最后，在引导学生探究问题的过程中，教师要鼓励学生针对问题提出想法，有助于锻炼学生的思维能力，让学生更深刻地理解知识点，从而更好地应用和总结所学知识。

四、数形结合思想背景下初中数学教学启示

（一）强调知识的结构化

学科知识的结构性是指学科知识由基础概念、定义、定理和性质等组成有机整体。初中数学教学应以此为核心，将重点知识、概念、定理、公式等放在课程结构的核心位置，通过数形结构展开教学，减轻学生的认知负担。教师可以制作知识点的数形结构，让学生一目了然知识点之间的内在联系，从而更好地掌握知识。

（二）强调适度拓展

对一些优秀的学生，教师可以在教学中适当添加一些有挑战性的内容，让学生有“超前学习”的切身体验。例如，教师可以提出一些深入拓展的问题，通过数形结合思维引导学生形成拆解、思考的学习习惯，逐步提高学生的数学思维水平。

（三）辅助学生归纳总结

知识点的归纳总结是数学教学的重要环节，有助于学生形成独立思考和总结知识的良好习惯。在教学中，教师应该注意培养学生的归纳总结能力，利用数形结合思想引导学生在总结中逐步理清知识点之间的内在联系。

五、结语

总而言之，初中数学课程与数形结合思想密不可分，二者相辅相成、相互促进。教师结合课程改革需求以及学生个性化发展需求，利用科学合理的方式开展教学改革，选择恰当的时机渗透数形结合思想，有助于学生数学思维的发展。