向量法在空间角求解中的应用

摘" 要：向量法是一种广泛应用于几何问题求解的方法，特别是在空间角的计算中，向量法可以简化逻辑思维，是学生解答空间角的一个有力工具.文章结合例题，阐述了向量法在空间角中的几种具体应用，加强学生对该方法的理解和应用.

关键词：向量法；空间角；应用

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）16-0025-03

收稿日期：2024-03-05

作者简介：张振华（1985.12—），男，福建省诏安人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

高考数学中，空间角是常见的一个考点.在解答空间几何问题时，往往需要学生运用空间想象能力，将复杂的三维问题转化为二维问题来处理［1］，或者通过向量来表示空间中的点、线、面之间的位置关系，计算夹角、距离等［2］.

1" 求解空间的角大小

1.1" 异面直线所成的角大小

例1" （2018年全国Ⅱ卷）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.

解析" 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图1所示.

由条件可知D（0，0，0），A（1，0，0），D1（0，0，3），B1（1，1，3）.

所以AD1=（-1，0，3），DB1=（1，1，3）.

所以由向量夹角公式，得

coslt;AD1，DB1gt;=AD1·DB1

|AD1||DB1|" =225=55.

即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为55.

1.2" 直线与平面所成角的大小

例2" 如图2，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点.

（1）求证：D1F∥平面A1EC1；

（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值.

解析" （1） 以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图3所示，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），C1（2，2，2），D1（0，2，2）.

因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，

所以E（2，1，0），F（1，2，0）.

所以D1F=（1，0，-2），A1C1=（2，2，0），A1E=（2，1，-2）.

设平面A1EC1的一个法向量为m=（x1，y1，z1），则

m·A1C1=2x1+2y1=0，m·A1E=2x1+y1-2z1=0.

令x1=2，可得y=-2，z=1.

所以m=（2，-2，1）.

因为D1F·m=2-2=0，

所以D1F⊥m.

又因为D1F平面A1EC1，

所以D1F∥平面A1EC1.

（2）由（1）得，AC1=（2，2，2）.

设直线AC1与平面A1EC1所成的角为θ，

则sinθ=|cos〈m，AC1〉|=|m·AC1||m||AC1|=|（2，-2，1）·（2，2，2）|3×23=23×23=39.

1.3" 二面角的大小

例3" （2023年新课标全国Ⅱ卷）如图4，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E为BC的中点.

（1）证明：BC⊥DA；

（2）若点F满足EF=DA，求二面角D-AB-F的正弦值.

解析" （1）连接AE，DE，因为E为BC中点，

DB=DC，所以DE⊥BC.①

因为DA=DB=DC，∠ADB=∠ADC=60°，

所以△ACD与△ABD均为等边三角形.

所以AC=AB.

从而AE⊥BC.②

由①②，AE∩DE=E，AE，DE平面ADE，

所以BC⊥平面ADE.

而AD平面ADE，所以BC⊥DA.

（2）不妨设DA=DB=DC=2，因为BD⊥CD，

所以BC=22，DE=AE=2.

所以AE2+DE2=4=AD2.

所以AE⊥DE.

因为AE⊥BC，DE∩BC=E，DE，BC平面BCD，

所以AE⊥平面BCD.

以点E为原点，ED，EB，EA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图5所示，则D（2，0，0），A（0，0，2），B（0，2，0），E（0，0，0），平面DAB与平面ABF的一个法向量分别为n1=（x1，y1，z1），n2=（x2，y2，z2），二面角D-AB-F的平面角为θ.

因为AB=（0，2，-2），EF=DA=（-2，0，2），

所以F（-2，0，2）.

即有AF=（-2，0，0）.

所以-2x1+2z1=0，2y1-2z1=0.

取x1=1，所以n1=（1，1，1）.

所以2y2-2z2=0，-2x2=0.

取y2=1，所以n2=（0，1，1）.

所以|cosθ|=|n1·n2||n1||n2|=23×2=63.

从而sinθ=1-69=33.

所以二面角D-AB-F的正弦值为33.

2 "求解空间角的最值

例4" （2020年新全国Ⅰ卷）四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.

（1）证明：l⊥平面PDC；

（2）已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.

解析" （1） 在正方形ABCD中，AD∥BC，

因为AD平面PBC，BC平面PBC，则AD∥平面PBC.

因为AD平面PAD，平面PAD∩平面PBC=l，

所以AD∥l.

因为在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，

所以AD⊥DC.

所以l⊥DC.

因为PD⊥平面ABCD，所以AD⊥PD.

所以l⊥PD.

因为CD∩PD=D，所以l⊥平面PDC.

（2）如图6建立空间直角坐标系D-xyz，因为PD=AD=1，则有D（0，0，0），C（0，1，0），A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0）.

设Q（m，0，1），则有

DC=（0，1，0），DQ=（m，0，1），PB=（1，1，-1）.

设平面QCD的法向量为n=（x，y，z），

则DC·n=0，DQ·n=0.即y=0，mx+z=0.

令x=1，则z=-m.

则平面QCD的一个法向量为n=（1，0，-m）.

则coslt;n，PBgt;=n·PB|n||PB|=1+0+m3·m2+1.

所以有|coslt;n，PBgt;|=|1+m|3·m2+1=33·1+2m+m2m2+1=33·1+2mm2+1≤33·1+2|m|m2+1≤33·1+1=63，当且仅当m=1时取等号.

所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63.

3" 结束语

向量法和几何法都是处理空间角问题的常用方法.当运用向量法进行求解时，建立合适的空间直角坐标系是解题的关键，该法虽然降低了思考的难度，但需要较多的代数运算，计算量较大.几何法的难点则在于辅助线的构造，对学生的空间能力以及综合分析能力要求较高.在实际解题过程中，需要根据具体问题情况选择合适的解法.

参考文献：

［1］

祖康杰.灵活运用空间向量，提升解答空间角问题的效率［J］.语数外学习，2023（02）：40-41.

［2］ 马应雄.向量方法在立体几何问题中的常见应用［J］.中学数学，2022（23）：64-65.

［责任编辑：李" 璟］