关注思维发展 提高思维能力

数学思维能力的培养及发展往往需要一个长期且复杂的过程，需要日常教学中的不断渗透.然受“功利教育”的影响，有些教师在日常教学中过度追求结果而忽视了学生思维能力的培养，致使学生在后期综合应用时显得力不从心.为此，在日常教学中应引导学生认真探索、积极实验，使其经历知识发生、发展、深化的过程，从而让学生在形成正确认知的同时，思维能力也能够得以提升.笔者结合一些具体的教学实践，谈了一些在日常教学中发展学生思维能力的一些认识和感悟，现分享给大家，以期共鉴.

1 让思维能力在概念教学中扎根

概念是数学知识的重要组成部分，对概念理解的深浅程度直接关系到学生解题能力的高低.然数学概念是在生产生活中不断抽象、概括总结而来的，因此学生会感觉数学概念是抽象的，难以理解的，为此对概念并没有形成“好感”.加之在教学中，有些教师为了追求教学速度，常常对概念教学进行整合和压缩，使得概念教学变成了突兀的照本宣科，学生并没有对数学概念形成深刻的印象，从而在应用概念解决问题时常常受阻，影响了数学应用能力的提升.笔者认为，在概念教学中可以通过情境、问题、对话、追问等形式让学生经历概念的形成过程，从而让学生的数学思维在经历的过程中得以扎根.

案例1对数的概念

问题情境：已知某一放射性物质的质量逐年缩减，每过一年其质量就变成了原来的84%，假设最初的质量为1，请自己提出一个数学问题并解答.（学生思考片刻，提出问题.）

生1：5年后该物质剩余的质量是多少？10年后剩余的质量是多少？

生2：多少年后，该物质剩余的质量为原始质量的一半？

师：很好，两位同学分别从正、逆两个角度提出了问题.那么这两个问题该如何求解呢？

生1：先建立指数函数模型，令剩余质量为y，年份为x，则有y=0.84x，求当x=5和x=10时的y值.

生2：在指数函数y=0.84x中，已知y=0.5，求x值，即解方程0.84x=0.5.

师：思考一下方程0.84x=0.5是否有解呢？有几个解？

生3：有解，且有唯一解.

师：说说你的理由.

生3：结合指数函数y=0.84x和y=0.5图象（如图1），可知两图象有交点，且交点唯一，所以方程有唯一解.不过运算比较复杂，还没有得到具体的值.

师：能够联想应用函数图象来求解方程问题，将函数与方程完美地融合在一起，应用数形结合思想、函数与方程思想来解决问题，非常好.

师：结合上面问题，我们知道要想得到最终值就要解指数方程，你能求解下列指数方程吗？

（1）2x=1；（2）2x=4；（3）2x=18；（4）2x=3.

问题给出后，学生迅速地给出了前面三个问题的答案，但是对于第（4）题大家都犯了难.

师：方程2x=3有解吗？

生齐声答：有解，但是不能确定准确的x值.

师：回忆一下，在初中最初解方程x2=3时，我们是如何解决的呢？

生4：因为难以方程的根表示，最后引入了新的符号——根号.

师：很好，数学家经过多年的研究，引入了新的记法.用log23表示以2为底3的对数，那么方程0.84x=0.5的解是什么呢？

生齐声答：log0.840.5.

接下来教师举了几个特例后，引导学生观察并总结，将问题向一般转化：如果ab=N（a＞0，且a≠1），那么logaN=b.这样以学生的认知为出发点，通过逐层的分析和联想引出了对数的概念，让学生不仅知道数学概念的引出是必要的，是自然的，而且对概念形成了深刻印象，思维能力也得到了发展.

2 让思维能力在定理教学中开花

数学公式、定理与结论是解决数学问题的主要依据和重要工具.如果在新知授课时对这些公式、定理仅做简单的介绍而不进行有效的推理和证明，那么学生难以对其形成深刻的印象，而且难以知晓隐含其中的价值，这将影响学生解题能力的提升，影响学生思维能力的发展.为此，在定理教学中，教师可以设置一些探究性的学习活动，让学生在探究的过程中积聚能量，实现自我发展.

案例2直线与平面平行的判定教学片段

师：你能列举一些关于直线与平面平行的实例吗？

生1：黑板的上边缘与地面是平行的.

生2：教室的日光灯与地面也是平行的.

生3：书桌的任意一条边与地面都是平行的.

…………

设计意图：借助实物直观感知体验生活中的直线与平面平行，培养空间观念，为后面的探究做好铺垫.

师：大家都说得很好，但是数学知识是抽象的，如果单凭感觉来判断似乎有些行不通.若直线为a，平面为α，该如何判定a∥α呢？

设计意图：借助问题引导学生从数学的角度去思考平行问题，为判定定理的探究做了铺垫.

师：现在我们一起动手做一做，桌子上有一支笔，如何操作可以让它与桌面平行呢？

生4：可以将笔竖直向上拉起来.

师：一定要竖直方向平移才行吗？

生5：其实也可以斜着平移，只要保证沿着某一方向移动就可以了.

师：很好，联想一下开门过程，看一下你又有什么收获？

设计意图：通过具体操作，引导学生大胆猜想“直线a是平面α外的一条直线，若其与平面α内的一条直线平行，则a∥α”.

师：我们刚刚的猜想正确吗？能否进行验证呢？

生6：如图2，在平面α内作直线b，a与b没有交点，所以a∥α.

接下来教师又引导学生将直线b在平面α内平移，得到直线c，不难发现a∥c，a与c也没有交点，以此类推，在平面α内平移直线b会得到无数条直线c，直线a与平面α内的无数条直线都是平行的，而这些无数条直线组成了平面α，所以直线a与平面α没有公共点，即a∥α.教师还可以引导学生联想平面内的点，因为在平面内过该点一定会找到一条与平面外的直线a平行的线，以此拓展学生思维，揭示数学本质，让学生深入理解定理.

以上探究既让学生感受了数学知识源于生活，又让其体验了几何定理的形成过程，掌握了数学研究方法.在整个过程中，创设的问题都是接近学生最近发展区的问题，符合学生认知，适合学生的思维发展.另外，在教学过程中独立思考与合作交流相结合，通过有效的互动交流实现了知识的内化.

3 让思维能力在解题教学中结果

解题教学是数学教学的重点，有部分学生常将数学学习与解题同等看待，可见解题在数学教学中的地位和价值.通过解题可以促进学生更好地理解知识，有助于实现知识的巩固和内化，有助于促进学生思维能力的提升.

案例3裂项相消法

问题1已知数列{an}满足an=13－3n，设bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn.

在复习数列求和时，教师给出问题1引导学生回顾“裂项相消法”求和.问题给出后，教师先让学生独立思考，再点名让学生进行解答.

解答过程如下：

因为bn=1（－3n+13）（－3n+10）=13·（－3n+13）－（－3n+10）（－3n+13）（－3n+10）=131－3n+10－1－3n+13，

所以Tn=b1+b2+b3+……+bn=1317－110+14－17+11－14+……+1－3n+10－1－3n+13=131－3n+10－110=n10（10－3n）.

师：结合已有经验和上面的解题过程，你能总结一下“裂项相消法”求和的解题要领吗？

生1：我认为主要有两点.一是关于“裂项”，对于形如1anan+1的式子需要按照下面步骤进行拆分，即1anan+1=1d·an+1－ananan+1=1d1an－1an+1（注意其中{an}为等差数列，d为公差）；二是关于“相消”，当通项裂开后，需要明晰消除了哪些项，剩下哪些项，要确保剩下的项是对称的.

问题2已知bn=n+14n2（n+2）2，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意n∈N*，都有Tnlt;564.

问题2给出后，有部分学生感觉无从入手，其关键是学生认为问题2与前面问题有所不同，不懂该如何对通项进行裂项.基于此，教师给予及时的指导，引导学生从分子出发，将分子转化为分母两项之差，从而突破裂项这一难点，即bn=n+14n2（n+2）2=116×（n+2）2－n2n2（n+2）2=1161n2－1（n+2）2，实现裂项后，问题迎刃而解.

通过变式，引导学生领悟解题并不是盲目的套用，在通法“不通”时需要及时调整.另外，通过变式，学生能意识到“通项相消法”的本质是将分子改写成分母两项之差（之和）的形式，从而在解题时学会抓住问题的本质.教师作为课堂教学的组织者和合作者，当学生有困难时，教师要给予及时的指导；当学生有新想法、新思路时，教师要给予及时的鼓励；当问题求解后，引导学生进行总结归纳，厘清问题的来龙去脉，总结出解题通法.

总之，在教学中，教师切勿越俎代庖，要凸显学生的主体性，让学生的思维在数学课堂上得以自由流淌.