借助化归思想提升导数教学效率

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：“数学教育帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需的数学知识、技能、思想和方法.”数学思想被纳入数学教育的内容.教学实践中需要把握导数教学的良好契机，注重化归思想的有效渗透，促进教学效率的有效提升.

1 函数与方程的转化

函数与方程联系紧密.在导数教学中，结合化归思想，创设函数与方程相互转化的教学情境，有助于加深学生对函数与方程关系的认识，掌握解答导数问题的高效思路.

1.1 函数向方程转化

函数在高中数学中占有重要地位.导数部分涉及的函数通常较为复杂，采用常规思路有时无法直接求解，需要将函数转化为方程，通过研究方程根的情况加以突破.教学实践中，教师应以函数图象为媒介，借助多媒体技术，展示函数与方程的内在联系及对应参数的逻辑关系，将二者之间的关系根植于学生内心.同时，围绕教学内容创设相关问题情境，做好转化后具体处理方法的指引，使学生不仅会转化，而且能掌握转化后的作答技巧.

例如，在课堂上展示习题：已知函数f（x）=ax+sin x的图象上存在两条相互垂直的切线，求实数a的取值范围.该题目中涉及的函数是超越函数，无法直接求出切线方程，究竟该怎么转化呢？授课时，教师可以引导学生挖掘与提取题干的有用信息，寻找转化的切入点.设计支架问题：（1）如何求两条切线方程的斜率？（2）两条切线方程的斜率之间有什么关系？（3）转化成对应方程之后，如何运用方程的判别式Δ构建不等关系？

其中，问题（1）启发学生从直线斜率入手分析；问题（2）指引学生联系切线垂直知识构建方程，实现函数问题向方程问题的转化；问题（3）指向方程问题的解决，需要借助方程的判别式与三角函数的有界性，求出对应三角函数的值，进而构造函数得出结果.

三个问题由浅入深，实现了从函数向方程转化以及转化后顺利解答的有效辅助.学生在思考、回答问题的过程中既加深了对函数与方程关系的认识，又通过寻找转化，积累了一定的转化解题经验.

1.2 方程向函数转化

方程向函数转化是解决方程问题的有效方法，在导数部分中体现的尤为明显.一般情况下，通常将复杂的方程问题转化为函数问题，借助导数研究对应函数的增减性以及零点个数、零点范围等进行求解.当然，部分习题技巧性较强，转化后还需要进行针对性变形，以更好地体现隐含的规律.教学实践中，教师需要立足学情与教学实际，给学生提供交流、讨论的机会，让学生在交流、讨论的过程中获得深刻感悟，体会将方程转化为函数解题的乐趣.

例如，教学过程中展示习题：若正实数x0是方程ex+1=aln（ax－1）的根，则ex0－ax0=.该题题干较为简单，但却较为抽象，直接将x0代入方程后，无论怎样变形均无法与要求解的问题建立联系，也就无法解答.教学过程中，教师可以引导学生从给出的方程入手，尝试着将其转化成函数问题，从函数角度探寻解题思路.课堂上预留时间，要求学生相互交流，讨论如何对已知方程变形.

同时，为使学生能尽快找到正确的思考方向，需要做好课堂观察，了解学生的分析思路以及讨论的结果，必要情况下给予点拨.事实上，由题干中的指数型、对数型函数容易联想到函数的同构，借助指数、对数运算的规律将所给方程的左右两边构造出同一形式的新的函数，利用导数得出新函数的单调性.如此通过等量代换便可得出结果.

教师引导学生交流、讨论，进行思维的碰撞.学生带着问题主动思考，并在教师的引导下探寻方程向函数转化的思路，在活跃的课堂氛围中，掌握方程向函数转化的相关技巧，实现课堂学习效率的提高.

2 数与形的转化

数与形是数学中两个非常重要的对象.以数助形，可探究形的细微之处.以形助数，可使数的问题更易解决.高中导数教学中，应通过数与形的转化教学，促进课堂教学实效的提升.

2.1 数向形的转化

高中导数部分的“数”多指“函数”.导数在函数研究中发挥着探寻函数的变化趋势、最值、极值、零点等作用.在具体的函数问题中，基于对题干的理解以及巧妙转化，运用导数进行推理、判断，画出函数的大致图象，可以确保抽象、复杂问题得到创造性的解决.导数教学中，教师应运用多媒体进行函数及其导函数图象的展示，明晰两个图象的对应关系，使学生把握函数图象绘制的关键点.同时，围绕具体习题，进行由数向形转化的解题示范，给学生带来启发.

例如，课堂上讲解如下习题：已知函数f（x）=kx－2，x≥0，－ln（－x），xlt;0的图象上有两个关于坐标原点对称的点，则实数k的取值范围是.解答该题的关键在于深入理解“图象上有两个关于坐标原点对称的点”.教学过程中，可通过由数向形的转化，帮助学生理解题意，寻找突破口.课堂上要求学生观察如图1所示的函数f（x）图象的特点，尤其可在同一平面直角坐标系中作出函数g（x）=ln x的图象，然后提出启发性问题：f（x）=－ln（－x）（xlt;0）的图象和g（x）=ln x的图象之间存在什么关系？

学生通过观察，容易发现两个函数图象关于原点对称.而要想满足题意，则需要函数f（x）=kx－2（x≥0）的图象和g（x）=ln x的图象有两个不同的交点，此时只需找临界点，即直线y=kx－2和g（x）=ln x的图象相切.运用导数以及f（x）=kx－2（x≥0）恒过点（0，-2），容易求得对应的切线为y=ex－2，观察图形容易得出k的取值范围为（0，e）.由此可见，通过数向形的转化，抽象的函数问题就会变得直观易解.

2.2 形向数的转化

形向数的转化主要借助平面直角坐标系以及空间直角坐标系来实现.高中数学导数部分中的形向数的转化，以平面直角坐标系为主.如给出某函数的导函数图象，要求判断原函数的增减性、极值点或极值点个数等.教学实践中，教师应注重解题方法的引导，要求学生认真观察给出的图象，使用列表法，通过导函数的值与0的关系进行判断，体会形向数转化的思维过程，掌握转化的细节.

例如，给出以下习题：已知f（x）和g（x）是定义在（a，b）上的函数，对应的导函数f′（x），g′（x）的图象如图2所示，g′（x）的图象在x2处与f′（x）相切，则有关函数h（x）=f（x）－g（x）的说法正确的是（）.

A.在区间（x1，x2）上先增后减

B.x2为极小值点

C.在区间（x1，x3）上单调递减

D.极大值和极小值点各1个

该习题给出的是两个函数的导函数图象，可以很好地考查学生对导函数含义的理解.该问题的难点在于给出的函数是抽象函数，还涉及到导函数的运算.由函数的求导法则，可得出h′（x）=f′（x）－g′（x）.课堂上要求学生按照x，h（x），h′（x），通过对图象的观察列表，根据h′（x）在0左右的符号做出推理.

导数教学中，部分题目既要进行形向数的转化，又要应用到有关导数的基础知识或一些技巧，可以启发学生联系常规的解题思路解答一些看似复杂的问题.

3 特殊与一般的转化

特殊与一般的转化是进行数学推理的常用方法.导数教学中，通过特殊向一般的转化可以证明相关的结论，通过一般向特殊的转化可求解具体的求值问题.

3.1 特殊向一般转化

归纳法是特殊向一般转化的常用方法.特殊向一般的转化在导数部分通常用于证明相关结论，对学生分析问题的能力以及推理的严谨性要求较高.导数部分教学中，教师应做好归纳法理论知识的讲解，并结合具体解题过程做好解释以及细节的说明，使学生充分理解归纳法的本质.同时，课堂上给出难度适中的习题，组织学生开展以小组为单位的合作学习活动，要求学生积极回顾归纳法的相关知识，相互配合，积极讨论，共同完成解答.

例如，课堂上展示如下习题：已知函数f（x）=x－xln x，数列{an}满足0＜a1＜1，且有an+1=f（an）.

（1）判断函数f（x）在区间（0，1）上的单调性；

（2）证明：anlt;an+1lt;1.

该习题是导数和数列的综合问题.其中，第（1）问难度不大，通过求导不难作出判断.第（2）问难度稍大，需要挖掘出0lt;anlt;1这一条件，证明的过程中不仅需要应用到第（1）问的结论，还需要采用特殊向一般的转化，通过归纳得出要证明的结论.教学过程中，教师可以预留一定时间，比一比哪个小组最先找到解题思路，并邀请学生代表板书证明过程，激发出学生主动思考的热情以及竞争意识，更好地活跃课堂气氛.教师根据学生代表板书的推理过程进行评价，指出问题所在，使学生在完善解题细节的过程中牢记不足，实现推理能力的提升.

由于特殊向一般转化的相关知识以及对应的过程较为抽象，因此导数教学中应灵活运用多种教学方法，给学生带来良好的学习体验.正如上文中的合作学习法，使学生在愉悦欢快的氛围中完成证明.另外，根据需要，还可应用互动式教学法、项目教学法、翻转课堂教学法等.

3.2 一般向特殊转化

一般向特殊的转化又称演绎推理，即运用一般的数学结论求解一些实际的、具体情境下的数学问题.为确保问题得以顺利解决，需要牢记一般的数学结论，或能够用一般的结论作出进一步的推理.导数教学实践中，教师需要与学生一起完成一般数学结论的推理，使学生把握一般结论的由来，为其进行更深层的推理奠定基础.当然，为提高一般向特殊转化的灵活性，增强解答导数问题的能力，导数教学中，教师应结合教学内容进行习题的优选，组织学生开展课堂训练活动.

例如：已知函数f（x）=2ex+1+sin x的导函数为f′（x），则f（2 018）+f（－2 018）+f′（2 018）－f′（－2 018）的值为.

该问题给出的函数较为特殊，所求问题的自变量较大，直接代入根本不可能求解.教学中，引导学生不要急于动笔，观察所求问题的特点，结合题干尝试推出相关结论，再通过一般向特殊的转化巧妙求出结果.根据经验，该类问题一般需要用到函数的奇偶性.基于此，分别求出f（－x），f′（x），f′（－x）以及f（x）+f（－x），f′（x）+f′（－x）的表达式.通过推出一般结论，可以发现要求解的问题和自变量的大小无关，如此问题便迎刃而解.

总之，授课中，为使学生能够形成高效的解题经验，实现灵活应用，要求学生树立正确的课堂训练态度，关注解题正确率的同时，更要认真审视解题过程，明确在训练中暴露出的问题，及时查漏补缺.对于较为典型的习题，可以摘抄到错题本中并做好批注，定期翻阅.

4 其他类型的转化

除上述介绍的转化方法外，直接转化与换元转化在导数问题的解答中也较为常用.导数教学中应注重换元转化方法的应用讲解.

4.1 直接转化

直接转化是指将问题转化为基本定理、基本公式以及基本图形问题.可以看出，牢固掌握基本定理、基本公式以及基本图形是进行直接转化的重点，导数教学中应和学生一起运用思维导图做好归纳与总结.同时，带领学生一起运用直接转化解答相关习题，进一步加深学生印象，使学生能更好地理解与掌握.

例如：函数f（x）=ex+sin x－x－1在区间＼.

该问题中的函数由指数函数、三角函数与一次函数组合而成.课堂上可以采用提问的方式，要求学生回顾零点存在性定理，将问题转化为零点存在性问题，通过判断导函数值与0的大小关系，结合函数的单调性得出函数的零点个数.

直接转化是解答导数问题的常用方法.教学中应引导学生理解和牢记基本定理、基本公式以及基本图形，多开展利用直接转化解答导数问题的训练活动，增强学生的转化技能.

4.2 换元转化

通过换元可以减少参数个数，将看似复杂的式子转化为简洁的式子，降低解题难度.换元转化在解决导数多变量问题中表现出明显的优势，因此，课堂上应紧跟换元理论知识的讲解针对性地设计多变量导数问题，展示换元的具体过程，提高学生运用换元转化解决导数多变量问题的意识，使其在以后遇到类似问题能够迅速找到突破口.

例如：若对任意的正实数x，y，均有2y－xe＼5（ln x－ln y）－ym≤0，则实数m的取值范围为.

该导数问题涉及三个参数，难度较大.观察给出的不等关系，难以从中寻找到规律.教学时，可以引导学生先对其进行适当变形，而后作进一步的观察与分析.通过变形可以得到2－xyeln xy≤1m，将“xy”换元为参数“t”，如此将参数转化成两个，不等式也更为简洁，很好地达到了化陌生为熟悉的目的.换元转化最容易出错的一点在于对换元后参数取值范围的判断.该题问题中，因x，y均为正实数，则“tgt;0”.

导数教学中，可以采用“讲解理论→分析习题→专题训练”的流程进行授课.其中在专题训练环节，要求学生重点关注换元过程以及换元后如何高效、正确地确定参数的取值范围，总结专题训练中获得的启示，将在专题训练中学习到的知识、技巧内化为自身能力.

综上所述，化归思想在高中导数教学中发挥出了提高教学效率、推动教学活动有序开展的积极作用.教学实践中，教师应增强认识，做好化归思想理论的自主学习，储备丰富的理论知识，增强在教学中融入化归思想的意识，做好教学活动的针对性设计，运用各种教学策略，将化归思想与课堂教学内容有机衔接，使学生在习得数学知识的同时，获得熟练运用化归思想的方法与技巧.