挖掘课程内涵，关注条件概率

2022年高考是八省市实施新高考的第二年，新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷在概率与统计的考查中，均突出了条件概率的地位，新高考I卷第20题第（2）小题第（i）小问考查了条件概率公式，要求学生能用条件概率公式进行证明，第（ii）小问考查了条件概率的意义和计算；新高考II卷第19题第（3）小题直接考查条件概率的运算.虽然两题难度不大，但是对条件概率的重视非同一般，充分体现了旧教材下的新高考向新教材下的新高考的逐步过渡，也为教学与学习指明方向.

1 概念问题

与条件概率有关的概念问题，主要涉及条件概率模型的判断，以及与其他概率模型之间的联系与区别等，不要产生概念之间的混淆.

例1（多选题）下面几种概率是条件概率的是（）.

A.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率

B.甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率

C.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率

D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25，则小明在一次上学途中第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到绿灯的概率

分析：结合各选项中不同概率与统计的问题场景，利用条件概率的定义加以展开与分析，进而得以确定条件概率问题.

解析：选项A中，甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，甲、乙各投篮一次都投中为相互独立事件，不是条件概率模型；

选项B中，甲、乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率问题，为条件概率模型；

选项C中，有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率，是古典概型模型，不是条件概率模型；

选项D中，小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25，则小明在一次上学途中第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到绿灯的概率与第一个路口是否遇到红灯有关系，为条件概率模型.

故选择：BD.

点评：抓住条件概率的定义，利用相关事件的发生条件之间的联系，结合其他概率类型、如相互独立事件模型、超几何分布模型、独立重复试验模型等，正确区分，准确判断.

2 计算问题

条件概率的计算问题，主要涉及条件概率的计算公式P（B|A）=P（AB）P（A），要注意事件之间的联系以及相关事件的概率求值.

有时，也可利用具体问题的场景，结合相应的概率公式加以分析，解决一些与条件概率相关的概率应用问题.

例2（2022年高考数学天津卷·13）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为；已知第一次抽到的是A，则第二次抽到A的概率为.

分析：由题意，利用扑克牌的抽取属于无放回的情况来确定对应的概率问题，结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率.

解析：由题意，设第一次抽到A的事件为B，第二次抽到A的事件为C，

则

P（BC）=452×351=1221，P（B）=452=113.

所以P（C|B）=P（BC）P（B）=1221113=117.

故填：1221；117.

点评：以常见的扑克牌及其对应的无放回抽取试验，巧妙融入独立事件的概率和条件概率，借助条件概率公式进行计算与求值，是条件概率在高考中比较常见的一种考查方式.正确判断条件概率模型，并准确掌握条件概率公式，是解决计算与求值等相关条件概率问题中的关键.

例3如果{an}不是等差数列，但若k∈N*，使得ak+ak+2=2ak+1，那么我们称{an}为“局部等差”数列，已知数列{xn}的项数为4，记事件A：集合{x1，x2，x3，x4}{1，2，3，4，5}，事件B：{xn}为“局部等差”数列，则条件概率P（B|A）=.

分析：由题意，通过条件概率的场景创设，分别计算出事件A和事件B 的基本事件数，结合概率公式即可求解.

解析：由题意，事件A的基本事件数为

C45A44=120.

事件B的基本事件有：

含1，2，3的局部等差数列为1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3个；

含3，2，1的局部等差数列同理也有3个.

含3，4，5和5，4，3的共有6个.

含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共2个；含4，3，2的也有2个.

含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4个；

含5，3，1的也有4个.

局部等差数列共计6+6+2+2+4+4=24（个）.

所以P（B|A）=24120=15.故填：15.

点评：当涉及的基本事件是有限个和等可能发生时，经常可以利用古典概型的概率公式，分别求解事件A所包含的基本事件数，以及事件A发生的条件下事件B包含的基本事件数.借助古典概型的概率公式来求解对应的条件概率问题，也是处理此类问题中比较常用的一种技巧方法.

3 应用问题

与条件概率相关的应用问题，主要涉及条件概率的概念、计算公式以及与其他相关知识的综合，要在实际应用情境中进行渗透与创新.

例4〔2023届湖南省长沙市长郡中学高三（上）月考数学试卷（二）〕统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策.

（1）现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用ξ表示其中A种鱼的条数，请写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.

（2）另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条.

（ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数；

（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法——最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.

分析：（1）根据超几何概率公式即可求解概率，进而可得分布列和期望；（2）根据抽样比即可求解总数，利用条件概率公式进行概率计算，并根据最大似然思想，结合概率之间比值关系的转化与大小关系的判断，并结合概率的单调性即可求解最大值，进而解决问题.

解析：（1）由题意可知ξ的可能取值为0，1，2，则

P（ξ=0）=C243C250=129175，

P（ξ=1）=C143C17C250=43175，

P（ξ=2）=C27C250=3175.

故ξ的分布列为

所以E（ξ）=0×129175+1×43175+2×3175=725.

（2）（ⅰ）设池塘乙中鱼数为m，利用分层抽样的性质有50m=520，解得m=200.

故池塘乙中的鱼数为200.

（ii）设池塘乙中鱼数为n，令事件B=“再捉20条鱼，5条有记号”，事件C=“池塘乙中鱼数为n”，

则利用条件概率公式可得Pn=P（B|C）=C550C15n－50C20n.由最大似然估计法，即求Pn取最大时n的值，其中n≥65.

所以Pn+1Pn=（n－49）（n－19）（n－64）（n+1）.

当n=65，66，……，198时，Pn+1Pn＞1；当n=199时，Pn+1Pn=1；当n=200，201，……时，Pn+1Pn＜1.

所以，估计池塘乙中的鱼数为199或200.

点评：以概率与统计为问题为创新场景，合理融入概率与统计的相关知识，是新高考数学中概率与统计部分考查的基本方式.合理融入条件概率模型，借助条件概率的判断、公式的应用、数值的计算等，并结合其他概率模型与统计知识来综合，全面考查概率与统计中的相关知识与数学能力等.

条件概率作为新旧教材中概率与统计部分的一个重要知识点，在新课程改革与新高考模式下，从一定程度上突出了条件概率的地位，合理引领新旧教材下的变化以及新高考模式下的创新与改革.特别是引导高中教学逐步向新教材过渡，新高考更加注重教考衔接，在突出教材主干知识与核心内容的同时，也积极关注新教材、新高考热点与趋势.