数形结合，彰显美育：“曲线与方程”探究课

数学家华罗庚曾说：“就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美.”在数学教学中，教师应充分发掘数学学科的美育价值，让学生感受到数学美，激发学生学习数学的兴趣，从而发挥学习的主动性和创造力.数学美育和艺术美育具有一定的共性，都要依托可感的美的形象和事物才能实施，以愉悦的情感体验来感染受教育者.数学美育又有其特性，需要充分理解数学知识，探讨美的形式、美的结构、美的方法、美的过程所体现的数学本质.下面以“曲线与方程”教学为例，探索如何以数学美育驱动教学.

1 教学分析

高中生学习了圆与方程、圆锥曲线与方程，初步体会了曲线与方程的关系.在几种基本曲线学习的基础上，可适当引入稍微复杂的方程，利用方程研究曲线的性质，开阔思路与眼界.本设计从圆的方程x2+y2=1出发，学生修改方程，用GeoGebra软件作图，探索未知曲线，以数学美为推动力进一步研究曲线与方程的关系.

2 教学片段

2.1 欣赏——感受美

师：如图1，这些赏心悦目的图案实际上是某类方程的曲线.这些图形为什么给我们以“美”的感觉？

生：这些图形和自然界的某些植物的花朵、叶子、果实形状相似.

生：这些图形具有对称性，看上去很和谐.

师：我们能否利用已经学习的数学知识，创造出一些美丽的曲线呢？

设计意图：以精美的数学图形诱发学生的愉悦感，思考美的成因，感受数学语言对大自然描述的精准，激发学生的探究欲望.

2.2 探究——发现美

师：古希腊数学家毕达哥拉斯曾说过“一切平面图形中最美的是圆形”，同时圆的方程在形式上也是简洁、对称、优美的.如果适当变化圆的方程x2+y2=1，如改变系数、指数或者添减、替换某些项，对应的曲线会有怎样的变化？可以用GeoGebra软件作出相应的图形.

生1：改变方程中x2，y2的系数，得到的方程是椭圆方程，画出的图形是椭圆（如图2）.

生2：改变方程中x，y的指数，可以得到一系列图形（如图3）.

x3+y3=1

x13+y13=1

x32+y32=1

x4+y4=1

x43+y43=1

x23+y23=1

师：你能总结出什么规律？

生1：当方程中x，y的的指数为奇数或指数的分子为奇数时，曲线不是封闭图形；方程中x，y的指数为偶数或指数的分子为偶数时，曲线是封闭的图形.

生2：当x与y的指数相同时，如果指数为奇数或指数的分子为奇数，曲线关于直线y=x对称；如果指数为偶数或指数的分子为偶数，曲线关于x轴、y轴、直线y=±x以及原点对称；当x与y的指数不相同时，曲线不关于直线y=x对称（如图4）.

生3：当x，y的指数大于1时，曲线在第一象限向外凸，指数越大，就越向外凸；当x，y的指数小于1时，曲线在第一象限向内凹，指数越小，就越向内凹.

（这里的分数指数均为最简分数.）

师：你能从“方程”的角度解释这些结论吗？

生1：类比研究圆锥曲线的方法，可以说明曲线是否为封闭图形.例如，将x3+y3=1变形为y3=1－x3，可知y的绝对值随x的绝对值的增大而增大，可以无限大；将x4+y4=1变形为y4=1－x4，可得x，y的范围均为［－1，1］，所以对应的曲线是封闭图形.

生2：对称性可以用圆锥曲线中学到的方法来解释.例如，若把x换成－x，方程不变，则曲线关于y轴对称；将x和y互换方程不变，则曲线关于直线y=x轴对称;等等.

生3：凹凸性可以用x，y的范围来解释.与线段x+y=1对比，当曲线中x，y的指数小于1时，x，y的绝对值比较小，它们的和就可以达到1，所以曲线在x+y=1内部；当曲线中x，y的指数大于1时，x，y的绝对值比较大，它们的和才可以达到1，所以曲线在x+y=1外部.如图5所示.

师：非常好！改变方程的系数和指数，图形仍然具有对称性，带给我们美感.还可以怎样改变方程，得到不同的曲线？

生：还可以在方程中添加某些项.例如，添加二次项xy，得到的曲线（如图6）好像是斜着放置的椭圆.

师：到底是不是呢？如何来验证？

生：可以尝试找到焦点，证明曲线上任意一点都满足椭圆的定义;也可以旋转坐标轴，证明方程是椭圆的方程.

师：还可以对方程作怎样的改变？

生：还可以替换方程中的项.例如，将1替换为xy，可得经过原点的曲线x2+y2=xy（如图7）.

设计意图：从熟知的圆与方程入手，在改变方程及画出曲线的过程中发现数与形的变化规律，探讨变化中不变的数学原理，从而深刻理解曲线与方程的关系.引导学生体会数学的简洁美和对称美，用数学的眼光观察世界，发现世界.

2.3 变换——创造美

师：将几个图形组合在一起时，可以在同一个坐标系中画出几条曲线，也可以用一个方程来表示曲线，例如（x2+y2－1）（x23+y23－1）=0（如图8）.

将曲线方程中的某些项加上绝对值或者将其平方，可以变换得到相应的对称图形，例如x2+y2－|x|y=1（如图91），（x2+y2）4=x2y2（如图92）：

这些图形形状优美，寓意美好.请同学们观察已经探索得到的曲线，从中提取需要的元素，自由设计具有美感的图形.

以下是学生设计的图形（图10）：

图10中对应的曲线的方程分别为：

（1）（x2+y2－xy－1）（x2+y2+xy－1）=0.

（2）（x2+y2－1－|xy|）x2+y2－12－|xy|＼5x2+y2－18=0.

（3）［（x2+y2）2－|x|y］［（x2+y2）32－|x|y］＼5［（x2+y2）85+|x|y］［（x2+y2）75+|x|y］=0.

（4）［（x2+y2－1）2－x3］［（x+3）23+（y+3）23－1］＼5［（x+1）23+（y－3）23－1］=0.

（5）（x2+y2－|x|y－1）［（x－2）2+（y－2）2－|x－2|（y－2）－1］（x－y）=0.

设计意图：通过变换方程，得到更优美有趣的曲线，让学生自己设计方程，画出曲线，调动学生的创造热情.在生动活泼的作品背后，是学生对知识的深入理解与思考.

3 教学反思

3.1 形式之美

爱美之心人皆有之，美的形式可以激发学生探求新知的欲望，提高学习兴趣.本课充分挖掘了数学内容中美的因素，从审美的角度为学生设置思维情境.通过优美的曲线引入，学生可以直接感受到曲线之美;再通过自主探索、动手实践、合作交流，自主设计得到“属于自己的曲线”，实现对美的追求.在课堂教学中，教师以引导启发为主，尊重学生的成果和感受，与学生共同营造具有和谐美的课堂.

3.2 内在之美

数学课只有美的形式是不够的，还要体现数学的本质.上述探究活动的设计以最简单的二次曲线“圆”为起点，通过改变方程的系数、指数、项，得到一个个新的方程，再利用GeoGebra软件画出相应的曲线，认识曲线与方程的关系.在此基础上进一步对方程进行处理，通过曲线组合和对称变换，得到优美的图形.学生在认识方程、研究曲线时，体会数学的对称美、统一美；整个探究过程循序渐进、由简到繁，体现了数学的逻辑美、和谐美；思考千变万化的图形背后不变的数学原理，体现了数学的严谨美、理性美.

3.3 独特之美

在教材的基础上对教学内容进行拓展，将学生可以理解的曲线梳理为一个有机的整体，引导学生用GeoGebra软件大胆尝试，严谨论述，最后进行自主创造，这在以往的研究中是比较少见的.研究未知曲线一直是学生学习的难点，本设计以数学审美为推动力，从心理上克服了学生的畏难情绪，合理的设计更是使整个教学过程显得自然而然.