套管中弯曲型Lamb波频散特征的理论和实验分析

摘要：通过建立钻井液、套管和水泥等多层介质模型，理论模拟和实验测量相结合研究弯曲型Lamb波在套后耦合不同速度水泥时的频散、衰减以及全波波形。理论模拟结果发现若测量频段弯曲型Lamb波的相速度与水泥纵波速度相交，弯曲型Lamb波的频散曲线在相交的频率点会出现速度跃变，频散曲线不再连续，且断点前后其衰减值差异大，接收到的直达弯曲型Lamb波也展现出两个紧凑的波包。实验结果也印证了频散曲线不连续的现象，实验测量波形提取的频散曲线与解析计算的频散曲线吻合。此现象为直接从频散曲线断点获取水泥的纵波速度以及区分套后耦合水泥的类型提供了可能。

关键词：弯曲型Lamb波； 频散曲线； 衰减曲线； 断点

中图分类号：P 631.9"" 文献标志码：A

引用格式：陈雪莲，程凤，韩旺，等.套管中弯曲型Lamb波频散特征的理论和实验分析［J］.中国石油大学学报（自然科学版），2024，48（5）：70-76.

CHEN Xuelian， CHENG Feng， HAN Wang， et al. Theoretical and experimental study on flexural-wave dispersion characteristics in cased wells［J］. Journal of China University of Petroleum （Edition of Natural Science）， 2024，48（5）：70-76.

Theoretical and experimental study on flexural-wave dispersion

characteristics in cased wells

CHEN Xuelian1， CHENG Feng1， HAN Wang1， TANG Xiaoming1，2

（1.School of Geosciences in China University of Petroleum（East China）， Qingdao 266580， China；

2.State Key Laboratory of Deep Oil and Gas， China University of Petroleum（East China）， Qingdao 266580， China）

Abstract：A multilayer medium model， incorporating drilling fluid， casing and cement， was established to study the response characteristics of flexural Lamb wave logging through theoretical calculations and experimental measurements. The theoretical

simulations reveal that the dispersion curve of the flexural Lamb wave splits into two branches： a low-frequency branch and a high-frequency branch when the cement P-wave velocity intersects the dispersion curves of flexural wave within the logging frequency band. The direct flexural Lamb wave received also shows two compact wave packets. Experimental results further confirm this discontinuity in the dispersion curve， with the experimentally extracted curve aligning closely" with analytical calculations. This phenomenon allows for direct determination of the cements P-wave velocity from the breakpoint of the dispersion curve， facilitating the identification of post-coupling cement types.

Keywords： flexural Lamb wave; dispersion curve; attenuation curve; break point

随着国内外油田对水泥封隔性能的评价需求越来越高，超声Lamb波测井，也即套后扫描成像（imaging behind casing， IBC），越来越受到人们的重视，其通过超声反射成像测量套管的共振模式，一发双收声系实现套管中弯曲型Lamb波的衰减测量。弯曲型Lamb波测量模式是目前研究的热点，Zeroug等［1-5］的研究中均描述了发射换能器斜入射到套管内壁在套管中激发弯曲型Lamb波（类似板中的零阶反对称模态）的现象，沿着套管传播的弯曲型Lamb波，还会向套管两侧辐射速度比其低的波。弯曲型Lamb波的相速度随着频率的增加逐渐增大，最后趋于套管表面瑞利波的相速度。在套管后耦合水泥时，Froelich等［6］将水泥分为了慢速水泥和快速水泥，若测量频段弯曲型Lamb波的相速度高于水泥的纵波速度，则称为慢速水泥，若低于水泥的纵波速度则称为快速水泥。但在实际测量频段弯曲型Lamb波的相速度往往会与套后水泥的纵波速度相交，在低于相交的频率点的频段其相速度低于水泥的纵波速度，此时仅满足泄漏水泥横波，在高于交点频率的频段可向水泥环泄漏纵波和横波，因此会使得弯曲型Lamb波在整个测量频段的响应特征变得复杂［6-7］。尤其在水泥的纵波速度为2400～2900 m/s时，现有仪器测量频段（200～250 kHz）的低频段弯曲型Lamb波的相速度低于水泥的纵波速度，此时仅向水泥中辐射横波，高频段弯曲型Lamb波的相速度高于水泥的纵波速度可同时向水泥中辐射纵波和横波，高频和低频段不同的响应特征使得Lamb波测井接收到的直达的弯曲型Lamb波出现两个波包。Gkortasa等［8］将波形中的第二个波包称为“clinging P”波，认为其能量主要集中在套管与水泥界面。笔者针对这一现象进行理论计算和实验测量，对比分析套后耦合不同速度的水泥时弯曲型Lamb波测井的响应特征，并考察套管与水泥环界面出现微环时弯曲型Lamb波的变化规律，对比分析计算的频散曲线与从实验测量波形中提取的频散曲线，探讨弯曲型Lamb波频散曲线不连续的现象。

1 理论计算和结果分析

弯曲型Lamb波测量模式的发射探头辐射的声束斜入射到套管内壁，作用于套管很小的区域，且工作频段主要集中在180～270 kHz，在理论计算弯曲型Lamb波的测井响应时建立了水、套管、水泥等二维多层平界面模型；另外Lamb波仪器测量时近接收探头距离发射探头的距离为25 cm，远接收探头和近接收探头的间距是10 cm，在发射和接收器之间的测量范围内套管和地层之间的多次反射波的个数有限［5］，在计算弯曲型Lamb波的频散曲线时可不考虑地层的影响，同时为了消除来自水泥外侧的反射波对分析弯曲型Lamb波波包的影响，多层平行介质模型中水泥设置为无限厚，如图1（R为接收器，T为发射器）所示，各层介质的声学参数见表1。发射探头在水中辐射有限宽脉冲入射到套管内壁时接收探头记录的声压［9］可表示为

P（z，t）=12πRp（kz，ω）A（kz，ω）exp（i（-kfxx+kzz-ωt））dωdkz.（1）

其中

kfx=ω2/v2f-k2z.

式中，Rp为套管内壁的反射系数；w为圆频率；kz为z方向的波数；kfx为井内流体沿x方向的波数；vf为井内流体速度;A为声源辐射的空间和时间都有限的脉冲函数。A在频率和波数域的表达式［10］为

A（kz，ω）=πωbexp-（ω-ω0）24ω2b-（kz-kz0）24k2b.（2）

式中，ω0为中心频率；kz0决定了波的传播方向；ωb为频带宽度；kb为角谱宽度。ωb和kb分别决定了激发脉冲在时间域和空间域的宽度，在计算时ω0、ωb和kb分别取250 kHz、90 kHz和40 m-1。通过计算反射系数Rp时得到的特征方程可计算弯曲型Lamb波的频散和衰减［7］。

图2显示了图1所示的三层平行界面模型下弯曲型Lamb波测量模式记录的全波波形，最下面一道波形是套管内外均是水时的自由套管模型下的计算结果，依次向上水泥的纵波速度从2300 m/s逐渐增加到3253 m/s，源距固定为38 cm，随着水泥声阻抗的增加弯曲型Lamb波的幅度先逐渐降低，在水泥的纵波速度超过2700 m/s后幅度又逐渐增强，幅度的变化体现了弯曲型Lamb波的衰减随着水泥声阻抗的增加先增大后减小的变化趋势，在水泥的纵波速度为2600～2800 m/s时，全波波形中出现了两个波包，Gkortsas等［8］将第二个波包定义为Clinging-P波，在水泥纵波速度大于计算频段弯曲型Lamb波的相速度时出现，在水泥纵波速度等于2700 m/s时，第二个波包的特征最明显。从图3所示的不同水泥纵波速度下的频散和衰减曲线可知，以水泥纵波速度为界限，弯曲型Lamb波的频散曲线被分成了两个“模态”，低频段弯曲型Lamb波的相速度接近水泥纵波速度时，其群速度较低，高频段模态在相速度接近水泥纵波速度时群速度较高，因此若工作频段全波中出现的两个波包可分别视为频散曲线截

断点前后的两个模态，首先到达的是高频模态，低频模态滞后于高频模态。在水泥纵波速度较低，低频模态距离声源中心频率较远，频谱能量覆盖少，因此低频模态能量较弱，随着水泥纵波速度的增加，频散曲线的间断点向高频方向移动，逐渐接近中心频率，低频模式的能量逐渐增强。在套管厚度或速度发生变化时，频散曲线出现的断点位置会发生改变，随着套管厚度的增加，断点位置会向低频移动，出现图2所示的波形特征，需要满足频散曲线的断点位置在声源的主频附近。

图3（e）给出了高频分支和低频分支模态的衰减特征，可知与高频模态的相比，低频分支的群速度低、衰减小，以套后耦合纵波速度2700 m/s的水泥为例，图4显示了源距从20 cm增加到38 cm时全波的变化特征，随着源距的增加，两个模态的到时差异越来越大，全波波形中逐渐呈现出两个波包，由于低频模态的衰减相对较小，两个波包的相对幅度差异越来越小。图5（a）和（b）分别为套后耦合纵波速度3253 m/s和纵波速度2700 m/s水泥时的声场快照。对比可见：套后耦合速度高的水泥时仅泄漏横波，且波包紧凑；套后耦合纵波速度2700 m/s的水泥时波包持续时间较长，高频和低频模态的两个波包在套管中并存，一边沿着套管传播，一边向两侧介质中泄漏声波能量，随着传播时间的增加，波包逐渐分离。图5（c）是套管后耦合纵波速度2700 m/s水泥且套管与水泥环之间存在微环时的声场快照，微环厚度是0.01 mm，与图5（b）相比弯曲型Lamb波的低频模态（第二个波包）的幅度在源距超过30 cm时明显大于高频模态（第一个波包）的幅度，这与微环存在时高频模态的衰减较大，低频模态的衰减明显降低有关，见图6（a）和（b）所示的波形和衰减曲线，随着套管与水泥环之间流体环厚度的增加，套后水泥对弯曲型Lamb波传播特征的影响越来越低［11］。

2 弯曲型Lamb波的实验测量结果

在设计弯曲型Lamb波实验测量方案时［12-13］，参考理论计算模型中对频散曲线影响较大的水泥参数，选择了纵波速度约为

2700 m/s的水泥配方，用钢板模拟套管，钢板厚度分别为9和10 mm。钢板和换能器均置于水槽中，发射探头辐射的声束斜入射到钢板上，入射角为33°，在钢板中主要激发弯曲型Lamb波，激励脉冲的中心频率为250 kHz。

在测量套后耦合水泥的实验之前，首先测量了钢板两侧均为水时的实验，钢板两侧对称放置了接收器，测量示意图如图7所示，两侧接收器的压电晶片的法线方向均与钢板法线方向之间的夹角为33°。图8（a）和（b）是9 mm钢板两侧均为水时接收到的泄漏波，图8（a）的接收器阵列与发射探头在钢板的同一侧，图8（b）的接收器阵列在钢板的另外一侧，与图8（a）的接收器对称放置。弯曲型Lamb波在钢板中主要以弯曲振动为主，钢板两侧对称接收的声压波形相位正好相反（图中黑色箭头），从钢板两侧记录的声压波形验证了在钢板中激发的是弯曲型Lamb波［14］；且随着源距的增加，由于弯曲型Lamb波的群速度明显大于相速度，接收到的初始波包的相位循环变化（图中红色箭头），这也决定了在提取弯曲型Lamb波的衰减时需要做希尔伯特变换，利用波包的峰值计算衰减较可靠。通过对与发射器在同一侧的接收器接收到的波列做频率慢度相关分析，得到的频率慢速相关图如图8（c）所示，在套后是水时整个测量频段频散曲线是连续的，从接收波列提取的频散曲线与理论计算的频散曲线（图中的蓝色实线）吻合。

图9（a）和（b）显示了9 mm钢板后耦合水泥时接收的波列图和从波列提取的频散曲线，水泥的纵波速度为2655 m/s，实验室制作的水泥厚度有限，从波列图中可观测到来自水泥环外侧的多次反射波，包括纵波反射波、纵波和横波转换波以及横波反射波等多次波。从图9（a）接收的直达弯曲型Lamb波中可观测到两个波包的叠加，随着源距从15 cm增加到33 cm，虚线标注的第二个波包幅度相对于第一个波包有增大的趋势。对接收波列做频散分析可明显观测到从接收波列提取的频散曲线在水泥纵波速度的位置出现了断点，频散特征与实验模型参数下理论计算的频散曲线（图中的蓝色实线）吻合。随着钢板厚度增加到10 mm，见图9（c）和（d）接收的波列和提取的频散曲线，在钢板后耦合了水泥后频散曲线也出现了断点，图中的蓝色实线是根据实验模型参数下理论计算的频散曲线，在钢板厚度从9 mm增加到10 mm时断点位置稍向低频率方向移动。

3 结 论

（1） 套管中弯曲型Lamb波的频散曲线在水泥纵波速度的位置不再连续，低于断点位置的频段，弯曲型Lamb波的相速度低于水泥纵波速度，其群速度在截止频率附近较低，衰减小；高于断点位置的频段其相速度高于水泥的纵波速度，其群速度在断点附近较高，衰减大。

（2） 接收到的弯曲型Lamb波波形中两个波包可看作是测量频段中高、低频段不同响应特征的两种模态的叠加，若套管与水泥环之间出现微环（厚度小于0.1 mm），低频模态衰减明显降低使得波包幅度增大明显。

（3）在实验室制作了水泥纵波速度约2655 m/s的套管井模型，对实验测量的阵列波形做频散分析，提取的频散曲线与理论计算结果吻合，观测到了在水泥纵波速度位置，弯曲型Lamb波的相速度出现断点，在断点两侧高频模式的相速度高于低频模式。

（4）弯曲型Lamb波的频散曲线不连续，断点位置的相速度即为水泥的纵波速度，这也为准确反演水泥纵波速度提供了可能。

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（编辑 修荣荣）