新工科背景下常微分方程课程教学改革举措

康霞霞 贺 艳 刘艳梅 石晓玲

①吕梁学院数学系 ②常熟理工学院数学系

根据吕梁地方应用型本科院校的实际情况，结合新工科背景下以OBE为导向的高校人才培养需求特点，以常微分方程这门课教学改革为例，提出实践性教学改革的具体举措.以进一步强化地方应用型本科院校的人才培养工作，助推培养创新型多元化人才，实现应用型人才培养目标.

早在2018年，《关于加快建设发展新工科实施卓越工程师教育培养计划2.0的意见》中就已提出，要推进教学创新和综合改革，培养复合型的“新工科”人才.随后，教育部高教司司长吴岩，于2019年在上海关于“以新工科建设领跑中国高等教育变革”的讲话，再次明确指出要落实课程改革创新举措，提出“两性一度”课程建设标准.与此同时，教育部在《关于一流本科课程建设的实施意见》中也明确指出，课程要体现跨专业能力融合、多学科思维融合、产业技术与学科理论融合.作为各地高校数学系本科生的专业必修课，常微分方程，在新工科背景下努力探索这门课教学改革的实践性举措势在必行.下面将从课程目标和教学改革的实践性举措这两个方面介绍常微分方程这门课的教学改革.

一、课程目标

新工科背景下基于OBE理念结合吕梁学院人才培养目标，数学系常微分方程课程组设定课程目标为：知识目标、能力目标、实践目标与人文素质目标.知识目标指通过该课程的学习，学生能够理解常微分方程的基本理论，掌握一些常微分方程的基本求解方法，并能够运用相关的理论知识结合实际问题构建合理的数学模型.能力目标是指课程教学中有意识地引导并培养学生的自主学习、严密推理和创新思维意识，进而培养大学生自学能力、逻辑推导能力、抽象思维能力和创新能力等.此外，吕梁学院数学系学生在常微分方程这门课开课之前，已经通过一些实践性课堂对matlab、mathematics、maple等软件的使用有了初步的掌握.因此，这里的实践目标是指要求学生会在掌握理论知识的基础上，熟练利用这些软件编写相应代码，最后借用数学软件分析有关常微分方程问题的能力.此外，常微分方程这门课也是与诸多领域的实际问题联系紧密的应用型课程，在教学中融入思政教育，不仅可以丰富课堂教学，激发学生学习兴趣，也能更好地实现知识传授与价值引领的有机结合.因此，所谓的人文素质目标一方面是指教师充分挖掘数学资源在课堂中渗透一些数学文化，增强数学应用意识，提升学生数学素养；另一方面是指教师充分挖掘思政元素，在常微分方程课堂教学中渗透思政教育，使得学生子在学习理论知识的同时，提升自己的思想政治素质.

二、新工科背景下教学改革的具体举措

新工科背景下的OBE理念重点关注想让学生取得什么学习成果，为什么让学生取得这些成果，如何帮助学生取得这些学习成果以及怎么知道学生取得了这些成果.因此，常微分方程这门课教学改革的实践性举措也将围绕这四个问题采取有效的改革措施.

（一）借助数学软件辅助教学。

随着互联网时代的飞速发展，常微分方程的教学也由传统的72个理论课时，改革为48个理论课和16个实验课相结合.但是传统教学模式下实验课和理论课是相分离、并未互相支撑.为了克服这一弊端，课程团队在平时教学也采用matlab、maple等软件求解常微分方程，也提倡学生在平时学习中结合自己熟悉的数学软件辅助学习这门课程.这些数学软件的使用，不仅避免了传统教学重数学推导轻数值求解的问题，而且也使数学由传统的纸和笔的大篇幅抽象推导变的更加直观现实.选择数学软件辅助教学，可以提高学生学习热情，激发学生的探索精神，培养学生应用数学意识和创新意识[1].

（二）采用应用问题驱动下的案例教学。

问题驱动下的案例教学是常微分方程教学过程中重要的组成部分.常微分方程这门课理论知识量大，逻辑性很强，应用面也非常广.传统的教学模式将依赖于教材注重理论推导和计算，使得课堂仅仅停留在告知学生怎么做，不能激发学生对这门课的兴趣，也未能实现四维课程目标[2].而应用问题驱动下的案例教学以提问的方式将理论知识转化为具体的实际问题，并在解决问题的过程中将理论知识渗透给学生.换言之，教师设置问题情境，引导学生抓住关键问题，准确捕捉数学信息，从而找到解决问题的线索.

下面将结合具体实例详细介绍应用问题驱动下的案例教学模式.

例如，在讲解完伯努利微分方程的求解方法时，可以尝试让学生解决如下实际问题，以检验学生的掌握情况以及提升对所学知识的应用能力.

假设在某偏僻小岛上居住有800人，某一天发现有居民感染某种传染病，在随后12小时又相继发现有3位居民感染，但是该传染病早期没有任何症状，岛上医疗条件缺乏，居住条件有限.因此，这些染病者并未能及时隔离，假设能有效预防该传染病的疫苗能在60～72小时左右送达岛屿，试问在什么时候该传染病达到高峰期？

引导学生尝试通过构建关于染病者的数学模型解决该问题.

分析问题：传染病传播不同阶段，传播速率大不相同.这里将重点分析传播中期，染病者和未染病者人数都比较多的情形.此时，染病者人数的增加必然与未染病者和染病者的有效接触密切相关.

提出假设：基于上述分析，假设传染率与未染病者和染病者呈正相关.

构建模型：设t时刻染病者人数为I(t)则基于上述假设可构建如下数学模型：

解决问题：结合理论分析结果可知，该岛屿上的疫情预计将在72.8小时左右达到高潮，且感染的最大规模预计为400人.

这一应用问题驱动下案例教学，不仅渗透了数学建模的思想，也让学生亲自体会到常微分这门课和实际生活的密切联系[3-4].这种案例教学方式的生动性、直观性和趣味性特点也将有效激发学生学习的兴趣[4].而主讲教师在《常微分方程》备课中则需围绕以下问题进行教学设计.这节课需要解决什么问题？这个问题是如何建立起来的？需要用什么思想方法去解决该问题？如何引导学生利用所学知识循序渐进地去解决该问题？在课堂上抓住这些关键问题开展教学，可以有效调动学生学习的积极性，提高教学质量.这也是每位高校教师必备的学科素养.

（三）增加课外教学。

能够激发一个人自主学习的基本动力是理想和兴趣，常微分方程这门课程也一样.因此，教学改革的首要任务是激发学生学习的兴趣，提高学生自主学习的主动性.因此，常微分方程新大纲中为综合实现四维课程目标，考核环节增设有大作业，即让学生开展课题研究.

课题开展的具体过程：首先，让学生自己找合作伙伴，每3～5人形成课外学习小组，开展课外学习.其次，结合教师引导，课外学习小组自己选取和常微分方程有关的案例作为研究课题.进一步，小组通过讨论，网上查找资料结合自己课堂中学到的相关理论知识，开展自主研究探索.最后，在课程结束时，各小组整理一份前期研究成果并以PPT形式汇报该课题的完整开展过程以及取得的成果.

课外学习小组开展合作式学习，在课题研究过程中培养了学生自主学习能力和科研能力，激发了探索精神，增进了师生沟通，锻炼了学生的综合素质，达到了课程目标的要求.这种教学方式引导学生自主探索，初步构建数学模型，综合分析，解决实际问题，使得学生自己深刻体会到课堂中学到的数学知识和实际生活的密切联系.它也能有效提升学生的综合素质，培养学生的创新精神[5].这种课外教学方式也是创新教学改革的一部分，它也完全符合新工科背景下以产出为导向的教育理念.

（四）融入课程思政。

全国高校思想政治工作会议上，习近平总书记强调要思想政治工作贯穿教育教学全过程，使各类课程与思想政治理论课同向同行，形成协同效应[6].《常微分方程》这门课不仅可以培养学生用数学理论知识解决实际问题的能力，还可以激发学生的爱国情怀，增强民族自信.例如，求常微分方程的通解和特解，实际上是处理一般问题和特殊问题.就如在14亿兄弟姐妹组成的大家庭中，每个人都有着独特的个性，大家也有一个最大的共性，那就是同为中华儿女.这样巧妙将课程思政融入枯燥的理论教学中，不仅能发挥课程的育人功能，将而且能实现这门课程显性教育功能和隐性教育功能的有机结合.

（五）改革考试方式。

吕梁学院常微分方程这门课程旧大纲中的考核由40%平时成绩和60%的期末考试成绩组成.这种考核方式只能考核学生对理论知识的掌握，未能考核学生实践能力.因此，基于四维课程目标，在新大纲将考核方式改革为课后作业、单元小结、大作业、期中考试、期末考试五部分组成.课程总成绩中各部分所占比例及其与课程目标对应关系如表1所示.增加单元小节以及课外教学的考核环节，可以督促学生及时回头复习归纳，也可以避免学生考前搞临时突击的现象.这种综合性考核方式更突出实践的重要性，使学生学以致用，也调动了学生学习积极性.

三、结束语

本文结合新工科背景下的四维课程教学目标提出，借助数学软件辅助教学，采取应用问题驱动的案例教学、增加课外教学，融入课程思政以及改革考试方式等五大教学改革的具体举措.此外，基于这五个方面教学改革实践，常微分课程团队在超星尔雅平台上建立了丰富的教学资源库.教学资源库分为三部分：第一部分是关于常微分方程的教学案例库，第二部分是应用数学软件对各类典型例题求解方法建立的代码库，第三部分是收集整理学生完成的研究报告库.相信如果学生充分利用这些教学资源库，教师把这些教学改革举措落到实处，必将会大大提高学生学习的热情和学习效果，也将有利于学生综合能力的可持续发展.