以几何图形为载体的实际应用问题探究

摘要：三角函数或解三角形问题具有相应的平面几何背景，以三角函数或解三角形为背景的实际应用问题，借助平面几何图形载体来创新设置与巧妙综合，结合三角函数或解三角形的相关知识来综合与应用，达到解决相应的实际应用问题的目的，引领并指导数学教学与复习备考.

关键词：几何图形；实际应用；三角函数；解三角形；创新

三角函数或解三角形问题是高考数学六大主干模块知识中必考的重要内容之一，特别是新高考对该部分基本知识、思想方法与数学能力等方面的考查明显加强，且在命题上逐年创新.以平面几何图形为载体的三角函数或解三角形的实际应用问题，将成为新高考数学试卷命题的热点与亮点之一.

1 以三角函数为背景的应用问题

利用平面几何图形的创新情境，以三角函数为创新背景来创设与构建数学问题，结合三角函数的相关知识来分析与解决，进而解决对应的实际应用问题.

例1 我国勾股定理的论述比西方相应的论述早一千多年，在我国古代著名的数学经典著作《九章算术》中，有相应的问题叙述：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”具体翻译过来的意思为：今有直角三角形ABC，勾（短直角边）BC长5步，股（长直角边）AB长12步，问该直角三角形能容纳的正方形DEBF的边长为多少？如图1所示，在Rt△ABC中，求得正方形DEBF的边长后，可求得tan ∠ACE=_____.

分析：根据题目条件，设正方形DEBF的边长为a，结合两直角三角形相似列出对应的方程，进而求解边长a的值，然后分别求解两对应角的正切值，最后利用两角差的正切公式加以转化与求值.

例2 〔2022届上海市宝山区高三（上）期末数学试卷（一模）〕吴淞口灯塔AE采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度H（单位：m），示意图如图2，垂直放置的标杆BC的高度h=3 m，使A，B，D在同一直线上，也在同一水平面上，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.（本题的距离精确到0.1 m）

（1）该小组测得α，β的一组值为α=51.83°，β=47.33°，请据此计算H的值；

（2）根据经验数据可知，适当调整标杆到灯塔的距离d（单位：m），使得α与β之差变大时，可以有效提高测量的精确度.若灯塔的实际高度为20.1 m，试问d为何值时，α-β最大？

分析：（1）利用已知条件，结合直角三角形构建关系式，从而利用计算器求具体的值即可；

（2）延长BC，由E向BC作垂线，垂足为F，结合直角三角形，利用三角恒等变换公式得到tan （α-β）的值，再结合基本不等式求得d值即可.

点评：解决涉及以三角函数为背景的应用问题，借助平面几何图形，特别是三角形、平面四边形等常规几何模型，结合三角函数的定义、三角函数的相关公式（诱导公式、同角三角函数基本关系式、三角恒等变形公式）等知识来解决相关的实际应用问题.

2 以解三角形为背景的应用问题

利用平面几何图形的创新情境，以解三角形为创新背景来创设与构建数学问题，结合解三角形的相关知识来分析与解决，进而解决对应的实际应用问题.

点评：解决涉及以解三角形为背景的应用问题，借助实际应用情境，合理数学建模.通过构建对应的平面几何图形，数形结合，利用正弦定理、余弦定理以及解三角形中的相关知识来解决相关的实际应用问题.

以几何图形为载体的三角函数或解三角形的实际应用问题，通常与圆、扇形等平面几何图形相结合.解决此类问题的关键是把各个线段表示出来，进而列出函数的解析式；与最值（范围）有关的问题，常常涉及表面积与体积，解题关键是适当引入参数，然后运用导数进行分析与求解.