培养数学建模意识 提升数学建模能力

摘要：数学建模作为一种重要的数学思考方式，是解决实际问题一种强有力的数学手段.在高中数学教学中，教师要有意识地将数学建模融于课堂教学活动中，让学生学会用数学知识解决实际问题，以此体验数学的应用价值，感悟数学的本质，彰显数学的魅力，提高学生数学综合应用能力和数学素养.

关键词：数学建模；应用能力；数学素养

在新课改的推动下，数学教学中越来越关注学生数学应用能力的培养.而数学建模作为沟通数学与现实生活的纽带，是提高学生数学应用能力的必经之路^［1］.建模能力应是高中生必备的一种数学能力.不过，在现实调研中发现，大多数学生听说过数学建模，但是却不知道数学建模到底是什么，也有少部分学生对数学建模全然不知.可见，数学建模并未真正地走进数学课堂，学生的建模意识淡薄，数学建模能力也就无从谈起.

在应试教育的影响下，教师将提升学生成绩放在教学首位，一切教学活动以提高学生成绩为出发点.大多教师认为数学建模需要花费较多的时间和精力，而高中数学教学时间紧、任务重，学生没有太多的时间参与数学建模，因此教师只是将现成的数学模型告知学生，让学生记住、会用就可以了.加之，大多教师认为数学建模对思维水平的要求较高，所以片面地认为这个应该放到大学去学习.可见，部分教师对数学建模的理解存在不足，对数学建模并未引起足够的重视.其实，数学建模并不是那么遥不可及，它就在我们身边，就在日常学习中.在日常教学中，教师要有意识地渗透，使数学建模成为学生思考问题的方法和习惯^［2］.笔者就如何培养学生的数学建模意识谈了几点粗浅的认识，若有不足，请指正.

1 让数学建模意识在概念教学中生根

建构主义认为，数学学习就是一个不断建构和完善的过程，在新旧知识经验的相互作用下，不断调整、丰富，逐渐形成个体完善的认知.数学概念是客观事物在人脑中的本质属性，它作为构建知识体系的基本元素，既是数学教学的重中之重，又是发展学生思维的重要资源.因此，在概念教学中，教师要有意识地渗透建模意识，让学生在经历概念形成和发展的过程中感悟数学建模的魅力，逐渐提升数学建模能力^［3］.

案例1 “圆的标准方程”教学片断.

环节1：创设情境，引入主题.

师：观察以下图片，你能联想到哪种平面几何图形？（教师PPT展示生活中与圆有关的图片，如时钟、轮胎等.）

生齐声答：圆形.

师：你还能举出生活中一些与圆有关的例子吗？

问题给出后，学生积极举例，如太阳、摩天轮等.

师：其实对于“圆”大家都不陌生，在初中时就学习过，那什么是圆？如何用尺规作出一个圆呢？

环节2：深入探究，获得新知.

师：以上我们从形的角度理解圆，若从代数的角度去分析，如何确定一个圆的方程呢？

问题给出后，学生积极互动.

生1：根据圆的定义可知，圆心和半径是圆的两个基本要素，若想研究圆的方程就应该从这两个基本要素出发.

师：很好的思路.为了便于交流和探究，建立如图1所示的平面直角坐标系xOy，设圆心C的坐标为（a，b），半径为r.看看大家有什么发现？（学生积极交流）

师：很好！若圆心C为坐标原点，又能得到什么？

生3：x²+y²=r².

评注：在教学中，教师从学生熟悉的情境入手，为学生搭建了一个轻松的探究学习环境，让学生通过直观观察感知圆，通过动手操作理解圆形的结构，为后续探究圆的标准方程作铺垫.在教师的精心设计和启发下，学生通过经历“建立坐标—设坐标—建立方程—化简”等环节，更加深刻地理解圆的标准方程.以上过程，以实际问题以依托，引导学生运用数学知识分析并解决问题，这一过程不就是一次成功的建模吗？相信经历以上的数学建模过程，学生在研究椭圆、双曲线、抛物线的标准方程时自然会如鱼得水，有利于提升学生数学学习信心.

2 让数学建模意识在例题讲解中发芽

在高中阶段，检测学生数学应用能力最直接的手段就是解题，因此，在解题中应重视数学建模思想方法的渗透.例题教学是知识传输和能力建构的纽带，肩负着将知识转化为能力的使命.在例题讲解时，不能局限于单一问题的讲授，应将其变为启迪学生掌握解决数学问题的钥匙.因此，在教学中要摒弃“就题论题”的单一讲授，应从教学实际出发，把握好教学时机，有意识地渗透数学建模意识，这对提升学生解题能力有着积极的意义.

案例2 七夕节，甲、乙两人约定上午6～7时在公园门口见面.按照约定，先到的人等后到的人15 min，若后到的人没有在15 min内到达，就算约会失败.请问两人约会成功的概率是多少.

该案例是几何概型教学中的一个经典案例.解题过程如下：

评注：七夕节是青春期少年比较感兴趣的话题，以学生感兴趣的话题为应用背景，更易于激发学生的探究欲.同时，应用直观背景，不仅题目变得更加生动形象，解释过程也更加清晰明了，这样学生更容易理解为什么要用（x，y）表示事件.在教学中，为了让所有学生能跟上例题讲解的节奏，教师可以适当放慢进度，列举一些时间点让学生解释.如（0，0）表示两人都在6：00到达，两人成功见面；（15，25）表示甲6：15到达，乙6：25到达，可以成功见面；（15，45）表示甲6：15到达，乙6：45到达，两人不能见面.这样直观生动的解释可以让学生明晰坐标的实际意义.这样通过二维几何概型的建构，问题迎刃而解.若在教学中，不创设情境，直接给出“若a∈［6，7］，b∈［6，7］，且a，b∈R，求|a-b|≤14的概率”，这样的问题表述形式虽然看似简洁，但是学习过程和结果就会变得枯燥乏味，不利于学生学习兴趣的激发.因此，在实际教学中，例题讲解可以借助一定的情境，融入模型意识，这样会让解题变得更加自然、流畅.同时，在面对抽象的问题时，教师可以引导学生将数学和生活有机结合起来，这对激发学生学习兴趣，提高数学应用能力都有重要的意义.

3 让数学建模意识在作业练习中开花

作业是数学教学中必不可少的，它是检测学生数学学习情况的重要手段，是培养学生自主学习能力的重要途径，其有助于基本知识的巩固和基本技能的强化.众所周知，遗忘是在学习后就自然发生的，而且呈现“先快后慢”的特点，因此在培养数学建模意识的道路上，自然需要将其渗透于数学教学的各个环节.教师设计作业时，在遵循巩固性、针对性、分层性等作业设计的原则下，可以加入一些相应的背景材料，为数学建模架桥铺路，这样巩固和强化数学建模意识和提高数学建模能力的目的也就达成了.

案例3 如图3，某测量队想测量山高MN，他们分别选择A和C作为测量观测点.从点A测得点M的仰角∠MAN=60°；点C的仰角∠CAB=45°，∠MAC=75°；从点C测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m，则山高MN=________m.

评注：案例3是学习正余弦定理后教师精心设计的一道应用题，旨在让学生能够透过问题的表面看到本质，掌握问题的核心，进而在问题的解决中培养数学建模意识，提升数学素养.

数学建模意识的培养是一个慢过程，它需要在教学中不断地渗透和提炼.因此，在教学中，教师不要急于求成，应认真地研究学生，多从学生的视角去思考问题，创设适合学生发展的教学情境，并将数学建模意识融于情境中，以此潜移默化地培养学生数学建模意识，让数学建模成为一种思考问题的方法和习惯.

总之，在实际教学中，要把培养学生数学建模意识贯穿于数学教学的始终，融于数学教学的每个角落，以此通过长期的渗透推动学生综合学力的提升和数学核心素养的落实.

参考文献：

［1］殷永霞，殷澍雨.基于核心素养的高中数学建模能力培养探究［J］.高考，2020（16）：72.

［2］徐晓军，王颜.高中数学模型构建及其应用策略［J］.数理化解题研究，2021（27）：42-43.

［3］王艳平，王静卫.浅谈高中数学建模思维与能力培养的策略研究［J］.数理化解题研究，2022（15）：56-58.