退一步柳暗花明 换视角别有洞天

摘要：最值问题是高中数学学习的重点，其中多元变量最值问题又一直是高中数学学习的难点，更是高考、各地模考与竞赛的热点问题.为了让学生得心应手地处理此类问题，本文中从2020年全国卷一道真题出发，增加辅题，找到问题的同源性，并尝试从不同的视角得到不同的解法，提升学生的数学核心素养和关键能力.

关键词：多元变量；最值；视角

2020年11月18日在江苏省第十六届中学数学教学高级论坛上，笔者应邀“说”一节“多元变量最值问题”课，现将教学设计和课后反思整理如下，与同行共勉.

1 教学分析

1.1 教材分析

最值问题是高中数学学习的重点，其中多元变量最值问题又一直是高中数学学习的难点，更是高考、各地模考与竞赛的热点问题.这类问题教师一讲，学生就懂，但由于知识、思想和方法不成体系，因而在独立思考时总觉得似曾相识，却又很难解出来.

1.2 听课者情况分析

本节说课的对象是参加江苏省第十六届中学数学教学高级论坛的专家，教授和优秀教师，他们对此问题的理解应该比较深刻.但是，由于此次论坛资料均要反馈到各高中学校，作为高三二轮复习课的参考，教学面向大部分高三学生，因此，本节课设为中等难度.

1.3 教学任务

本节课的核心内容是二元变量最值问题的解决方法，并得到解决此问题的一般策略，形成知识体系和方法框架.以一道经典题为载体，由浅入深，层层递进，由表及里，层层剖析.以退一步得到简单基础问题入手，或转换视角从几个不同的角度思考得到系列解法，不断引导学生探究数学问题的本质和丰富的内涵，完善知识方法，形成体系，激发学生的学习兴趣，促进学生的个性化发展，提升核心素养，使学生站在一定高度去思考问题，进行深度学习.

2 教学过程设计

引例 （2020年全国Ⅱ卷理科17）

△ABC中，sin²A-sin²B-sin²C=sin Bsin C.

（1）求A；

（2）若BC=3，求△ABC周长的最大值.

第（1）问解答略，下面具体研究第（2）问的解法.

问题1 已知条件是什么？未知目标是什么？

设计意图：近年的高考真题对于高三二轮复习来说是研究的重点，很能抓住学生的眼球.

从2020年的一道高考真题入手，引出本节课的核心问题——“多元变量的最值问题”.

解决问题的根本就是要找到条件、目标以及它们之间的关系.

在问题1的基础上，还可以提几点小问题：

（1）这个三角形周长为什么有最大值？

（2）这个三角形为什么不固定？

（3）求周长的最大值，可以选择什么作为变量？

解法1：以角为变量.

问题5 同学们还能用不同的方式叙述方程组有解问题吗？

设计意图：在上述四种解法的基础上，再一次尝试转换探究视角，由数到形，得到方程组有解的几何意义，使得问题的求解别有洞天.

但由于bgt;0，cgt;0，且b²+c²+bc=9的几何意义学生能够理解其图形是椭圆的一部分，但因为不是椭圆方程的标准形式，所以只能构建思路，仍然退一步，先结合几何意义解答辅题.

问题6 你能将辅题“

已知bgt;0，cgt;0，且b²+c²+bc=9，求b+c的最大值”还原为引例的第（2）问吗？

设计意图：在前面的探究中，学生觉得已经达到了圆满的状态，此问题的提出更是让学生觉得惊异，前面由数到形，本问又要求由形到数，构造它的平面几何模型，虽然答案很明显，但深意满满.不禁会让学生感叹数学的博大精深.只有深度学习，掌握本质，融会贯通，才能发现数学的美妙！

问题7 请同学们结合以上探究，总结处理多元变量最值问题的一般思路.

设计意图：从知识层面看，得到解决多元变量最值问题的一般思路（如表1）； 从教育教学总体目标看，培养学生数学抽象核心素养，使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多节的系统.

问题8 （2014年浙江）已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a²+b²+c²=1，则a的最大值是______.

设计意图：（1）尝试应用，内化方法.鼓励学生用几种视角对本题进行探究，展示成果，师生共评，查漏补缺，深入理解，并能体会方法的区别和联系，以便更合理地进行方法的选择.（2）比较分析，揭示联系.本题是三元变量的最值问题，但其本质类似引例的第（2）问.

问题9 请回顾本节课的学习过程，对本节课进行小结.

设计意图：回顾反思，总结提升.设想让学生回顾本节课的流程，在回顾过程中犹如再经历一次探究的过程，找到自己的切身感受，再分别从知识感悟、方法引领、思想提升、素养培养等几个方面总结反思，升华.

3 教学反思

3.1 以问题设计为起点，以问题驱动为导向，实现经验与知识的相互转化

认知心理学认为，“问题”是进行思维活动的原动力和牵引力.数学核心素养是在学生与情境问题的有效活动中提升的.本节课是以问题串的形式引领学生探究，笔者根据求多元变量最值的教学内容，提出了九个问题，环环相扣，层层推进，有效调动了学生的积极性，激发他们的探究心理和求知欲望，强化内在的学习需求，实现了经验与知识的相互转化.经验与知识常被看作是彼此对立的一对概念，事实上却紧密相联.深度学习倡导通过“联想与结构”的活动将二者结合起来.简单地说，联想与结构是指学生通过联想，回想已有的经验，使当前学习内容与已有的经验内在关联，并实现结构化.本节课的设计中，重点关注到这一点，通过退一步，简化题目，让学生联想曾经做过的类似题，获得基本解题经验，再延伸拓展到本题的解法，最后总结出解决此类问题的基本结构体系.可谓“退一步柳暗花明”！

3.2 以自主探索为基础，以合作交流为途径，让学生成为真正的教学主体

教育家斯宾塞说：“学习任何知识的最佳途径是自己去发现.”新课程理念下的课堂教学，要尊重学生的自主性，张扬学生的个性，知识要让学生自己去探索，规律要让学生自己去发现，学法要让学生自己创造，学习领域要让学生自己去拓宽，学习内容要让自己去发掘，学习收获要让自己去运用.因此，在“以学生为主体”的数学课堂中，教师要大胆地把学习的主动权交给学生，鼓励学生在以发现、尝试、操作为主的数学活动中，自己去发现问题，自己去探究答案，自己去体验成功.对于高三二轮复习的学生来说，已经有了较好的自主学习和合作交流的能力，通过教师的引导和帮助，他们能主动地去“经历”知识发现、发展的过程.在这个过程中，知识真正成为学生能够观察、思考、探索、操作的对象，成为学生活动的客体，学生成为教学的主体.本节课的设计中，在学生“最近发展区”，倡导思维风暴，主要以问题来调动，尝试从不同的视角得到不同的解法，大视角是数和形，小视角“数”中分函数、方程、不等式，“形”中又分平面几何和解析几何.可谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，更是“换视角别有洞天”！

3.3 以体验探究为核心，以教师引导为桥梁，帮助学生通过深度加工把握知识本质

深度学习是一种高水平认知加工、给予理解的、主动的学习方式，是指教学中学生的学习非一般意义上学习者的自学，因而特别强调教师的重要作用，强调教师对学生学习的引导和帮助.因此，它发生的先决条件就是教师的自觉引导，教师要精心设计具有教学意图的、结构化的教学材料以及能有序实现教学目标的教学过程，营造平等、宽松、合作、安全的互动氛围，并依据反馈信息对教学活动进行及时调整.在整个课堂实施过程中，教师要以学生为本，以学生的体验探究为核心，让角色，让时空，让精彩.萨拉·布朗·韦斯林说过：“问题是学习的滑轮，在问题与答案中，令学生豁然开朗且获得更多认识的是问题，而不是答案.”本节课围绕问题1～8纵横驰骋，将探究的过程演绎得波澜壮阔、悬念迭起、扣人心弦，令人荡气回肠.学生在一一探索解决问题的过程中，收获的不仅仅是知识和把握知识本质，更是在学习中培养了数学核心素养，在学习中成长和发展.