PME视角下的数学概念教学设计框架

摘要：从PME视角研究数学概念教学，综合数学概念的内涵与外延、数学概念的心理表征、数学概念教学方式及信息加工理论下的学习阶段，提出关于PME视角下数学概念教学的具体设计框架并对该框架作出具体说明.从PME视角下研究数学概念教学，在认知心理层次上找到阻碍概念形成与转变的因素，设计出符合数学概念特征和学生学习数学概念心理规律的教学方案，最终有效地实现数学概念的加工.

关键词：PME；概念教学；概念意象

1 研究背景及问题

构成数学知识的基础是数学概念，正确掌握数学概念是学习数学基础知识的前提.概念的理解是数学教学中最基本、最主要的任务之一，而概念的形成与转变是一个连续的动态心理历程，因此数学概念教学需要综合数学概念的特征与学生学习数学心理规律等各方面因素，严格审视数学概念教学的整体设计过程，才能使学生彻底理解数学概念，这也是上好一堂概念课的关键.数学教育心理学（psychology of mathematics education，简记为PME）是研究学生学习数学的心理规律以及教师如何根据学生学习数学的心理规律进行有效教学设计的学科^［1］.PME理论对于教师的教及学生的学都有着极强的指导意义，因此从PME视角下提出数学概念教学设计框架，考虑从PME视角透视数学概念教学，以学生学习数学概念的心理规律和数学概念的特征为出发点设计教学方案，最终达到学生理解数学概念并成功加工到已有认知结构的目的.

研究问题：PME视角下数学概念教学的设计框架是什么？教学设计框架的依据是什么？如何从PME视角利用设计框架进行数学概念教学？

2 PME视角下数学概念教学设计框架

数学概念是人们对客观现实世界中的数量关系和空间形式本质属性的思考在头脑中的映射.因此，在进行数学概念教学时，第一步必须先明确数学概念，找到数学概念的内涵与外延；第二步，对数学概念意象进行具体分析，建立抽象数学概念的适当心理表征;第三步，针对所学数学概念的地位及学习者的学习经验，选取合适的概念教学方式;第四步，根据加涅的信息加工学习理论将学习活动及主要的心理活动进行进一步拆分，把学习过程划分为八个阶段，针对八个不同的学习阶段分配相应的任务；第五步，根据以上PME视角下数学概念的研究，确立具体的教学活动，设计相应的教学环节.

基于PME视角研究的需要，综合数学概念的内涵与外延、数学概念的心理表征、数学概念教学方式及信息加工理论下的学习阶段，提出了PME视角下数学概念教学的具体设计框架，如图1所示.

3 概念教学设计框架的理论依据

3.1 现代认知心理学下的知识

现代认知心理学根据知识的不同状态和表述形式将知识广义地划分为陈述性知识与程序性知识.其中，陈述性知识是指“是什么”的描述客观事物特点及关系的知识；程序性知识则是指“怎么做”的操作步骤和过程的知识.根据数学概念的内涵，可以将数学概念归结于复杂的陈述性知识，而关于数学概念的获得及应用所相应的技能则属于程序性知识.数学概念教学则需要以顺应学生学习数学心理的教学方式去帮助学生建立抽象数学概念的适当心理表征，合理地纳入并融入到已有认知结构中，最后能灵活完成数学概念的相关应用.

3.2 数学概念意象

认知心理学的研究表明，数学概念的心理对应物（心理表征）在大多数情况下并非是相应的形式定义，而是一种由多个成分组成的复合体，包括心智图象、对其性质的认识与有关过程的记忆，这就是概念意象（concept image）^［2］.而某一概念的心理表征往往包含多种成分，也就是指概念会以多种不同的形式得到表现，比如图象、语言、符号等.概念的正确理解就是帮助学生在头脑中建立“恰当的”心理表征.简单来说，这意味着概念意象既包括该概念的多元表征，也包括已有认知结构中与所学概念之间的联系.概念意象具有丰富性、个体性与可变性.

3.3 数学概念学习方式

数学概念学习有概念形成、概念同化两种基本方式.概念形成是指在对概念所反映的一类事物的不同例子中去发现其本质属性，从而形成新概念的方式.概念形成的心理过程包括辨别、分化、类化、抽象、检验、概括、形成（引用）^［3］.概念同化即学生主动地与认知结构中原有的相关概念进行相互作用与联系，从而获得新概念的过程.概念同化的心理过程包括辨别、同化、强化.概念形成是以学生的直接经验为基础，概念同化则以学生的间接经验为基础.布鲁纳倡导的“发现法”与奥苏贝尔提出的“有意义学习”分别对应了概念获得中概念形成和概念同化这两种基本学习方式在教学方法上的表现.

3.4 信息加工理论下的学习阶段

加涅（R.Gagne）认为学习的过程就是一个信息加工的过程.加涅的信息加工学习理论将学习活动及主要的心理活动进一步拆分，把一个完整的学习过程划分为八个阶段：动机阶段（期望）、了解阶段（注意—选择性知觉）、获得阶段（编码—贮存）、保持阶段（记忆贮存）、回忆阶段（提取）、概括阶段（迁移）、作业阶段（反应）、反馈阶段（强化）.每个阶段都有相应的学习事件与教学任务^［4］，且八个阶段发挥着不同的功能.在每一个阶段，学生的头脑中都在进行信息加工，促使信息从一种形态转变成另外一种形态.教师则需要根据各学习阶段发生的学习事件，对应分配各阶段的教学任务，把学生的内部信息加工过程与教学事件联系起来，促进学生的有效学习.

4 概念教学设计框架的具体应用说明

4.1 明确数学概念的内涵与外延

数学概念由它的内涵与外延所组成，明确数学概念的内涵与外延则是准确掌握概念与系统知识的基础.数学概念的内涵与外延分别是对事物质和量的规定，数学概念的内涵就是数学概念所反映的事物本质属性的总和，数学概念的外延是数学概念所反映的事物的总和.

例如，“函数的零点”这个数学概念的内涵就是“对于函数y=f（x），使f（x）=0的实数x”，其外延就是“满足f（x）=0的实数x的全体”；“二元一次方程”概念的内涵就是“含有两个未知数且未知数的项的次数都是一次的整式方程”，其外延就是“形如ax+by+c=0（a≠0，b≠0）的方程的全体”.

4.2 概念意象分析

数学概念的意象分析必须先找到所要学习的新数学概念与学生已有的认知结构直接或间接的联系，再分析数学概念心理表征的多种不同形式，最终帮助学生建立抽象数学概念的适当心理表征.同时，教师应当努力帮助学生对自身所具有的概念意象具有清醒的意识，利用必要的观念冲突去实现认知结构的更新，这也是培养数学思维灵活性的途径之一.

例如，数学概念“函数的零点” ：对于函数y=f（x），使f（x）=0的实数x就叫做函数y=f（x）的零点.学生已有的认知结构：初中所学习的一次函数、二次函数和反比例函数的图象与性质，解一元一次方程与一元二次方程；高中所学习的函数的图象与性质.心理表征的多种不同形式：函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标，方程f（x）=0的实数解，函数f（x）与g（x）图象交点的横坐标.

4.3 选取概念教学方式

根据数学概念的内涵与外延、学生的学习经验与已有的认知结构，选取合适的概念教学方式，这对于数学概念教学是极其重要的.概念形成依靠学生的直接经验与直接认识，用归纳的方式抽取一类事物的共同本质属性，适用于低年级学生学习数学概念，也适用于“原始概念”（已有认知结构中无相关联系的概念）的学习.而概念同化利用新旧概念之间的相互作用去理解新概念，更大程度上依赖于原有认知结构和旧概念，适用于高年级的学生学习数学概念.由两种学习形式的心理过程可知，它们并非相互独立，两种形式也可结合起来使用.

例如，“函数的零点”概念，高中阶段的学生对函数已经具备了一定的认知结构，因此从PME视角下选择概念同化是最好的教学方式.例如，“一元一次方程”的概念，它作为方程的起始课，在强调活动探究的背景下选择概念形成是最好的教学方式；“函数的零点”概念，高中学生对于函数、解方程具备一定的认知，所以选择概念同化是最好的教学方式.

4.4 学习阶段任务分配

学习的过程被划分为八个阶段，每个阶段都有各自的教学任务.教师应该创设或安排适当的教学任务，帮助学生对数学概念进行有效的信息加工，完成预期目标，从而将数学概念纳入到认知结构中.第一阶段是“动机”，此时的教学任务是在一定的情境下激发学生的学习动机，产生学习的期望.第二阶段是“了解”，教学任务是给出与学习目标有关的刺激，引起学生的注意力去揭示概念的本质属性.第三阶段是“获得”，教学任务是引导学生得出数学概念的内涵与外延，进行知识的重组将其贮存在短时记忆中.第四阶段是“保持”，该阶段的教学任务是对数学概念进行多种不同形式的转化，进而达到强化记忆的目的.第五、第六阶段分别是“回忆”阶段、“概括”阶段，这两个阶段的教学任务是引导学生从大脑记忆中将数学概念提取出来，再将学习的数学概念迁移到不同的情境中，旨在促进学生对知识的理解.第七阶段是“操作”，教学任务是根据作业的完成情况所反映出的对概念的掌握程度，及时调整教学.第八阶段是“反馈”，根据学生的反馈情况，设置相应教学活动加强学生对概念的理解，进一步促进信息的有效加工，最终实现知识的迁移.

例如，“函数的零点”概念的学习，第一阶段是创设情境引导学生画出给定的一次函数的图象；第二阶段是告知函数的零点就是图象与x轴交点的横坐标，让学生计算并得出零点，探究零点的本质；第三、第四阶段，通过图象中函数零点位置及计算方法，类比一般函数，让学生总结函数的零点的概念，再引导学生找到函数的零点与方程根的关系，从数与形两个角度表示函数零点；第五、第六阶段，通过回忆函数的零点概念，探究并总结二次函数的零点存在情况，同时引导学生发现函数y=f（x）=g（x）－h（x）的零点就是两个函数图象的交点；第七、第八阶段，让学生完成相关练习题，加强对函数的零点的理解，教师再带领学生总结函数的零点概念课的知识点.

4.5 教学活动确立

从PME视角研究数学概念教学，综合数学概念的定义、概念意象的相关分析、概念学习方式的选取及信息加工理论下的学习阶段任务分配，将概念教学过程概括为以下四个环节：概念探究、概念表征、概念顺应或概念同化、概念应用.由上述的研究分析便可确立每个环节相关的概念教学活动，最终设计出符合学生学习数学概念心理规律的教学方案.概念探究环节是为了激发学生学习动机，引起学生注意，找到概念的本质属性.概念表征环节是让学生获得概念并在头脑中保持记忆，转换概念多种形式帮助学生建立合适的心理表征.概念顺应或者概念同化环节是引导学生从记忆里提取数学概念，然后在多种不同情境中去概括数学概念，进一步增强学生对数学概念的理解.概念应用环节是通过“操作”作业去强化数学概念，达到知识迁移的目的.

5 总结与反思

数学概念作为一门科学学科的概念，是人们对客观事物的数量关系和空间形式的抽象思维产物，包含对现实事物原型的一定简化与理想化.同时，数学概念也是由知识与技能组成的结构化的体系，帮助学生促进数学概念的形成与转变是概念教学的主要任务.因此，从PME视角研究数学概念教学，从认知心理层次上克服阻碍概念形成与转变的困难点，充分利用学生已有的知识与经验打破认知冲突，建立合适的心理表征，更新大脑认知结构，从而有效达成概念的形成与转变.从PME视角提出数学概念教学的设计框架，更加明晰数学概念的教学准备工作，根据框架所设计的概念教学能帮助学生掌握相适应的数学认知结构水平的数学概念.对于概念意象的分析，虽然数学家们关于同一数学概念的心理表征不完全相同，但概念心理表征的组成成分却高度统一，各个成分之间也具有转移性.当同一概念的不同心理表征之间存在一定的矛盾或冲突时，就需要教师借助概念的直观形象与特殊经验引导学生进行概念之间不同形式的转换.

参考文献：

［1］喻平.从PME视角看数学核心素养及其培养［J］.教育研究与评论（中学教育教学），2017（2）：8-12.

［2］郑毓信.新数学教育哲学［M］.上海：华东师范大学出版社，2015：257-258.

［3］巩子坤.具体概念教学的适应性研究：以高中数学教师为例［J］.教育导刊，2016（5）：39-43.

［4］王雪，李中平.PME视角下的“函数的零点”概念教学设计［J］.中学数学，2022（13）：19-21.