理解三角形三边关系的三个视角：几何作图、演绎推理、代数表征

[一] [、研究缘起]

史宁中教授提出，数学教学中，如果只教授概念而不探究其性质，则没必要教。而对平面几何图形而言，探究其性质是指发现其组成要素（点、线）之间的相互关系，包括位置关系与度量关系。

依据四年级下册（人教版教材，下同）给出的三角形的定义“由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形”，可知“三条线段”是三角形的组成要素，“每相邻两条线段的端点相连”则是要素之间的位置关系。那么如何保证三条线段能够依次首尾相连从而组成一个三角形呢？这就有必要对三角形三边之间的度量关系（以下简称三角形三边关系）进行探究。

有教师提出可以简单明了地从“两点间线段最短”直接推导出三角形三边关系。然而华应龙认为：“如果从结论的角度，‘三角形的三边关系’完全应该放在中学学习，小学四年级学了用处不大；如果从过程的角度，想让学生感受到数学学习的方法、探究的乐趣、数学的好玩，那么它就是很好的‘玩具’。”因此许多研究者尝试设计“三角形三边关系”的探究活动，形式丰富多样，但存在不少问题。比如，学生在操作过程中易因活动材料本身的物理属性，得出“当两条线段之和等于第三条线段时，三条线段可以拼成三角形”等错误结论。还有研究者设计了“pRDwit+tI8WUIKt0jwqpWA==剪吸管”活动，让学生思考为构成三角形第一刀与第二刀该如何剪，以此巩固学生对三角形三边关系的理解。但是教学中仅简单应用定理，而未引发学生的思考。

此外，数学推理是人们在学习和生活中经常使用的思维方式，包括演绎推理和归纳推理。教师在引导学生推导三角形三边关系时，要么仅通过演绎推理证明结论，要么仅通过归纳推理得到结论，而少有将两者结合在一起教学的。在解决问题的过程中，通过归纳推理探索思路，发现结论，应用演绎推理证明结论，两者相辅相成更有利于学生理解“三角形三边关系”。

为此，本文从几何作图、演绎推理、代数表征三个视角理解三角形三边关系，并将动手操作、直观感知与演绎推理相结合，设计了有利于学生理解三角形三边关系的学习路径，为教师教学和学生学习提供参考。

[二][、理解三角形三边关系的三个视角]

1.几何作图：探究三角形三边关系，并作出三角形。

尺规作图是认识图形和探索图形的重要方法。2022年版课标在“图形与几何”领域中就增加了借助尺规作图探索线段、三角形的新要求，以此帮助学生形成初步的几何直观。

已知三条线段AB、CD、EF（如图1），能否构成一个三角形呢？首先确定线段AB的位置，得到三角形的两个顶点A、B；其次分别以A、B为圆心，以线段CD、EF为半径作圆，探索第三个顶点。结合圆与圆的位置关系，总结得以下五种情况[如表1。为便于说明，仅改变EF（即⊙B的半径）的长度]：

综上所述，命题“只有当任意两条线段之和大于第三条线段时，才能围成一个三角形”为真。由此可推出，命题“若两条线段的和等于或者小于第三条线段，则三条线段不能围成三角形”亦为真，其逆否命题“三角形任意两边的和大于第三边”也为真。通过几何作图探究得到的结论与教材上的结论一致。

2.演绎推理：逻辑论证三角形三边关系。

从学生的生活经验出发，问：小明从家去学校（如图2），怎样走最近？易得：直着走的路线近，拐弯走的路线远。这个不证自明的基本事实源于《几何原本》中所提出的公理——两点之间线段最短。

同理可推得：AC<AB+BC，BC<BA+AC。

换言之，由“两点之间线段最短”可直接推得“三角形任意两边之和大于第三边”。这与八年级教材中对“三角形三边关系”的论述一致：“由两点之间线段最短，可以得到三角形任何两边的和大于第三边。”然而教材中未展示推演过程，学生仿佛“雾里看花”，似懂非懂。

3.代数表征：逐步精确刻画三边关系。

（1）层次一：三角形任意两边之和大于第三边。

由上述演绎推理过程可知，对三角形三边关系最基本的认识即“三角形任意两边之和大于第三边”，用数学语言表述则为：若将△ABC的三边BC、AC、AB分别记为a、b、c，则有a+c>b，b+c>a，a+b>c。这仅仅模糊地描述了三角形三边之间的定性关系，如何精确地刻画三角形三边的关系呢？

（2）层次二：三角形任意一边边长小于周长的一半。

就三角形三边之间的度量关系而言，最先想到的应是三角形的边长与周长之间的关系，这是部分与整体的关系。基于此，我们尝试从“三角形任意两边之和大于第三边”推导出三角形各边长与周长之间的关系。

证明：在AB上取一点D使得AD=AC（AB>AC，所以能取到点D）。

∵AD=AC，

∴∠ADC=∠ACD。

∵∠ADC是△BDC的外角，

∴∠ADC=∠ABC+∠DCB。

∴∠ACD=∠ABC+∠DCB。

∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠ABC+∠DCB+∠DCB。

∴∠ACB>∠ABC。

“大角对大边”的推导与此类似，不再赘述。

上述边与角之间的关系定性地说明了“三角形中，若角较大，则对应的边较长”，但未能给出定量的刻画，我们还需要进一步探究边与角之间更精确的关系。

（4）层次四：通过勾股定理建立边与角之间较为精确的关系。

直角三角形是一般三角形的特殊情况，因此满足层次一到层次三的关系。此外，鉴于直角三角形中有特殊角，勾股定理比较精确地刻画了三边之间的关系。然而，边与角之间的关系刻画得仍不够精确，问题仍然存在。比如，在直角三角形中，已知一个锐角的度数及其对边的长度，理论上，这个三角形是唯一确定的，因而可以得到另外两边的长度，但是利用勾股定理无法求出，原因就在于其边与角之间的关系刻画得还不够精确，且勾股定理局限于直角三角形，不适用于一般三角形，因此需要继续探寻。

（5）层次五：通过余弦定理建立边与角之间精确的关系。

高中教材中出现了可应用于一般三角形的余弦定理（如[a2=b2+c2-2bccosA]）。余弦定理建立了边与角之间的精确关系：在三角形中，知道一个角及其两条邻边的大小（本质上是这个三角形唯一确定），就可求得第三条边的大小，进而可以求出其他角的大小。该定理统领了层次一至层次四，推导如下。

勾股定理（层次四）是余弦定理的一种特殊情况：若∠A=90°，可知[cosA=0]。所以，[a2=b2+][c2-2bccosA=b2+c2-2bc∙0=b2][+c2]。

通过代数运算与演绎推理，从模糊的三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”到精确的用余弦定理描述、刻画的边角关系，为学生理解三角形三边关系搭建由易到难、由浅入深、由粗到精的框架。当然，余弦定理等贯通三角形边角关系的知识，是小学数学教师应该掌握的学科知识。

[三][、应用“三角形三边关系”的实践研究]

1.应用三角形三边关系：怎样将一条线段折成一个三角形？

通过几何作图可得“只有任意两条线段之和大于第三条线段时，才能使三条线段拼成三角形”，通过演绎推理可知“三角形任意两边之和大于第三边”，通过代数推算将“三角形任意两边之和大于第三边”转变成“三角形每条边的长度小于周长的一半”，这为探究“怎样将一条线段折成一个三角形”做好了理论铺垫。

将一条线段折两次，折成一个三角形，需要探讨以下三个问题：

（1）第一次折在什么位置？

（2）第二次折在哪条线段上？

（3）第二次折不能折在该线段的哪些位置？

记线段AB的中点为点O。为了使每段长小于整段长的一半，第一次折不能折在中点O处，那么只能折在线段OA上或线段OB上（不包括O、A、B三点），这回答了第一个问题。

假设第一次折在线段OA上，并记折痕与AB的交点为点C（如图4）。在此基础上，第二次折（记折痕与AB的交点为点D）应该折在哪条线段上？若折在短边AC上，则AD+DC<CB，不满足三角形任意两边之和大于第三边，所以第二次折必须折在长边CB上。

第三个问题，第二次不能折在线段CB的哪些位置？

为保证每段长小于整段长的一半，除了C、D两点都不与点O重合，还需要注意线段CD<[12]AB，DB<[12]AB。因此以点C为圆心，AO为半径作圆交线段AB于点H。第二次的折痕与AB的交点D需要在线段OH间（不包含点O、H；因为要保证DB<[12]AB，所以，点D不能在CO之间；如图5）。

综上所述，为将线段AB折成一个三角形，第一次不折在中点，第二次应折在点O和点H之间。

2.三个视角下的学习路径设计。

几何作图的优势是直观化、操作性，演绎推理的优势是一般化、严密性，代数表征的优势是符号化、精确性，三个视角各有优劣。应用多种视角可以更好地帮助学生理解三角形三边关系，积累数学活动经验，发展多方面能力。

教师可以基于上述三个视角，进行三角形三边关系的探究教学，并根据小学生的认知特点进行适当的简化：几何作图不必太详细，演绎推理不可太严密，代数表征无须太精确，要发挥各种方式的优势，渐次推进，协调融通，这样，才能促进学生对三角形三边关系的深刻理解。

学生无法在一节课完成这么多内容的学习，因此教师可将其作为一个小单元进行教学。

（1）初步探究，明确关系。

任务1：初步探索三角形三边之间的关系。学生在吸管上任意剪两刀，得到三段吸管。然后要求学生用这三根吸管拼接三角形，引导学生提出关于三角形三边关系的初步猜想：三角形两边之和大于第三边。

任务2：利用反例引发学生的认知冲突，启发学生修正、完善猜想：“任意”两边之和大于第三边。

任务3：借助几何画板展示三条线段拼接三角形的过程，帮助学生理解、总结三角形三边的关系，验证猜想的正确性。

（2）代数表示，精确关系。

在认识“三角形任意两边之和大于第三边”的基础上，进一步探究三角形三边的度量关系，建立三角形边长与周长的关系，为后续探究“一根吸管如何剪两刀构成三角形”的拓展练习作铺垫。

任务4：两条线段之和等于第三条线段。

经由任务1～任务3，学生可知，剪成的三根吸管中，如果两根吸管的长度之和正好等于第三根的长度，则无法“拱”成三角形。此时最长的吸管是三根吸管长度和的一半，这是构成三角形的临界点。

任务5：最长的线段大于总长度的一半。在剪吸管的过程中，将最长的吸管再剪长一点能否构成三角形？学生能够发现最长吸管越长，越不能构成三角形。由此易得，最长的吸管大于所有吸管长度和的一半时无法构成三角形。

任务6：所有线段的长度均小于总长度的一半。应该缩短到什么程度才能够构成三角形？接着上述临界点得到“只有当所有吸管都小于所有吸管长度和的一半时，才可以构成三角形”的结论。

虽然学生此时不能通过严密的代数推理得到此结论，但是可以利用临界点进一步理解三角形三边关系。

（3）动手操作，巩固关系。

在认识三角形三边关系的基础上，学生再次通过动手操作，巩固对三角形三边关系的理解。

任务7：再次探究如何剪吸管能够构成三角形，并回答三个问题：第一刀剪在什么位置？第二刀剪在哪根吸管上？第二刀不能剪在哪里？若学生能够说明剪法并讲清原因，则说明学生已经理解并掌握了三角形三边关系。教师运用几何画板验证学生得到的结论。

（4）直观感知，论证关系。

最后通过逻辑论证深刻体会数学是有道理的学科。

任务8：提出思考题。如图2，小明从家到学校有两条路：一条路是笔直的；另一条要拐一个弯经过邮局，哪条路更近？学生通过直观感知，很容易发现拐弯走的路线比直着走的路线远。

任务9：在上述情境中继续思考。如果小明从学校到邮局，走哪条路线近呢？如果小明从邮局回家，走哪条路线近呢？学生发现所有拐弯走的路线都比直着走的路线远，而以上路线围成了熟悉的三角形，因此可以得出“三角形任意两边之和大于第三边”。

最后基于学生的学习情况，教师可让学有余力的学生继续思考以下问题：

①三角形三边之间的关系，能够进一步精确表示吗？

②我们学习了三角形的边之间的关系、角之间的关系，边与角之间有关系吗？

虽然我们可以用几何作图、演绎推理、代数表征这三个视角来帮助学生理解“三角形三边关系”，但在实际教学中，用不同的方式组织教学，会给教师带来挑战。三角形三边关系作为探究三角形性质的一块重要内容，教师应如何处理和其他知识点的联系？小学生能否认识到“三角形任意两边之和大于第三边”和“只有当任意两条线段的和大于第三条线段时，才能围成一个三角形”之间的关联与区别？基于三个视角学习三角形三边关系能否培养学生的数学推理能力？怎样验证三角形三边关系的学习路径相比当前教材得到了优化？这些都值得我们进一步思考，也需要通过实证研究来验证。

【本文系浙江省哲学社会科学规划课题“基于认知发展模型的义务教育教科书编写质量提升研究”（课题编号：23NDJC265YB）、杭州师范大学省优势特色学科培育项目“学生认知发展建模：数学核心概念的学习进阶研究”（课题编号：18JYXK004）的阶段性成果】

（作者单位：杭州师范大学经亨颐教育学院；浙江永嘉县瓯北第一小学。巩子坤为本文的通讯作者）