对量感的认识及相关内容的教学

2022年版课标首次将量感纳入核心素养的主要表现之中，强调“量感主要是指对事物的可测量属性及大小关系的直观感知”。随之而来的问题是，我们应如何认识量感？又如何在相关内容的教学中落实量感的培养？

[、对量感的认识] [一]

1.对量感本身的认识。

2022年版课标将量感具体化为学生对度量的操作、理解及在生活中的应用能力。其实，对照数学课程内容可发现，度量涉及的对象主要是图形和生活中一些常见的量。在小学阶段，长度、面积、体积、角度、质量、时间、货币等都是培养学生量感的重要内容。与此同时，这些内容本身也描述了现实世界的特征与属性。

量的产生源于对事物属性进行度量的需求。人们在日常生活中频繁使用的量词就体现了量感，如1套校服、2本书、3座楼等，其中的套、本、座分别是用来衡量校服、书籍和建筑物数目和规模的计量单位。只是与长度、面积等需要通过科学界定的量相比，这些生活化的单位更加直观、易懂。由此，我们可以将小学生的量感分为两种水平：生活化量感和学科化量感。而且，前者有助于后者的形成。所以，学生学习数学、形成量感的过程，就是感知事物、认识世界的过程。

就特性而言，量感始于感知觉，经由记忆而通达于思维。事物的特征刺激了人的感觉器官，人体随即产生相应的知觉体验，同时在记忆中积累为个人经验，进而为后续对新事物的认知提供判断标准和推理依据。以人教版教材三年级下册面积和面积单位的认识为例。教材通过重叠法和密铺法对应的操作让学生感受面积的存在，理解面积的含义。而在面积单位的理解中，教材又分别呈现了指甲盖、用手指和尺子围成的区域、边长为1米的正方形纸，以此帮助学生在比较中体会1平方厘米、1平方分米和1平方米的差别。这些教学内容看似简单，却是后续学习面积单位的进率及图形面积计算的基础。因为只有当学生接近面积，形成对面积的感受和面积意识后，他们才可能主动理解并实施面积的精细化度量与计算。从这个意义上说，让一个没有“面积感”的学生进行再多的面积计算都是无意义的机械重复，因为这样的学习往往只能应付答题，而无法解决实际问题。正如教学中我们常常看到，学生能够迅速口算出边长为2厘米的正方形的面积是4平方厘米，却无法判断1元硬币和电脑键盘上的1个按键哪个更接近1平方厘米。因此，尽管量感具备“下达感知，上至思维”的特点，但是感官体验仍是形成量感的基础。学生需要从大量观察、触摸、测量、比较和估计的实践经历中逐步增强对量的敏感性，形成判断与推理的直觉。

2.对量感与数感之间联系的认识。

相比量感，数感已在课标中存在很久。但由于“数量”一词的频繁使用，人们对数感的认识事实上已经涉及了量感。总结已有的理论研究和教学实践成果可发现，量感与数感的联系有两种表现形式。第一，“数感+量感”共同完成了数量表达的任务。当然，有的研究将这种形式视为：量感只是数感的一部分[1]。因为日常生活中人们都是以“数+单位”的方式来说明数量的，如1串葡萄、2辆车、3只鸭子……这里的量词所代表的单位就体现为量感，而且这些量词也是数量表达中不可或缺的内容。第二，数感是量感的抽象。按照皮亚杰的理论，数概念是主体对事物之间存在的逻辑关系的抽象概括。举例来说，现实生活中并不存在3这个纯粹的数字，即使一个笔袋里装着铅笔、橡皮和直尺这3样文具，但是3既不是指它们中的任意1个，也不是这3样事物本身，而是指这3样事物共同构成的相互关系。所以，儿童对数概念的理解依托于具体事物，而又抽象于具体事物。他们必须通过经历多种形式的量感，才可能从中抽取出数概念。而数感依托的多种形式从表层看，可能是3个苹果、3朵花、3块积木等事物类型的区别，但深层上也需要诸如3个、3厘米、3千克等不同度量单位的抽象。

总体而言，上述两种形式也说明量感与数感是相互联系、互为依托的。量感基于具体实物，依托与生俱来的感知觉；数感依靠计数的内部操作活动，需要对不同类型的量感进行抽象[2]。尽管如此，数感培养的目的也并非仅停留在符号与计算的层面。因为核心素养导向的教学指向了数学的眼光、数学的语言和数学的思维，所以学生数感的培养必须着眼于学生的素养，体现其自动化与适应性特征。但令人遗憾的是，当前数感的培养仍处于一种“求而不得”的尴尬状态，其主要原因在于教学中通常既没有充实的过程，也没有丰富的材料，导致数的感知常常成为空洞、艰涩的数字符号操作。而这些恰恰是量感的特征与优势，由此我们认为，量感应成为培养数感的有效载体。

[、量感相关内容的教学] [二]

基于以上分析，我们认为小学阶段量感相关内容的教学可从生活、体验、表达三方面着手。

1.努力利用真实的生活场景。

以度量的教学为例。教学中，教师普遍重视学生对度量单位的理解。尽管如此，单位的规定性依然容易使教学成为单纯的知识讲解，难以体现学习单位的必要性。最典型的是克和千克的认识。现实生活中，人们多以市斤作为购物称重时的单位，而很少使用克和千克。这在一定程度上导致教材内容与学生经验的疏离。因此，弥合二者之间的距离就成为本节课教学的重要一环。虽然教材编排的顺序是从小单位（克）到大单位（千克），但教师完全可以从学生经常听到的斤入手，帮助学生先建立500克（1斤）的质量体验。教学准备可以是1袋盐、几个苹果、1捆韭菜、1袋鸡肉等生活中常见的食品（均为500克）。教学过程中，可让学生先拿在手里掂量、比较，再估计其质量，之后鼓励学生通过观察外包装或价签，了解质量信息，由此形成并巩固对500克的感觉。接下来，让学生组成四人小组，尝试往袋子里装500克大米，并通过用电子秤称量，比一比谁装的大米最接近500克。在此之后，可以继续通过比较鸡蛋、鹌鹑蛋、花生等物品的质量，推动量感逐渐向更小的单位克过渡。总之，生活中的食物、商品包装及电子秤上的信息都是学生感知质量的天然媒介。

此外，在“图形与几何”领域的教学中，角的度量是一个较为特殊的内容。从认识角，到对角的大小进行度量，都离不开具体情境，学生甚至可以从生动的故事情节中感知、提炼。在二年级“角的初步认识”教学中，引导学生了解影响角的大小的因素是难点。因为受到直观经验的影响，学生总是将角的两边的长短作为判断角的大小的依据。对此教师可以创设能激发学生认知冲突的故事情境。比如，出示一幅两只鳄鱼张大嘴巴引吭高歌的卡通图片，图中鳄鱼爸爸的嘴巴长，但张开的角度小，而鳄鱼宝宝的嘴巴短，但张开的角度大。教师可以要求学生思考：“图中哪只鳄鱼的嘴巴张得大？”基于对故事情节的辨别，学生意识到“角的大小与角的两边叉开的大小有关，与两边的长短无关”。总而言之，无论是生活场景的支撑，还是故事情节的推动，都能有效避免空泛地重复内容，让学生有机会沉浸式深度体验量的特性。

2.强化直观的感觉体验。

强化直观的感觉体验，在一定程度上符合量感源于测量的观点[3]。以平均数的教学为例。与平均数的计算相比，平均数的含义、平均数与单个数据的联系才是教学的重点和难点。教师可以利用电脑中的数据处理软件，统计全班学生的身高并计算平均数。教师可以先从两个学生身高的平均数算起，通过逐一添加身高数据，让学生直观感受每次添加数据后平均数的变化。在此基础上，让学生（已输入身高数据的学生除外）预测，当自己的身高数据纳入计算之后平均数的变化趋势。通过见证和参与的方式，学生形成的平均数概念自然是深刻的。

除此之外，认识人民币的教学更需要突出量感的体验性。就现实的情况看，一年级学生对货币的前期经验存在熟悉与陌生的两极分化状态：一部分学生有花零用钱的习惯，因此对货币十分熟悉；另一部分学生因为很少独自购物，或者由于电子支付等原因，接触现金的机会很少，所以对货币很陌生。事实上，这两种情况都不利于教学的开展。因此，教师在教学时可着眼于对人民币的多视角深度认识。例如，可以引入新的货币（如港币），让学生与人民币做比较，以人文的内容切入，引导学生观察和比较两种货币在币种、图案、面值等方面的异同，加深对人民币的认识。同时可以设计实践活动作业“5元现金零用钱消费”，要求学生先制订购物计划，再亲自去购买，最后在课堂上交流。在这一过程中，购物的目的、物品的单价、付款的方式、购物小票中的价格信息、购物体验等不仅可以增进学生对货币的认识，更有利于培养学生树立正确的消费观念。对小学生而言，不与其主观经验产生联系的知识，几乎无法使其产生真正意义上的学习。因此，无论是量感还是数感，只有融入了身体、行动和情感，学生才有机会逐步建立起“感”。

3.重视输出表达。

前两点本质上都强调了量感输入的要求。事实上，对抽象概括能力有限的小学生而言，量感的表达性输出同样重要。因为从心理学的角度看，感知觉在许多情况下具有溢于言表、难以言说的特点。另外，小学生的元认知尚处在发展阶段，他们思考的内容及思维的逻辑性都需要提升。因此，教学时，可通过口头表达实现内在感受的外化，强化学生对量感的认知，同时便于教师对学生的量感进行调控。以“数与运算”主题中位值的学习为例。位值不仅是数概念学习的核心，也是竖式运算的关键。教学过程中，教师经常发现有对算理和算法的理解脱节的学生。学生在计算中能够熟练地算出结果，但是对计算过程中数的含义十分模糊。这一现象直接阻碍了学生对知识的深度理解。比如，有的学生掌握了万以内的数之后，无法向大数的认识迁移，有的学生尽管掌握了有余数的除法，却不能解释多位数除法竖式中每一步产生的余数的含义及对余数的处理方法。针对类似的问题，教师有必要通过位值的外化来巩固学生对算理的理解。比如，在154除以7的竖式计算中，学生需要独立解释“商2之后，15与14相减余1的含义”，即因为这个1在十位上，所以它代表1个十，也就是1捆（10根）小棒。又因为1捆小棒无法再按照捆继续平均分，所以只能把这1捆拆开，与其余的4根小棒合成14根小棒，再以根为单位继续分。这样完整、有序的表述，其实就是在巩固学生从捆到根的感受，同时有利于学生从中抽象出十进制的概念。而在乘法的学习中，位值感外化也能帮助学生克服将竖式运算都简化成乘法口诀的过程。比如，22乘33，尽管每次都使用了“二三得六”，但是学生能否意识到并说出四次使用口诀所代表的不同含义？除了四则运算间的联系，基于位值的运算认知表达，还可以实现由整数运算向小数、分数运算的过渡，最终实现数与运算的一致性。对位值感的多次输出，一方面，能提高学生对位值的敏感性；另一方面，这种敏感性和直觉也是推动算法熟练和计算精确的重要保障。

综上所述，量感进入课标预示着数学课程向核心素养迈进。量感中，量的一端指向知识，感的一端联结着学生的生活经验。因此，我们希望通过沉浸体悟与外化输出的方式推进教学，以深度培养学生的数学眼光、数学语言和数学思维。

参考文献：

[1]高博豪，吴立宝，郭衎.量感的内涵与特征[J].天津师范大学学报（基础教育版），2022，23（5）.

[2]David Wagner，Brent Davis.Feeling num-

ber：grounding number sense in a sense of quantity[J].Educational Studies in Mathematics，2010（74）.

[3]刘晓婷.量感培养：困惑、根源及策略[J].小学数学教师，2021（7/8）.

【本文系国家教育考试科研规划2021年度课题“小学教师资格考试内隐教育能力评价与试题开发研究”（编号：GJK2021034）的研究成果】

（作者单位：内蒙古师范大学教育学院小学教育系）