致力于量感培养的数学“综合与实践”活动

在杭州市滨和小学校园的二楼有一块空地，在重视劳动教育的氛围下，学校将其开发成全校师生最爱的菜园，每个年级都有一块地，并划分给各个班级，师生为菜园取名“暖园”。学生每天会经过或进入“暖园”，久而久之，产生了一系列的疑问：“五年级这块‘暖园’的面积有多大？”“整个‘暖园’的面积有多大？”“‘暖园’里蔬菜的产量怎么样？”……这些真实的问题自然地引发了学生的热烈讨论和持续思考。

面对学生的好奇心和探究欲，结合五年级学生已学习的平面图形的面积计算、多位数乘法的计算等知识，同时，考虑到他们具备了初步的同伴合作、解决问题和实践操作等能力，以及查阅资料和自主探究的能力，我们开发了“校园中的‘暖园’面积”这一“综合与实践”活动案例，采用“课内+课外”相结合的形式，历时一周的长时活动，引导学生解决身边真实的生活问题，尝试在解决问题的过程中，发展量感素养和综合能力。

下面具体阐述活动设计及活动组织实施的过程。

一、活动设计：着眼于素养导向

为了解学生已有经验，我们对学校五年级400多名学生进行了前测调研（学生刚学完三角形的面积计算公式），前测内容如下：

第①题为求组合图形面积的习题（如图1）。

第②题是估测“暖园”（如图2，中间有圆形图案的近似五边形）的面积：你能估计出“暖园”的面积是多少吗？你估计它有（ ）个教室那么大。

对由前测获得的数据进行统计，我们发现：第①题正确率高达90%，出错的主要原因是计算错误。第②题学生的答案五花八门。比如，估测“暖园”面积为100～500平方米，借助教室为参照物估计的大小是2～9个教室不等。

我们对产生上述现象的原因进行了分析：第①题的内容是已将情境进行了优化处理，学生虽然还未学组合图形的面积，但都知道可以将图1划分为平行四边形和三角形，只需要找到对应的数据，用公式计算就可以解决问题了，这是侧重知识技能方面的训练。第②题主要是考查学生对面积大小的感受，看学生能否结合熟悉的生活素材来表达面积的大小。调研结果表明，学生虽然对平面图形面积计算方法已经得心应手，但对于较长距离的实际长度、面积大小的感知很模糊，即使选择了学生非常熟悉的场景，其感知能力也很单薄。

由此可知，此次“综合与实践”活动设计应以培养学生量感素养为导向。量感主要是指对事物的可测量属性及大小关系的直观感知，它是小学阶段数学核心素养的主要表现之一。它的培养需要学生具身经历实践操作，在解决真实问题的过程中丰富度量体验，积累活动经验，从而发展量感。

为此，我们将本次活动目标确定为：1.通过独立思考、小组合作解决日常现实中的真实问题，主动发现、预测可能存在的问题，并想办法分析、解决问题。2.通过方案设计、实地测量、活动记录，经历数据收集、整理与表达的全过程，初步形成跨学科的应用意识和创新意识。3.通过测量面积和绘制平面图积累量感的经验，了解数学的价值，感受数学的魅力和数学学习乐趣，以及用数学的眼光去解决现实问题。

依据活动目标，制订的学习计划为问题开启、活动实施、交流评价三个阶段（如图3）。

二、活动组织：具身参与体验

（一）任务驱动，问题开启。

活动开始，教师出示五年级学生种菜的“暖园”图，告诉学生原本负责这块地的志愿者丁爷爷回老家了，刚接手的沈老师想将地重新划分给各个班级，但还不知道“暖园”的面积，希望学生帮忙。学生估测“暖园”面积为100～500平方米不等，借助教室为参照物估计是2～9个教室不等，这引发了学生想探究“暖园”实际大小的好奇心。

各小组在讨论中完成划分“暖园”的方案（草图），全班交流方案的可行性。

师：对于“暖园”的这几种划分方法，大家同意吗？（出示4种典型的方法，如图4）

生1：我们觉得方法2理论上可以，但不是很现实。因为把“暖园”添补成平行四边形后，它的边会延长到护栏外面，在二楼做太危险了。

学生边说边上台指着照片中“暖园”外延的地方，全班学生笑着点头。

生2：方法1将“暖园”先划分为大三角形和四边形，又把大三角形划分成三个小三角形，计算太麻烦了。将四边形看成平行四边形，离正确值差别会有点大。

生3（方法4小组）：听了大家对方法1的建议，发现我们的方案可以改进，“暖园”除了上面部分看成一个三角形，下面部分只要看成两个三角形就可以了。

师小结：将组合图形转化成已学过的图形，既可以用添补法，又可以用分割法，但要根据实际情况来选择。

各小组优化“暖园”划分方案后，开始规划测量方案，讨论小组成员分工、预设测量中可能遇到的困难及解决的办法，为实地测量“暖园”做准备。

【实践思考：对于学生日常生活中常见的“暖园”，估测其面积时却没有一个答案接近准确值，这大大激发了学生不服输的精神，教师顺势提出驱动性问题“到底‘暖园’面积有多大呢”这个问题吸引学生全身心卷入。9个小组运用原有经验提出9种划分方案（将组合图形转化成常见平面图形），从理论角度分析方案都可行。在方案可行性交流、思辨中，学生逐渐意识到有些方案不是切实可行的，于是主动修正、优化方案。真实的问题情境激发了学生学习的热情和真情。】

（二）实地勘测，深入实践。

全班学生通过独立思考、集体讨论，商讨并形成了完整而具体的测量方案，而实地测量与数据收集是最重要的一环。考虑到有效性及安全性等各方面因素，学生分组去“暖园”进行第一次实地测量。

带着满满信心去测量的学生，在实际测量过程中，遇到了一些原先没有预设到的问题。各小组遇到的共同问题是“卷尺只有5米长，太短不好量”，他们原先预想一把卷尺多量几次就够了，但实际情况有些麻烦。有些需要测量的长度是根据划分方案增设的，实地中没有这条线，用5米卷尺去量误差太大。经过讨论，解决的方案是小组成员沿线站成一排，再用卷尺逐次量。

还有些问题等学生回到教室交流后才发现：有些小组只量了“暖园”各边的长度，没量高的长度；有些小组量一段弧线时按直边测量；还有些小组量的高与底不垂直，误差很大……

随着交流的深入，大家要求再去“暖园”实地勘测。

再次回到“暖园”实地测量，各小组准备得比第一次周到，量得更细致。记录好所需数据后，回到教室自学比例尺相关知识，小组完成“暖园”平面图制作和面积计算。如图5。

还有些小组自发地测量教室的面积（刚搬迁到比普通教室更大的教室学习）。

【实践思考：实地测量活动让学生深刻体会到“理想是丰满的，现实却是残酷的”道理。他们原本觉得实地测量是件很简单的事，没曾想会遇到卷尺太短、边有弧度、忘记量高等实际问题，这些困难在书上的习题里是不曾遇见的。正是基于丰富而深刻的体验，学生此刻的感悟才是真实的、真切的、丰厚的，在不断试错、调整、优化中对“暖园”面积大小的认知在加强，综合能力也得到了发展。】

（三）展示交流，反思评价。

为了帮助学生内化探究的方法，教学中增加一节“‘暖园’面积发布会”这一复盘（交流与反思）活动。在发布会上，回顾活动实施过程；得出活动经历“方案制订—实地测量—绘图计算—分享交流”过程；复盘在划分、测量、绘制中遇到的困难以及解决办法；欣赏同学们完成的作品，现场送给负责“暖园”的沈老师，并告诉老师会存在误差。

复盘不仅要关注知识掌握情况，还要关注学生的参与程度。教师请全体学生对照评价量表，结合自己在活动中的表现，完成星级自评和自我感受综述，再交流。见表1。

生1：我对自己“解决问题”“参与热情”“团队合作”都打了三颗星。因为在以前的数学课中，我容易走神。这一次我全程积极参与方案制订、实地测量、平面图的制作以及面积的计算。在第二次实地测量时，老师一开始准备只选三个人时，怕大家不选我，我还急哭了。

生2（生1同组成员）：我觉得他的自评非常恰当。一开始我们担心去测量“暖园”时他会添乱，但在我们遇到卷尺太短的问题时，是他想到去体育室借50米的量尺，也是他主动找体育老师协商的。

生1被夸得有些不好意思，挠着头，继续说：我对自己“知识应用”“数学表达”只打了一颗星。在活动过程中，我意识到自己的数学知识太薄弱了，“暖园”图划分不合理，计算面积时又经常出错。

生1说完，全班学生情不自禁地为他鼓掌。

生3：我对自己“参与热情”“团队合作”只打了一颗星。我一开始觉得这活动太麻烦，想不明白“求不规则图形面积的问题”为什么要制订方案、实地测量。一直到第二次实地测量高时，大家用了好多办法但测出的高还不精准，但是没有一个同学垂头丧气，都在积极想办法，那一刻我被感动了。最后是靠三个组互相合作，用“人形”站成三角形的一条边，再用多把尺与这条边垂直测出高的长度。

生4（生3同组成员）：我觉得她至少可以打两颗星。我们测出“暖园”数据之后，她参与度越来越高，“暖园”平面图绘制中比例尺的知识是她教给我们的。为了让我们对“暖园”的面积有深刻感受，是她提醒我们量教室的面积，让我们知道“暖园”的面积相当于7个教室那么大。

……

在自评、互评时，学生非常投入，尤其是自我问题剖析和评价其他同学时都很真诚，一直到下课还有很多学生想分享感受。

【实践思考：在作品交流中，一方面，引导学生回顾解决问题的全过程，提升解决问题的综合能力；另一方面，引导学生用数学的眼光审视自己和伙伴在学习过程中的表现。通过“过程性评价+成果性评价”“自我评价+伙伴互评”的形式，让学生感悟到合作中学、做中学、用中学、创中学的意义，在活动探究中量感经验不断积累，也让每个学生在用心参与解决问题的过程中都能发光，有了“心”的成长。】

三、活动启示

此次活动历时一周，从问题开启、多次实地勘测、“暖园”平面图制作和面积计算，从课内到课外，从课堂到课后，全体学生全身心卷入“‘暖园’面积有多大”的问题解决中，在不断思辨、质疑、修正中，学生对“暖园”面积大小的认识越来越清晰。通过此次活动，初步形成了以下三个策略。

（一）创设推进活动支架——真实性。

在平时学习中，学生接触的问题与真实生活问题有所不同，往往是经过加工、改造的问题，训练侧重点是提升解题能力。久而久之，学生会觉得枯燥、乏味。基于生活中常见的“暖园”，提出真实问题“校园中的‘暖园’面积有多大”，竟没有一个确切回答，这大大激发了学生的好奇心和探究兴趣。这一真实问题从培养学生解题能力转变为“具身参与、思维投入”的探究之旅。

学生面对真实问题，在师生、生生交流中不断聚焦，继而在小组中分析、讨论可能遇到的问题与解决设想，形成测量方案，再到实地检验、修正、优化，不断让学生经历思辨过程。只有这样，学生才能养成敏锐的数学眼光，才能学会从复杂的问题情境中抽离出数学问题。

（二）创设长时沉浸体验——具身性。

“规划—实践—复盘”是解决真实问题的路径。在上述为期一周的学习过程中，除了第一节课制订方案和最后一节课交流与反思课，学生还经历了三次“室外+室内”测量和一次自学比例尺知识和集体绘制“暖园”平面图的解决真实问题的过程。第一次，学生实地测量“暖园”，他们饶有兴趣地测量了一节课，但结果不尽如人意，所测数据并非所需数据，也就是说测量有些盲目。第二次，学生实地测量“暖园”，他们在第一次的基础上更有针对性地测量所需数据，以及遇到问题时会主动协商解决，所测数据精准性大大提高。第三次，实地测量教室面积，让“暖园”面积可视化（300多平方米相当于多少个教室）。学生为了将“暖园”面积更直观、简洁地交给沈老师，他们自学比例尺及绘制平面图知识。这充实而忙碌的一周，让学生有了一次独特的学习经历和体验，对原来抽象的、不可视的面积大小有了丰富而深刻的体验，发展了量感，培养了综合能力。

（三）联设多维评价跟进——反思性。

与传统的学习方式不同，长课时的综合与实践活动中每个活动本身就是一个表现性任务。根据表现性任务的完成情况，再利用评价量表对学生个体和小组及整个班级作出评估，了解学生的思维过程、综合能力和团队协作等情况，为后续学习改进提供依据。活动评价也不再是用一个分数去评价，兼顾过程和结果、个人和团队、自评与他评，评价是个性和多元的。这让每个学生站在相同的起点，为常态课堂中暂时落后的学生提供了新舞台。每个学生自主提问，自己和同伴一起去解决，中途遇到问题时也没有一个学生放弃，而是主动想办法解决。

面对测量数据，他们开始理性思考，带着批判性的眼光来反思测量的过程，并提出问题或创新性的建议。在与伙伴交流分享的过程中，一方面，倾听质疑，主动修正，更好地达成共识；另一方面，重新认识自我或评价伙伴，促进对自我或伙伴问题解决过程的反思，使学生综合能力得到发展。

素养的养成是具有情境性的，只有在特定的环境下才能得到展现；素养也是具有综合性的，是在解决综合性问题的过程中得以培养的。

（作者单位：浙江杭州市滨和小学，杭州市钱学森学校、时代小学）