经历建构模型过程 促进核心素养形成

“速度 时间 路程”是小学数学中一个重要的内容，也是传统的内容——早期称作“行程问题”的典型应用题，2011年版课标将其作为两个常见的数量关系之一，2022年版课标进一步将其作为“数量关系”主题中乘法模型之一。虽然具体的内容都是与速度、时间、路程这三个量有关的问题，但是，从典型应用题，到常见的数量关系，再到乘法模型，对其本质特征的理解发生了变化。从一般意义的分析问题和解决问题，到从数量关系角度分析和解决问题，再到作为数量关系模型，不只是表述上的变化，更重要的是观念和价值的提升。将“路程=速度×时间”作为数量关系模型，就不仅仅是简单地通过理解和运用三个量之间的关系解决问题，更重要的是要突显建立模型和运用模型解决问题的过程。建立模型是数量关系的抽象，是将现实情境中具体的数量关系一般化的过程。运用模型解决问题是将模型及其变式应用于解决一类问题。在建立和应用模型的过程中，促进学生的抽象概括能力、模型意识和应用意识等核心素养的形成和发展。吴正宪老师这节课正是基于2022年版课标理念，对“速度、时间、路程”这个传统问题所进行的教学设计与实施。

一、从现实的情境中感受“速度”

怎样引导学生建立“路程=速度×时间”这一乘法模型，是2022年版课标理念下对现有内容进行调整改进的重要话题。吴老师抓住速度这一关键概念，从学生熟悉的生活情境出发，以引导学生理解“什么是速度”作为突破口，展开本节课的教学活动。在学生常见的具体情境中，提出“谁走得快”这样一个直观的问题，学生在对具体问题的感受中进入对速度的理解。

师：明明、小光、亮亮都从家走向学校。有人用6分钟，有人用8分钟，谁走得快？

生：（齐）小光。

师：为什么呢？

生1：因为小光只走了6分钟，走的时间比8分钟少。

师：大家都同意这位同学的意见吗？有不同的声音吗？

生2：我觉得小光家离学校比较近，所以用的时间短。

师：你是怎么知道的？还有没有不同的声音？你一定有想法，你想说什么？

生3：这三位同学的家离学校的距离不一定相同。

师：我很欣赏你的“不一定”，这个“不一定”是什么意思？

上述片段从具体的情境引出怎样判断“谁走得快”，表面上看，快就是用的时间少，直觉是这样，多数学生刚开始也是这样想的。但进一步思考，一个学生的“不一定”引起了大家对判断快慢理由的直观感知的质疑，快慢不只是由时间决定的，还有另外一个因素也与快慢有关。一个“还有没有不同的声音”的问题，引起学生思考另外一个因素，就是路程的远近。

速度是受时间和路程两个要素制约的具有相对性的概念，要理解这个概念，对于小学生来说也是一个难点。2022年版课标提出：“乘法模型可大体分为与个数有关（总价=单价×数量）和与物理量有关（路程=速度×时间）的两种形式，感悟模型中量纲的意义。应设计合适的问题情境，引导学生分析和表达情境中的数量关系，启发学生会用数学的语言表达现实世界，形成初步的模型意识，提升问题解决能力。”教学中用一个看似简单的“谁走得快”的问题情境，从一个看起来明确的答案“谁用的时间少谁就快”，引出不同的声音，提出质疑和讨论，进而引出对速度内涵的理解，感受速度受时间和路程两个因素影响。简单的生活情境中蕴含着乘法模型的基本要素，速度是一个复合量，是一个物理量，是路程和时间的比，而路程和时间都有各自的单位。理解速度既是理解“路程=速度×时间”这一乘法模型的基础，也是建构这一模型的关键。

二、从深度探究中理解“速度”

为什么只用时间不一定能判断谁走得快？接下来讨论的另外一个要素，就是要看路程，路程的长短与判断走得快慢有关。接下来探索怎样用时间和路程这两个要素来判断谁走得快。运用一组包含时间和路程的数据，请学生提出自己的想法。当学生分别计算出三位同学各自的路程除以时间得出90米/分、80米/分、60米/分后，展开对什么是速度的深度理解，建立衡量快慢的尺子的讨论。

师：刚才你们认为小光最快，现在小光变成第二名了。我的问题就来了，你们现在比的是什么？不急，好好想一想如何把这件事说清楚。

生1：我们现在比的是每个人1分钟走的路程。小光用的时间最短，可是他走的路程也短。

生2：都比较1分钟走的路程比较公平。

师：这个感觉真好。你虽然走得很慢很慢，但你走了3分钟；我走得快，可是我就走了1分钟，用我1分钟走的路程跟你3分钟走的路程比较，公平吗？

生：不公平，应该都用1分钟走的路程去比。

师：怎么求1分钟走多远呢？

生：用路程除以时间。

只用时间不能比快慢，增加一个要素路程，怎样比快慢？吴老师又将问题抛给了学生：“你们现在比的是什么？”学生说明道理时进一步强调知道每分钟走了多远才能比较，并且特别强调这样做是公平的。建立一个统一的标准才能保证公平，用一把尺子来衡量才能保证公平。可以把1分钟走多远看作一把尺子，给这个尺子起个名字叫速度。

师：这样我们就找到了一把公平的标尺，这把标尺就是每个人1分钟、1小时走的路程，这样比才有比较的价值。每分钟走多远就是比较快慢最公平的尺子，当然这把尺子有名字，它叫什么名字？它重要吗？

生1：速度。

生2：我认为速度很重要，比快慢，比的就是速度。

生3：比快慢不能只看时间，也不能只看路程，而是要用路程除以时间得到速度。

从直观感受，引起不同观念的冲突，到得出一把可以衡量快慢的尺子，再将这把尺子命名为“速度”，就是速度概念形成的过程。速度这个概念是认识乘法模型“路程=速度×时间”的关键，关键的概念不是老师告诉学生的，而是在具体的探索问题解决方法的过程中学生自觉形成的。

三、在解决问题中建构模型

模型是从现实世界真实问题中的数量关系中抽象出来的，模型的建构与解决问题密切相关。理解真实情境中的数量关系，将其用数学的语言描述出来是数学化的过程，建构模型就是用概括性的数学语言表达一类数量关系的共同特征。在理解了速度是什么的基础上，吴老师引导学生带着自己关于速度的经验，通过真实的问题建构“路程=速度×时间”模型。

1.李叔叔早晨锻炼每小时走4千米，3小时共走多少千米？

学生列式：4×3=12（千米）。

2.爸爸开车去密云，如果按照80千米/时的速度行驶，早上8时出发，11时到达，求全路程。

学生列式：11-8=3（小时），80×3=240（千米）。

3.看图说数学故事。（学生说出写字的故事、爸爸上班的故事等）

引导学生在李叔叔锻炼身体的故事、爸爸去密云的故事、写字的故事、爸爸上班的故事等这些不一样的故事中寻找共同的“故事”。学生领悟到“我们讲的都是‘速度×时间=路程’的故事”，并进一步演变出“速度×时间=路程”的三个变式。建立乘法模型是本节课的重点，在学生理解速度概念的基础上，通过三个实例体验速度、路程和时间之间的关系，进而建立乘法模型“路程=速度×时间”及其变式。

四、在“路程=速度×时间”模型建构中形成核心素养

指向核心素养的教学活动体现在每一个教学环节之中。从速度的感知、速度的理解，到模型的建构，学生逐渐从生活的经验，到物理量的描述，再到三个量之间关系模型的建构，经历了一个体验、感知、拓展、理解和概括的过程。模型的建构不是一步到位的，不是简单告知形成的，而是一个从现实情境到语言表述，再到拓展应用，最后逐步建立起路程、速度、时间之间的关系，建立乘法模型的过程。从课堂教学的进程中可以了解到，学生对速度认知的发展，刚开始用时间的长短判断速度，再用路程和时间的比判断速度，然后依托具体情境中路程与时间，以及速度之间的关系（爸爸每小时行60千米，去上班用5个小时）感受真实情境中的速度，最后建立乘法模型。在这个过程中，学生从对真实情境中数量关系的感知，到理解用速度描述快慢，再到乘法模型的建构，是一个渐近的感知、体验和抽象的过程。学生在这样的学习过程中逐步形成模型意识、应用意识等核心素养。教学中用一大半的时间用于对速度的感知与理解，正是凸显模型建构过程，体会模型意识的形成过程。

数量关系模型的教学包括模型的建构和模型的应用，建构模型是从具体到抽象，应用模型是将模型及其变式用于解决具体问题。扎实地建构“路程=速度×时间”这一乘法模型，为后续教学中进一步运用模型解决问题打下坚实的基础。

（作者单位：东北师范大学）