表示数量关系

在2022年版课标的视野下，拷问“倍”的学习，不由得要思考下列问题。

一是“倍”的概念的根在哪里。倍表达的是数量间的关系。一方面，表示数量间关系离不开数（数是对数量及数量关系的抽象），如教学分数时，我们会强调分数既可以表示具体数量，也可以表示数量间的关系，但在自然数的认识中，我们并没有有意识地去强化这种双重性。对于“倍”，可以回到数本身的再认识中去，引导学生从一个个数数，上升到一份份去数数，即从1到“1”，引出倍的意义。另一方面，数量间基本的关系是相等（一样多），以往是1（一个个）层面上的一样多，现在需要在“1”（一份份）的层面上认识一样多。倍是份数层面上两个数量一样多关系的发展，表征了两个数量间几个一样多的关系。

二是表征数量关系的根在哪里。整个小学阶段，主要学习两个数量关系的模型，即加法关系的模型和乘法关系的模型。由此可以窥见，数量间产生关系，依据运算的意义。为此，“倍”的认识放在整体视角看，就是在已有的用加、减运算表征数量间关系的基础上，进一步用乘、除运算来表征数量间的关系，教学中可以把运算方法和数量关系的表达勾连起来。

三是本内容的核心素养培养点在哪里。核心素养的培育，在数学学科中集中地表现为“三会”。认识“倍”，重点在于发展学生的数学眼光，引导学生意识到观察周围事物时，可以“一个个”地去数与比较，还可以“一份份”地去数与比较，有时候还需要将“一个个”和“一份份”结合起来去分析与思考。教学中，有意识地往“数学地观察和分析周围事物”去努力，着眼于丰富学生这方面的经验。

基于以上思考，有了下面的课堂实践。

一、从1到“1”，认识1份

师：看大屏幕，今天要学什么？一起读课题。

生：（齐）表示数量关系。

师：要表示数量关系，首先要从观察开始。

（课件出示6只袜子）

师：请一边数一边把单位带上。

生：有3双袜子。

生：有6只袜子。

师：两个同学一下子把可以数的方法都说出来了。不过有点奇怪，同样多的袜子，怎么数的结果不一样呢？

生：一只一只地数，就数出了6只；一双一双地数，就数到了3双。

师：是的，我们不仅可以一只一只地数，还可以把2只袜子看作1双（课件演示：2只袜子移在一起），一双一双地数（课件出示1双），得到3双（课件出示3双）。

师：刚才的数数我们都是从1开始数的，这个1可以有不同的意思，可以表示1只，还可以表示1双。

师：这样的经验在生活中应该有很多，如数酸奶，可以一瓶一瓶地数，还可以一组一组地数（课件出示1瓶酸奶和1组酸奶）；再如数鸡蛋，可以一个一个地数，还可以一盒一盒地数（课件出示1个鸡蛋和1盒鸡蛋）。

师：在数学中，我们把1只、1瓶、1个统一起来，可以叫作“1个”，我们把1双、1组、1盒也给一个统一的说法，可以叫作“1份”。

师：仔细观察（如图1），1个就是1个，但“1份”呢？你发现了什么？

生：2个及2个以上的都可以称作1份。

师：你的想法后面会有新的变化，现在这么想也没问题。也就是说1份可以是2个，还可以是几个？

生：（齐）6个、7个。

师：1份的具体个数是可以变的。（板书“变”）

二、一份份地数数和比较，认识1倍

（课件出示2组酸奶，图略）

师：现在我们应该有两双眼睛了，一双眼睛是“一个个”数（板书“一个个”），是多少？

生：一个个数是8瓶。

师：还有一双眼睛，可以“一份份”数（板书“一份份”），是几份？

生：2份。

师：认真思考一下，2份实际上是几个几？

生：（齐）应该是2个4，一共有8瓶。

师：（课件出示两盒鸡蛋，图略）如果数2份鸡蛋呢？

生：应该是2个6，一共有12个鸡蛋。

师：都是数了2份，为什么最后数量不一样呢？

生1：因为每份装的东西不一样多。

生2：每份的数量不一样多，最后总数量也不一样。

师：就是刚才我们说的：1份的数量是变的。

师：想一想，两种东西的数量间有什么关系呢？（课件出示：2瓶酸奶和2个鸡蛋）一个个比，什么结果？

生1：它们两个的数量是一样的。

师：是的，2瓶酸奶和2个鸡蛋是一样多的。（课件出示“一样多”）

师：还有“一份份”比，1份鸡蛋和1份酸奶比比看，它们一样多吗？（课件出示：1份酸奶和1份鸡蛋，如图2）

生：1份是4个，1份是6个，不一样多。

师：如果要一样多，需要把6个鸡蛋换成几个鸡蛋？

生：换成4个鸡蛋。

（课件出示：把1盒6个鸡蛋换成1盒4个鸡蛋）

师：（课件出示：水彩笔）如果1桶水彩笔有12色，就是12支，练习本和水彩笔的数量一样多，练习本需要几本？

生：需要有12本。

（教师引导学生看课件，并梳理2瓶酸奶和2个鸡蛋的数量同样多，都是2个；1份酸奶和1份鸡蛋的数量同样多，都是4个；1桶水彩笔和1沓练习本的数量同样多，都是12个）

师：数量之间进行比较，一种情况是一样多，一样多的时候无论是一个个比还是一份份比，我们有一种新的说法，它们之间是1倍关系。（板书“1倍”）

师：一样多，我们就说本子数量是水彩笔的1倍，一起说一说。

（学生尝试着描述）

生：本子数量是水彩笔的1倍。

生：鸡蛋数量是酸奶的1倍。

师：鸡蛋数量是酸奶的1倍（课件右边图：1份4瓶酸奶、1份4个鸡蛋），说明鸡蛋和酸奶是一样多的。

师：想一想，这里的鸡蛋数量也是酸奶的1倍（课件左边图：2瓶酸奶、2个鸡蛋），这两个1倍有什么不一样？

生：一边是一个个数的，另一边是一份份比出来的，而且右边的是4个鸡蛋，左边的是2个鸡蛋。

师：她把它们的不同说得很清楚，一是比较的方法不同，二是1倍的具体数量是不同的，但都是一样多。

师：我们把1倍说清楚了，1倍可以都是2个、4个、12个，还可以是多少？

生：可以是20个、30个、50个……

生：可以是任意数量，但需要的是一样多。

三、由此及彼，深度认识2倍

师：又有新情况了。刚才说一样多就是1倍，如果鸡蛋多买了1份，那么鸡蛋的数量是酸奶的几倍（如图3）？

生：鸡蛋数量是酸奶的2倍。

师：怎么是2倍了？说说你的想法。

生：刚刚是1倍，也就是4个，多买了1份，就是2倍。

生：酸奶有4瓶，鸡蛋有2个4，是8个，8里面有2个4，所以就是酸奶的2倍。

师：说得很清楚！这4个鸡蛋和酸奶一比，一样多，还有4个鸡蛋和酸奶再比，又一样多，2个一样多就是2倍。

（课件出示：2个一样多，就是2倍）

师：前面我们说“一样多，就是1倍”，再说清楚一点，可以怎么说？

生：1个一样多，就是1倍。

师：现在我们把两句话放在一起读一读。

（课件出示：1个一样多，就是1倍；2个一样多，就是2倍。学生齐读）

师：圆片的个数是三角形个数的2倍吗？

（课件出示图4）

师：判断一下，这是2倍吗？说说自己的想法。

生：是2倍。因为圆片一共有6个，三角形有3个，圆片减去三角形就是1倍，再加上减去的圆片的话就是2倍了。

生：如果先拿第一份和上面三角形比是一样多，再拿一份和三角形比，也是一样多，有2个一样多是2倍。

师：很清楚，2个一样多，所以是2倍。我们再来说一说。

生：（齐）2个一样多就是2倍。

师：（课件出示图5）圆的个数是三角形的2倍吗？

生：不是2倍。因为第一份圆和上面三角形比同样是6个，是1倍；第二份是5个圆，和上面比不是一样多，所以不是2倍。

师：（课件出示图6）现在可以用2倍描述吗？

生：可以。因为第一个圆和三角形都是1个图形，一样多；再拿第二个圆和三角形比，也是一样多，2个一样多就是2倍。

师：之前有同学说，2个及2个以上叫1份，现在呢？

生：我发现1个也可以看作1份。

师：（课件出示：20个▲，40个●）现在直接写数给你了，是2倍吗？为什么呢？

生1：我认为是2倍，▲是20个，●是40个，40个减掉20个，正好20个，和三角的个数一样，所以是2倍。

生2：40-20-20=0，40是2个20，1个20是1倍，2个20是2倍。

四、多维迁移，拓展认识

师：1个一样多是1倍，2个一样多是2倍，如果两样东西之间是3个一样多，是几倍呢？

生：应该是3倍。

师：如果它们是5倍关系，应该是几个一样多？

生：5个一样多。

师生一起描述：原来几个一样多就是——几倍，几倍就是——几个一样多。

师：请大家读一读，想一想，圆片有几个？

生：三角形有4个，圆片是三角形个数的6倍，1倍就是有4个，所以4乘6等于24个。

生：因为1倍就是1个4，2倍就是2个4，6倍就是6个4，所以圆片个数是6×4=24。

五、勾连数量关系的表达，勾连倍和运算的联系

师：（课件出示图7）想一想，正方形和五角星的数量间有什么关系？

（学生独立练习，教师巡视，组织全班交流）

师：数学课上分享和思考同样重要，下面我们一起来分享。

师：下面的图你能看懂吗（如图8）？说说你的想法。

生：正方形的个数是三角形的4倍。

师：原来不一样多的时候可以用几倍来表示它们之间的关系。

师：这是谁的作品（如图9）？来给大家讲讲你的想法。

生：我喜欢用份做单位，五角星有3个，正方形有12个，我在图上圈了一圈，我发现正方形比五角星多3份。（在图上指出多的3份）

师：是的，五角星是1份，正方形是4份，所以是多3份。多3份就是多3倍。原来把几倍搞清楚了，还可以进一步思考多几倍和少几倍。

师：还有别的想法吗？

生：我是一个个比的，五角星有3个，正方形有12个，正方形数量比五角星多9个。

师：原来一个一个去比，不一样多的时候，可以说它们之间多几个或少几个。

师：如果不画图，用一种方法算，你能不能列式算一算正方形个数是三角形的几倍？

生1：可以用除法计算，12÷3=4，是4倍。

师：为什么用除法？

生2：圈的每份正方形的数量是同样多的，这样就是平均分，平均分就要用除法。

生3：几倍就是要知道12里有几个3。

师：求几倍怎么就想成了求几个3呢？说说你的想法。

生3：三角形是1倍，三角形有3个，它问有几倍，就是有几个3。

师：因为1个3就是1倍，2个3就是2倍，有几个3就是几倍。学会思考很重要，学会表达同样很重要。一起把这句话读一读：1个3就是1倍，12里面有几个3就是几倍。

（课件出示12÷3=4）

师：还有一点要提醒大家，在用除法计算时要注意，“倍”不是单位名称，表示的是数量之间的关系，不用在算式后面写单位名称“倍”。

（学生点头表示同意）

师：今天我们有了两双眼睛，一双眼睛是一个个地比，还有一双眼睛就是一份份地比，当数量之间是一样多的时候，叫1倍，数量之间有的时候不一样多，就可以说成多几个少几个，或者说成是几倍，多几倍少几倍（如图10）。

师：（课件出示图11）还有这样一种情况，这种时候怎么表示它们之间的关系？

生：可以说1倍还多3。

生：还可以说2倍少1个。

师：原来我们比较两个量之间的关系，有时候不仅要一份份地比，还得同时一个个地比。关于数量关系的表达，今天我们有了新的“眼睛”。关于倍的知识，我们以后再进一步学习。

（作者单位：江苏苏州市姑苏区教师发展中心）