大观念引领运算，一致性沟通理法

一、课前思考

（一）课标指导，大观念统整。

2022年版课标在课程理念部分提出“设计体现结构化特征的课程内容”，在课程目标部分要求第三学段“探索数运算的一致性”，在课程内容部分谈及“数的运算重点在理解算理、掌握算法”。可见，大观念统整要求我们：运算教学，应该有更高的一致性要求，一致性是通过计数单位实现的。为了提高教学的整体性和连贯性，促进学生对小数乘法意义的构建，我们在计数单位这个大观念下努力沟通小数乘法的算理和算法，前后关联，发现运算的一致性，同时通过运算促进学生推理能力的发展。

（二）前后关联，结构化学习。

运算教学在小学数学中是贯穿始终的。在小学阶段，数的运算包括整数、小数和分数的四则运算。在学习“小数乘整数”之前，学生是有一定的乘法运算经验的，教师只需在计数单位这个大观念下做学生的经验激活者与活动整合者，帮助学生先理解算理，再学会算法。

二、教学片段分析

（一）多角度分析，回归计数单位观念，明算理。

师：0.3×4等于多少？

生1：0.3+0.3+0.3+0.3=1.2。

师：你把小数乘法和整数乘法联系了起来。老师这里还有几份作品（如图1），你为哪份作品点赞？或者说，你针对哪份作品提问题？这些方法形式不同，但有没有相同的地方？

生2：“元角分”的方法很好，进率和整数、小数一样，可以很好地解决问题。

生3：3个0.1乘4，就是12个0.1，就是1.2。

生4：利用图形，将乘法转换成加法，一目了然。

师：画图是我们解决计算问题时常用的方法。

生5：两类图其实差不多，都用图解释了4个0.3其实就是12个0.1，也就是1.2，意义一样。

生6：我发现乘数的计数单位和积的计数单位一样！

师：你们不仅得到了结果，还发现了乘数和积的计数单位一致。

生7：我发现都可以用乘法口诀三四十二解决。

师：大家能否找到其中的三四十二？

……

师：无论哪种方法，最后都可以转化成整数的计算，都在利用三四十二这句乘法口诀，都在计算有多少个计数单位。

算理是运算的逻辑起点和依据。课堂上，教师在与学生交流预学单中学生所编题目后，选择0.3×4这道题，让学生尝试利用已有经验写、画、算，旨在暴露学生的真实想法，引导学生明白算理。学生以已有经验为支撑，对新知进行转化。教师引导学生分析每份作品，发现它们的相同点，建立通过计算计数单位个数来解决小数乘整数问题的观念。这个过程中，学生从直观走向抽象，从计量单位的转换走向计数单位的转换，夯实了之前建立的计数单位的观念，建构了一个“工具包”，即借助运算的意义、计量单位转换、计数单位的计算来研究小数乘法运算。

（二）两种方法对比，感悟对齐方式一致，通算法。

师：对于助学单中的2.35×3这道题，两位同学的结果相同，竖式不同（如图2），同学们评价一下吧。

生1：一个按数位对齐，一个末尾对齐。

生2：末尾对齐类似于235×3。

师：学习其他运算时有没有不按数位对齐的时候？

生3：有。如图3，以百为计数单位，4不必和个位对齐，这样算更方便。同样，2.35以0.01为计数单位，算的也只是235×3，所以可以末尾对齐。

师：谁能概括小数乘整数怎样计算？

生4：先看作整数乘法计算，再点小数点。

师：看来小数乘整数和整数乘法算理相通，算法可转化。

算法是运算的操作步骤和程序。教师利用学生的不同方法展开教学，努力做到“学生已经会的，教师不讲；学生不会的，教师引导学生思考”，让全体学生积极参与到交流中，通过“横式讲理，竖式讲法”发现整数、小数乘法在算理与算法上的一致性，最终解决问题。此环节引导学生体会整数乘法与小数乘法运算道理的一致性，形成结构化的认知，感悟乘法运算的本质就是在计算有多少个计数单位。

（三）做变式推理，关联运算意义，建结构。

做完练习题0.36×18之后，再算0.18×36和0.036×18，学生脱口而出答案，教师追问原因，学生回答“都是先算36×18，再算0.18×36和0.036×18”，教师引领学生总结出“计算计算，先计后算”。然后教师出示问题：（ ）×（ ）=64.8。学生思维活跃，利用算理和运算法则，找到了不同答案之间的本质联系——计数单位，同时为后续学习小数点移动的知识做了铺垫。整节课的练习设计，引导学生从计算方法、知识运用、自我演练三个角度对小数乘法的学习内容和存在的问题进行整理，在整理和反思的过程中回顾乘法的学习内容，初步感受前后单元知识之间的内在联系。

课堂最后，教师总结：“数换了个模样，根还连在一起，若以后再学分数与整数相乘，又会怎样？”引发学生无限遐想。

上述教学中，教师不仅帮助学生巩固了整数乘法的简便计算方法，还进一步引导学生了解、感悟乘法运算的通理、通法，帮助学生对整数、小数乘法的认识更全面，甚至因为这样的结构化教学引发了对分数乘法的预学。在计数单位这个大观念的引领下，通过算理相通、算法转化，对零散的、碎片化的数学知识进行系统化、结构化的再加工，使得学生的数学思维能力不断提升，让数学学习从被动接受经验走向主动关联知识，从知识掌握走向能力提升。

三、课后思考

运算具有一致性，运算就是利用计数单位对数进行重新分解与组合。不论哪个阶段的教学，都该具有强大的内生力、再发力、生长力，前后教学都有结构化关联。为了引发学生深度学习、知识结构化，我们在“小数乘整数”这节课中展示出不同阶段的乘法运算都是在计算几个“几”，后面这个“几”就是计数单位。不论是整数、小数乘法，还是之后要学的分数乘法，算理与算法是相通的。综上所述，数的运算是一致的，加法和乘法可看成计数单位的累加，减法和除法可看成计数单位的递减。数的意义也和数的运算分不开，数的意义是数的运算的基础，反过来，数的运算是对数的意义的再解读。

（作者单位：陈静，山西太原市迎泽区教研科研中心；温彤彤、朱楠，迎泽区桃园小学）