数学化视角下的“圆柱与圆锥”单元整体教学设计

2022年版课标对教学提出了新要求和新挑战，需要我们建立以数学核心素养为指向的新型教学。如何真正实现从知识本位转向素养本位？需要教师探寻把知识转化为素养的机制和路径，按照数学特有的思维方式做事情、想问题、长知识，从而使教学过程真正成为学生核心素养发展的沃土。学生养成数学核心素养的关键在于学会数学化，是“数学化”活动之后所积淀和升华的产物。而数学教育正是通过教会学生数学化来实现学科育人价值的。

图形的认识主要是对图形的抽象，描述其形状特征；图形的测量重点是确定图形的大小。图形的认识与图形的测量有密切联系，图形的认识是测量的基础，测量是从度量的角度加深对图形的认识。据此，我们采用基于数学化思想的学习路径研究行动框架，在对“圆柱与圆锥”单元知识内在结构的分析及其所承载的数学育人价值判断的基础上，结合学情调研，明确单元目标，并从任务链、问题链、知识链三个维度进行单元整体设计研究。

一、数学化视角下的单元教学内容分析与价值判断

单元整体教学要建立在对教学内容的学科本质深度把握的基础上，要发展学生对知识结构化的理解、建立知识的前后联系，以及促进迁移的能力。因此，教师要用数学的眼光审视知识的结构、层次，对知识承载的价值进行深入挖掘与判断。

（一）分析知识本体。

通过对知识本体的分析，厘清知识产生、发展和生长的机制，有利于教师从整体知识体系把握教学内容，也有利于学生理解知识的来龙去脉，感受数学知识的结构化与体系化，从而实现以数学化、系统化的思维理解和表达学习内容，实现站在学科研究范式的层面理解、表征、推理和应用，并为新的研究发现的产生、新应用的迁移奠定基础。

对知识的分析可以从研究对象、视角、内容、核心问题和方法等方面分析单元知识的内在结构：1.从学习对象来看，本单元着力研究的是以圆柱和圆锥为代表的一类旋转体。2.从认识图形的视角来看，主要涉及对图形特征的定性描述和对图形大小的定量刻画。3.从研究的具体内容来看，图形的认识主要涉及构成图形的要素、要素本身的大小、数量及要素之间的关系，图形的测量主要涉及相关度量公式的推导。其中二维和三维之间的转化是该类旋转体学习的核心方法。4.这些内容指向的四个核心问题是：如何区分图形？如何得到图形？如何推导公式？如何应用公式？5.其研究方法同之前学习长方体、正方体的路径在整体上具有一致性，都经过“直观感知—操作确认—思辨论证—度量计算”的认识过程。

（二）判断育人价值。

对知识背后所蕴藏的育人价值的发掘和判断，为学科育人指明了方向。通过对知识形成过程的考察及多版本教材内容的审视，依据课程标准的素养要求，我们明确了本单元教学所承载的育人价值：1.着力研究以圆柱和圆锥为代表的一类旋转体，引导学生领悟知识背后蕴含的空间观念及数学思想方法。2.通过直观感知激活原有经验，借助操作初步验证猜想，在思辨论证中阐释道理，在度量计算中进行推理应用，经历“像数学家一样思考”的过程。3.上述过程为学生感受、理解抽象的概念提供有力的支撑，有助于学生在整个学习过程中获得独立思考的意识、拥有探索真理的勇气以及具备坚持真理的态度。

在“圆柱与圆锥”单元的设计中，力求实现自上而下的反哺与自下而上的承载，以LsFdwr4uuvtdqMVIH93SxHiT6eVbeFredpA8UTHNqbM=核心问题引领学生在探究中认识事物、积累经验，在顶层设计中培育学科素养，彰显育人价值（如图1）。

二、数学化视角下学习起点识别与学习目标确定

在知识分析与价值判断的基础上，基于数学化的单元整体设计与实践还需要进一步明确学生的学习起点。

（一）识别学习起点。

为识别学生的学习起点，参照相关的教学研究以及已有的教学经验，对学生进行了有针对性的前测，设计了如下的调研题目（如图2）：

通过分析，我们发现有近94%的学生在图形的研究中，不仅聚焦具体的知识点，而且关注了图形的要素，甚至有6.2%的学生在面临新图形时，能有一定的方法自主开展研究。但是学生头脑中还没有形成比较完整的研究立体图形的思维路径，对工具的使用及其迁移还存在一定困难。在猜测圆柱的体积计算公式，并尝试把推导的过程写出来时，近50%的学生是有直觉的，能进行简单的方法迁移；近30%的学生不仅能找到要素与图形之间的联系，而且能从体积单位累加的角度尝试进行计算公式的推导，初步具备了对图形研究工具使用的经验。

通过学情分析，我们发现学生对研究图形工具的获得还不够完备，自主迁移的意识还不强，这成为本单元整体设计的着力点。

（二）确定学习目标。

学习目标既是学习的出发点，也是学习的归宿，它是学习所要实现的预期成果，关系着学习活动的全过程，引导学习活动向预定的方向发展变化。通过对本单元的知识分析、价值判断以及学习起点的识别，本单元的学习需要引导学生在二维和三维的转化中明晰图形关系；通过猜想和验证活动，感悟度量本质；在类比和自主探索中，发展迁移能力。据此，制订了本单元的学习目标（略）。

三、数学化视角下单元整体设计与实践

识别学习起点和拟订学习目标后，设计素养导向的学习路径，需要围绕如何引导学生在做任务、想问题的过程中获得知识。我们用“如何研究立体图形”这一大问题，统领整个单元学习，结合四个核心问题，从知识链（需要获得的知识）、任务链（做数学的活动经验）、问题链（可迁移的引导性或反思性问题）这三条主线之间的内在一致性，立足图形的认识、测量和应用这三个内容模块进行单元整体设计。

（一）整体设计图形认识模块教学。

图形认识模块的教学，主要围绕“如何区分图形？如何得到图形”两个核心问题，引导学生从展开与折叠、视图与还原、切割与堆积、旋转这四个方面展开研究。从数学化的视角来看，学生主要是从具体实物中抽象出立体图形，然后在观察、操作等活动中获得对图形特征的理解，处于水平数学化阶段（如表1）。

（二）整体设计图形测量模块教学。

图形测量模块的教学是在“如何推导公式”这个核心问题的驱动下，按照“寻找起源—建立联系—类比推理—获得猜想—验证应用”的主线来推进相关公式的获得。从数学化的视角来看，学生可以类比迁移长方体体积计算公式的推导，建立确定圆柱体积大小的要素之间的定量关系，处于垂直数学化阶段（如表2）。

（三）整体设计图形应用与复习模块教学。

在图形应用部分，则是在“如何应用公式”这个核心问题的驱动下，着力于从实际问题中析出数学成分，完成具体的模型建构，让学生在不断地从现实世界走向数学世界，然后回归到现实世界的迭代过程中学会数学化（如表3）。

四、数学化视角下单元整体设计的启示

弗赖登塔尔强调“与其说学数学，倒不如说学习数学化”。要帮助学生学会数学地组织经验世界，教师在单元整体设计与实践中首要的任务是带着数学化的眼光，自身不断加深对内容知识的一般化、结构化、系统化的理解，其次要将知识的学科形态转化为教育形态，从学生的立场来构建学习路径，特别是着力处理好知识链、任务链与问题链之间的相互支撑与一致性关系。

（一）加深对数学化的理解。

在教与学的实践中，为了促进教师专业发展及学生数学素养的达成，需要继续加深对数学化思想的理解，尤其是对特定教学内容的具体化表达，由此才能更好地以同理心帮助学生掌握数学学习的方法，获得解决复杂问题的意识和能力，养成核心素养。

（二）着力于对知识链、任务链与问题链的设计。

单元整体设计需要在知识分析的基础上，借助结构化思维，帮助学生自主建构知识链，依托问题支架的搭建，设计与知识生成与发展相一致的问题链，并将其任务化，创设相匹配的任务链，使学生在做、思、得中深入地学习，在交流分享与批判质疑中完成对知识的整体构建。

（三）关注学习任务的呈现。

在教学实践中，为了让学生充分经历知识形成与发展的过程，学习任务的呈现要与学生的实际需求相匹配。尤其是在学习的关键点，要结合学生思维的特点，动态调整学习任务呈现的顺序、学习活动的难易程度以及教学实施的重点和难点，以便尽可能实现所设计的学习任务与学生的实际需求相匹配。

【本文系北京教育学院2020年重点关注课题“基于数学项目学习的课程综合化实施路径研究”（编号：ZDGZ2020-20）的研究成果】

（作者单位：北京教育学院，北京市东城区史家小学，北京市东城区教育科学研究院）