指向数学建模素养的高中数学教学设计框架及实施——以人教A版“指数函数的概念”为例

周学君,龚雨欣,董清艳

(黄冈师范学院 数学与统计学院,湖北 黄冈 438000)

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《课标(2020年修订)》)提出数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算与数据分析等六大数学学科核心素养[1],其中数学建模被提及93次,占比27%,远超其他五大核心素养,可见其地位十分重要。 数学建模能够有效培养学生的创新意识和创造精神,并且能够提高学生的综合应用素质。 然而,教学实践中数学建模素养的培养效果并不尽如人意,研究发现,当前对我国高中生的六大数学核心素养水平进行测试,数学建模素养的平均得分最低[2]。与《课标(2020年修订)》的要求相比,数学建模素养培养的现状差强人意,这就迫切需要教师通过多种途径有效提高高中生数学建模素养。

近几年,很多数学教育工作者都对高中生数学建模素养的培养十分关注,如通过举办数学建模竞赛、开展数学建模专题讲座、数学建模活动课等方式来提高学生的数学建模素养[3]。 数学建模竞赛是应用数学模型来解决各种实际问题的过程,该过程能够促进学生数学建模能力的提高。 数学建模讲座通过讲解建模的基本概念、方法、意义和应用,提高学生数学建模素养和综合能力。然而在实践中,数学建模竞赛和数学建模专题讲座受客观条件限制难以广泛开展。史宁中教授[4]认为,培养学生建模素养的关键是学生参与到模型建立的全过程,提高学生的体验感。因此,在高中通过数学建模活动课对学生进行数学建模素养培养具有十分重要的意义。 在数学建模活动课中,教师利用教学设计框架将数学建模基本流程融入教学设计,让学生在课堂教学中经历建模的全过程,这样学生才能深入理解数学建模,从而不断提高自身的数学建模素养。

如何培养学生的数学建模素养是高中数学教学研究的热点问题之一。然而,在与数学建模素养有关的研究中,人们主要关注的是数学建模素养的内涵[5-6]、教育价值[7-8]以及数学建模在现实生活中的运用[9-10],而对实践教学中如何培养学生数学建模素养的研究却相对较少。 叶其孝[11]认为要想提高学生的数学建模素养,最好的方法就是把数学建模活动融合到课堂中去。在教学过程中,要采取各种教学形式,把数学建模融入到课堂中去,这样才能提高学生的数学建模素养[12]。董天琪和关劲秋[13]认为,教师应该以数学建模思想的教学为出发点,在设计有关的教学内容时,充分考虑实际的教学情况,并与现实生活相结合,以此为依据,有意识地对学生进行建模思维的训练,这样就可以在学生的学习过程中,逐步形成数学建模素养。 李明振、喻平[14]指出,高中数学所包含知识的各单元中,都有培养数学建模知识的切入点,但是,教师在进行课程设计时,却因为缺乏对数学建模的自身价值和具体内涵的认识,导致了课程设计上的不足,进而难以发展学生的数学建模素养。以上研究表明将数学建模活动与课堂教学相融合对提高学生数学建模素养非常重要,但是缺乏有效的教学设计支撑。

因此,本文以提升学生数学建模素养为目标,构建数学建模活动课教学设计框架,并将其应用于人教A版中“指数函数的概念”教学设计。以此搭建一个适合数学建模素养培养的教学设计框架,为完善数学建模素养的实践教学研究具有积极作用。

1 数学建模活动课的教学设计框架

1.1 课标要求及设计原则

《课标(2020年修订)》指出,数学建模活动是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程[1],并安排必修课程6课时,选修课程4课时,充分体现了对数学建模活动的重视,其目的是为了培养学生的数学建模素养,提升数学应用能力。但是与其他单元相比,课时仍然较少并且内容较复杂,因此,不仅要有完整的数学建模活动,还应将函数、三角函数、向量、数列、解析几何等单元的知识作为载体,将数学建模过程融入这些单元教学,在整个高中教学中贯穿对学生数学建模素养的培养。

数学建模活动强调的是“过程”,而非一般的“知识训练”,所以,在进行数学建模活动的教学时,至少要遵守以下两条原则:

(1)密切联系原则:在问题情境中,学生完成了由真实世界到数字世界、符号世界的“数学化”,并在获取基本知识、基本观念、基本实践经验的同时学会“用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界”[1]。

(2)问题驱动原则:教师给学生提供真实情境问题,通过“做数学”,使学生认识数学,获得数学思维,学会思考,从而应用所学知识解决具体问题,对所学知识的巩固可以有效地提高学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力。

1.2 教学设计框架

《课标(2020年修订)》指出,数学建模的主要表现为:发现和提出问题,建立和求解模型,检验和完善模型,分析和解决问题[1]。以下将数学建模素养的这四个表现作为教学设计框架,具体阐述了数学建模的基本流程(图1)。

图1 数学建模的基本流程

1.2.1发现和提出问题

数学建模的一个重要前提是发现和提出问题。PISA2021将数学建模过程分为三个阶段。一是表达,抽象出真实情境中的问题,将问题用数学语言表达出来,并以参数和条件为依据构建数学模型。 二是应用,根据数学模型的有关理论和方法,运算方法、逻辑推理等,求解所构建的数学模型。三是阐述与评估,将所得到的结果带回现实情境中进行验证,并对其进行阐述[15]。这三个阶段相互连接,前一个阶段是后一个阶段的基础,后一个阶段是前一个阶段的发展。发现和提出问题会经历以上第一个阶段,识别出直观背景、真实情境中的问题,并将这些抽象出来的问题用数学语言表达出来,从而培养学生的问题意识和创造力。

1.2.2建立和求解模型

数学建模的一个关键过程是建立和求解模型。 建立和求解模型会经历上述第一个和第二个阶段,根据抽象出问题的有关条件,建立数学模型,用相关的数学知识与方法求解模型。喻平教授[16]指出数学建模在知识迁移水平的要求是能够在情境中建立数学模型。建立和求解模型不仅是用数学语言对实际问题的抽象表达,而且还要能够实现知识迁移,从特殊到一般来解决问题。因此,建立和求解模型既要注重求解模型的结果,还应注重建立模型的过程。运用数学思想,训练学生的逻辑性。

1.2.3检验和完善模型

数学建模的一个重要反思是检验和完善模型。检验和完善模型会经历上述第三个阶段,通过求解数学模型得到数学结果,解释现实结果,检验该结果是否符合实际,若不符合实际,则需建立一个新的模型;如符合实际只是误差较大,则只需结合实际,对模型进行修正。运用数学语言对模型进行表述,并对学生的数学运算与数据处理能力进行培养,使其养成严谨、务实、理性的思考方式。

1.2.4分析和解决问题

分析和解决问题会经历上述第三个阶段,将数学和现实联系起来,用数学模型解决实际问题。在应用数学建模解决问题时,还需要对实际情况进行分析,这一点很重要,从而才能对所建立的数学模型进行进一步的发展和完善,使得对实际问题的解决更加合理。

从“理解问题”到“简化问题”为表达阶段,对现实问题的数学抽象,得到真实模型;从“建立模型”到“计算求解”为应用阶段,完成数学模型的建立,得到数学结果;从“解释结果”到“得出结论”为阐述与评估阶段,将修改完善的模型运用到现实情境,解决现实问题,这样就形成了数学模型与现实之间的相互循环(图2)。

图2 数学建模过程具体步骤

2 数学建模活动课教学设计案例

“指数函数的概念”选自于人教A版高中数学教科书必修一第四章第二节“指数函数”的第一课时,依据教学设计框架进行教学设计,具体阐述在指数函数的概念的教学过程中如何培养学生的数学建模素养。

2.1 新课引入——发现和提出问题

[教师]随着中国经济的高速发展,人们获得了更好的生活品质,许多家庭会选择旅行度过假期,导致游客数量激增,通过对两个景区旅游人次变化的对比(表1),大家发现了什么变化规律?能否用数学的方式描述出来?

表1 2001-2015年参观A、B景区的人次和年增加量

[学生]相互讨论,动手操作,初步感知。通过描点法作散点图,再用光滑的曲线将离散的点连起来(图3)。A区的游客人次大致为一条上升的直线,呈线性递增;B区的游客人次呈现出一条上升曲线,是一种非线性的增长趋势,但仅从年增长量来看,难以发现其规律。

图3 A、B区旅客人次与时间的关系

[设计意图]以实际情境为背景引入本节课,是为了达到数学建模过程中最初的“理解问题”和“简化问题”两个步骤。第一步“理解问题”:通过生活中的实例,让学生在实际生活中抽象出数学问题,并且理解问题,获得情境模型,初步感知实际问题中所蕴含的数学问题。第二步“简化问题”:根据表格中的数据,通过描点法作图,有助于让学生在大量的数据中分析、归纳旅游人次的变化规律,把复杂的实际问题简单化,从而得到现实模型。

2.2 概念生成——建立和求解模型

2.2.1假设模型

[教师]那么应该通过什么量才得出B区旅客人次变化的规律呢?

[师生活动]教师引导学生抽象出A区游客人次与时间的函数表达式,容易得到A区游客人次与年数(2001年为第一年)满足函数关系。

y=10x+590,x∈N+

y(n+1)-y(n)=10(等差)

[教师]那么B区的游客人次和年数之间有什么样的函数关系?

[学生]小组探究,猜想模型。学生排除了正比例、一次函数和反比例函数,想到了之前才学过的二次函数的图象与其相似。

[师生活动]引导学生分析该图像是否满足二次函数。

y=ax2+bx+c

y(n+1)-y(n)=2an+a+b

让学生自己动手画出年增加量与时间的散点图并用光滑曲线连接(图4),可以发现其不符合一次函数图象,可知B区游客人次与年数之间符合二次函数关系。

图4 B区旅客人次增加量

[设计意图]假设模型的目的在于帮助学生缩小模型范围,为数学模型的建立和求解做准备。

2.2.2建立模型

[教师]年增长量是由相邻两年的游客人数相减而得,可否对 B区的每年游客人次进行其他计算来观察其变化规律?可以发现 A区游客人次的增加量是近似不变,那么类比A区,大家如何才能找到 B区游客人次中的不变量呢?在建立模型的过程中,大家只需用2001年到2014年的游客人次建立模型,再通过该模型预测出2015年的游客人次,模型结果与2015年实际游客人次进行比较,以此来检验所建立的模型是否可靠。

[师生活动]增加量和增长率是两个很重要的描述事物变化的量,不能用年增加量(相邻两年的游客人次做减法)找到B区游客人次变化规律,那么引导学生试着用年增长率(后一年游客人次除以前一年游客人次)建立模型,

[设计意图]通过观察图象和数据分析达到数学建模过程中的“建立模型”这一步。第三步“建立模型”:将现实模型通过观察、分析,最终将其抽象为数学模型,让学生体验循序渐进的建立模型的过程,消除学生的畏难情绪,培养学生建立模型的思维。

2.2.3求解模型

[学生]小组探究,计算求解模型。学生通过计算发现,B区游客人次增长率近似为一个常数(表2)。那么就通过增长率近似相同,找到了B区游客人才次变化的规律。教师引导学生写出B区游客人次变化规律。

表2 2001-2015年参观B景区人次增长率及与2001年人次的倍数

[设计意图]处理数据是为了数学建模过程中“计算求解”步骤,通过各种计算、数据处理,归纳总结规律,一方面提高学生的运算能力和数学思维能力,另一方面为检验和完善模型做准备。

2.3 概念深化——检验和完善模型

[教师]请学生解释如何从表2中解得 B区游客人次变化规律的模型。 并引导学生思考,该模型是否符合实际情境呢?

[学生]相互讨论,得出结果。由表2可知从2001年开始,1年后游客人次是2001年的1.111倍,2年后游客人次是2001年的1.112倍,x年后游客人次是2001年的1.11x倍,假设x年后游客人次是2001年的y倍,则y=1.11x(x∈[0,+∞))。学生根据模型画出B区游客人次的图象,同时画出B区实际游客人次的散点图进行比较(如图5)。可以发现两图误差较小,可以应用于解决实际问题。

图5 B区游客人次模型与B区游客人次对比

[师生活动]教师和学生共同用所得到的B区旅客人次变化规律模型y=1.11x(x∈[0,+∞)),预测出2015年的旅客人次为y15=y1·1.11x-1=278×1.1114≈1 198.已知2015年B区实际旅客人次为1 244,模型结果与实际人次的相对误差为3.7%,表明模型预测结果精度高。

[设计意图]该过程是为达到建模过程中的“解释结果”和“修改模型”两个步骤。“解释结果”:为了使学生充分理解建立和求解模型的过程,听懂不算懂,只有自己能够把过程讲出来时,才算是真正的理解。“修改模型”:模型建立之后应用之前,需要先对其进行检验是否与实际情境相符合。让学生从“形”上直观感受模型与原数据的误差程度,让学生体会数学是一个科学严谨的学科,培养学生科学严谨的学习态度。

[教师]当一个生物死亡后,其机体内原本的碳14的量会按一定的衰减率衰减,约每经过5 730年后,它机体内原本的碳14的量会衰减到原来的二分之一。假如该规律不变,体内碳14的量与死亡年数之间有何关系呢?让学生独立思考,按照上述建模过程独立完成该题。

[学生]根据上述信息建模过程

[教师总结]引导归纳概括两个函数模型的共同特征,若用字母a来替换两个数学模型的底数,那么函数可表示为y=ax,其中a>0且a≠1,x为自变量。通过体验数学建模过程得到两个实际问题的函数模型,引出指数函数的概念。

[设计意图]让学生自主完成整个建模过程,是为了巩固加深学生对数学建模基本流程的理解,从练习中培养学生数学建模思想、提高数学建模意识以及发展数学建模素养,体验作为学习主人的喜悦,从而使得指数函数概念的教学更具有启发性和挑战性。

2.4 应用探索——分析和解决问题

例题: (1)每名游客一次旅游就能给当地带来1000元的收益, A地一张门票150元, A地和 B地15年间的收益变化如何?(2)当某个生物死亡后,过了1万年,它体内碳14的量会衰减到原来的多少?

[设计意图]该过程是为达到数学建模过程中“得出结论”这一步骤,是为了使学生运用指数函数的模型解决现实问题,加深指数函数的概念的理解,从而促进学生数学建模素养的发展。

2.5 课堂小结——提升建模能力

[教师]引导学生总结数学建模基本流程、数学建模思想以及指数函数的概念,同时,让学生进行自我评价、相互评价,给予学生及时反馈,肯定他们在课堂上的表现。

[设计意图]在教师的引导下,学生再经历建模过程,促进学生将数学建模过程应用到以后的学习中。 自主总结新知识,建构知识网络,把课堂教学传授的知识尽快转化为学生的素质。

2.6 案例评价

通过本节课的教学设计能够看出,高中数学课堂中渗透数学建模素养是能够实现的,通过数学建模基本流程,加强师生的数学建模意识。数学建模过程从实际问题开始,其最终应用也回归于日常生活。教师也应从实际问题出发,不断在教学过程中强化建模思想,促进学生理解并掌握数学模型思想,同时,要重视激发学生的学习积极性,将提出问题的权利留给学生,让他们发展自己的发散思考能力,这样可以获得更好的教学结果。教师不仅在教学过程中融入数学建模思想,还应鼓励学有余力的学生在课后进行数学建模活动,不仅巩固课堂所学,还能在日常生活中循序渐进地提升学生数学建模素养。

指向数学建模素养的教学设计中,发现和提出问题、建立和求解模型、检验和完善模型、分析和解决问题的过程不能浮于表象,也不能流于形式,不然,教学设计就形同虚设,不能起到促进学生数学建模核心素养发展的作用。培育和发展学生数学建模素养不是一朝一夕能够完成的,是一个日积月累的过程,该过程需要教师长期不懈地努力,持之以恒地渗透,学生才能从量变到质变,将其内化吸收为自己的知识体系。

3 反思与启示

本文根据《课标(2020年修订)》中数学建模的四个主要表现(发现和提出问题、建立和求解模型、检验和完善模型、分析和解决问题),提出了数学建模活动课的教学设计框架,并将该其应用于“指数函数的概念”的教学设计,为高中概念教学过程中有效促进教师和学生发展数学建模素养提供参考依据。数学建模活动通常都是生动、活泼的,老师们对材料进行科学的选择,将实际的应用问题作为载体,对提高他们的数学建模素养是非常有效的。要想在数学教学活动中潜移默化地培养学生的数学建模素养,教师就必须要用心挖掘教材,对其进行反复的研究和打磨,为学生们创设问题情境、设计出有价值的问题,从而培养出有创新思维、能独立思考的新时代人才。