从数学语言到数学模型构建:初中数学思维进阶研究

董建兵

(定西市通渭县平襄镇安川学校,甘肃定西,743300)

初中是培养学生数学思维的重要阶段。在此阶段,学生需要从基础概念开始,逐渐学习计算技能,并向更高层次的数学思维发展。2022年《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《课程标准》)提出,学生要能够用数学的眼光感知现实世界,用数学思维思考世界,用数学语言表达世界。[1]随着对数学要素的学习和理解,学生的数学思维能力需要不断进阶。数学课堂是培养学生数学感知、数学思维、数学审美的主要阵地。课堂中灌输式的教学方法往往注重的是知识点等理论的学习和运算的机械训练,缺乏对学生数学思维进阶的引导和培养。通过引导学生从解决具体问题到学习抽象模型,可以培养其逻辑推理能力和问题解决能力,促进学生数学思维进阶。探究从数学语言到数学模型以培养初中生思维能力的具体途径,能够为教师提供实用的教学策略和评价方法。

一、概念

数学语言是指用来表达数学概念、关系和推理过程的符号系统,可以用来描述和表达数学概念、关系和运算的符号系统和规则,包括数学符号、术语、定义、定理等。[2]因此可以通过数学语言和符号规则进行逻辑推理。

数学模型是对现实问题或抽象概念进行形式化描述的工具,用于描述现实世界中的问题或情境。[3]数学模型由符号、变量和关系构成,可以用来分析问题、预测结果和作出决策。数学模型可以是方程组、函数关系、图形。通过对模型的分析和求解,可以预测、解释或优化现实问题。数学模型在科学研究、工程设计、经济管理等领域具有广泛的应用。

数学语言是构建数学模型的基础。运用数学符号和表达方式等数学语言,将现实问题转化为数学形式,从而建立相应的数学模型。[4]通过分析和解释数学模型,可以进一步深化学生对数学语言及其背后思维方式的理解。在初中数学教育中,培养学生从具体问题到抽象模型的转化能力对发展数学思维至关重要。这种转化过程涉及对数学语言的理解和运用以及对数学模型的构建和分析。引导学生在解决问题时灵活运用数学语言和数学模型,可以培养其逻辑思维、抽象思维和创新思维能力。

数学语言在分析和求解数学模型时有着重要作用。通过逻辑推理和数学方法,可以对数学模型进行推导、求解和优化,并得出问题的结论或决策。数学语言可以帮助学生理解数学模型的思想和结果。通过准确地使用数学符号和术语,可以清晰地表达问题的假设、条件及结论,使其他人能够理解并验证这些结果。总之,数学语言是构建和表达数学模型的工具,数学模型是通过数学语言对现实问题进行描述的结果。二者相辅相成,在数学教学中起到了非常重要的作用。

二、数学思维发展阶段

数学思维是数学知识和科学知识的抽象结合。数学思维的形成是一个由浅到深、由低到高的语境体系形成过程。数学思维的系统性是实际应用的基础,随着学习的不断深入,进而形成有序的思维逻辑。数学思维发展的基本过程大致可分为三个阶段。

(一)初步认知与理解阶段

初中数学知识包括显性知识和隐性知识。前者侧重于数学符号和基本概念的掌握,后者逐渐转向知识的应用与创新过程。初中数学学习基本上是从外在认知到内在理解再到实际应用的循环过程,这个思维过程的进展也是从显性认知到隐性逻辑推理的发展过程。可以从两个方面理解初中数学知识的学习。一方面,在数学知识的感知中培养学生的思维能力。初中阶段的学生往往以形象化的形式获取数学信息。这些数学信息包括独立的数学符号和相关的概念属性,学生通过感知数学符号和概念属性理解和掌握数学知识。在此基础上,学生不断地学习逻辑规律,在认知系统中逐步整合大量的数学符号和客观要素,并结合自身的思维能力和逻辑特点,形成系统的认知。例如,在学习轴对称图形及其性质后,将轴对称知识迁移到等腰三角形中,通过推理论证,构建等腰三角形及等边三角形的性质和判定方法。另一方面,数学思维的层次性由知识基础决定。不同年级的知识往往遵循由浅入深、由单一向综合性发展的规律。数学思维的形成需要注重数学语言的学与练,加强丰富多样的数学信息的获取能力。在此过程中,教师需要通过客观描述和系统解释,使学生形成正确的、清晰的框架与模型,使学生在语言描述、图片识别和逻辑推理过程中理解数学概念和数学定理,引导学生体会数学语言的内在逻辑和外在规律。

(二)试错与改进阶段

以假设试错和用结论改进是初中数学内部框架中特定的学习与思考过程,进入识别和试错是促进学生从符号学习向抽象思维的转向。在这个阶段,学生不断地试错与改进,加深对现有数学概念的理解,对知识的认知逐渐全面、系统。学生通过数学语言表达定理、公式和概念,随后通过不断理解知识体系而触碰到未知领域,进而产生更进一步的学习。但存在的问题是,虽然学生在学习中解决难题时会加深理解,但有部分学生没有进行下一步的思考和分析,当遇到更深层次的数学问题时,还是用旧方法解决,仍然不能突破创新。在这个过程中,教师需要引导学生,使学生明白在未知领域领悟知识需要一套自己的方法体系。一方面,学生需要在不断提炼、整合、总结中形成独特的数学表达和思维意识。通过对数学语言符号的浅层认知到深层理解,学生的数学思维能够从感性认知提升到抽象、规律的深层分析,并结合自己对数学问题的思考,不断试错,产生新的数学理解。另一方面,通过运用数学语言,学生能够使用逻辑思维表达数学的基本观点、概念和规律,进而对数学问题的解决表达出自己的观点,并作出客观的分析和判断。

(三)应用与创造阶段

随着理解的加深,学生逐步进入实践应用阶段。在此阶段,教师要先展示实践活动,之后要引导学生进行分析与总结。展示实践的过程多是由外向内的练习过程,需要学生对逻辑结构进行重构;分析与总结过程多是由内向外的理解过程,需要以具体数学知识为支撑的创造性应用与实践。这一阶段,学生需要具有较强的操作思维和动手能力。在实践过程如探索图形面积中,教师可以运用割补等方法引导学生注重基本活动经验的积累,在教学全程渗透转化数学思想。解决这些问题不仅需要数学语言的逻辑表达,还需要创新应用、灵活使用数学语言。一方面,教师要将数学语言的传授作为课堂的重要环节,在讲授与推导过程中加强学生对过程的数学语言应用,让学生逐步形成数学语言表达逻辑。另一方面,教师要引导学生广泛应用数学概念和定理,使学生不但能够在应用中思考数学语言的表达逻辑,而且能够在头脑中形成清晰的模型框架。

三、数学模型建构策略

(一)练习数学语言

教师应在课堂教学过程中深入分析数学定理、符号、公式、图形与运算的不同形式,加强学生对数学语言的认知。首先,教师要注重培养学生对数学运算过程的数学语言表达逻辑,让学生能够标记出问题描述中的数学语言关键词。这种数学语言的能力主要表现在对数学问题的延伸上,比如对数学术语和数学概念的表达需要清晰、简洁。其次,教师需要引导学生对数学符号的再认知与创新运用,培养学生将数学问题符号化、用数学语言表述数学模型的能力。在数学符号、公式和运算的过程中,教师需要注重提供学生训练应用数学语言表达的机会,引导学生应用数学语言解决数学问题。最后,教师可以适当提高直观图形语言的应用频率。直观图形教学能够提供学生数学语言的表达机会,使用图形、图表有助于培养学生的数学思维。

(二)基于实际情境

从具体问题到抽象模型的转化是培养学生数学思维能力的关键。教师可以选择具有现实意义的问题,让学生意识到数学模型在解决实际问题中的价值。教师可以引导学生在实际情境中观察、收集数据,鼓励学生使用数学语言进行描述和汇总。培养学生观察的眼光,指导学生将问题抽象为数学模型、建立数学方程或图形,培养学生利用数学工具进行计算和分析的能力。例如,教师可以设问“在生活中,如何使凳子在不平整的地面更加平稳?”引导学生思考,用数学语言表达可以假设a、b、c、d为凳子的四条腿,想让凳子平稳,就要使a、b、c、d离地面的距离均为零。根据本题的结论,教师可以引导学生将凳子的四条腿看作长方形,使学生理解用数学语言表达实际情境的思路。在真实的情况中分析问题,学生会逐渐理解数学模型与生活实践密切相关,从而提高学习主动性。通过将具体情境与数学语言结合起来,学生能够理解并运用数学语言进行推理和解决问题。教师可以引导学生对建立的抽象模型进行验证和应用,通过实际计算或数据分析,检验模型是否可行,从而提供最终的有效解决方案。

(三)设计实践活动

数学模型的建立在数学课堂教学中发挥着重要作用。教师不仅要从思想上认识到数学模型的建立对学生数学思维发展的重要性,而且要设计实践活动推动学生从数学语言到数学模型建立的思维转换。教师可以结合学生的思维特征、认知结构和知识水平,从数学语言开始,引导学生设计数学模型。将生活情境作为关键素材,结合现实生活中的材料,将其转化为一系列的数学问题,在实践中建立模型,进行检验和修正,最后得出结果。让学生在实践中面对困难、解决问题,最终达到应用数学模型解决实际问题的真正目的。基于实践解决问题的教学设计能有效提升学生的数学思维能力。在实践中学习,教师要设计有趣的学习活动,选择的活动内容要有层次感,要能激发学生的思考及讨论,要让学生有穷尽思维的可能性。通过引入有趣且具有挑战性的问题情境,鼓励学生在探究中解决问题,激发学生的思维活力。

四、数学思维进阶策略

(一)抓重点

第一,注重教学设计。课本是学生的学习依据之一。[5]学习能力是在信息收集的同时逐步形成的。教师只有帮助学生整合已有知识、精心策划教学活动,才能更有效地培养学生思维的灵活性。第二,抓住问题的关键表达。对于典型的数学问题,教师需要引导学生使用数学语言进行归纳和表达,提高学生对典型问题的理解程度。第三,选择模型结构。教师要根据不同的问题选择合适的数学模型。总之,要抓住问题的重点和关键,训练学生的数学思维过程,培养学生的数学学习能力。

(二)抓过程

过程是思维进阶的关键,审题过程包括文字语言、符号语言和图形语言的理解过程。教师要教导学生审题过程要仔细,要让学生在已有的知识经验基础上,逐字逐句地分析数学语言,细心推敲,弄清题意,逐句进行数学语言翻译,将隐含的内容转换为显性内容。在解题的过程中,更要引导学生紧密联系题设与结论,前后呼应构建数学模型,找到解题的突破点,思考不同的解题思路。

(三)抓总结

完成一个单元的学习后,教师可抽出10分钟左右的时间让学生用数学语言复述所学内容,并将学到的内容详细分类、勾画思维导图,以串联起新旧知识,形成完整的知识图谱。[6]学完某个数学知识后,学生需要按照知识点的连续性,将所学知识语言化、条理化、逻辑化、系统化。这也是思维进阶的过程,教师要促使学生不断地从数学语言转化到数学模型,使用活化的知识点和概括化的模型提高数学整体建构。

五、评价方法

评价是对数学思维能力培养效果的衡量和反馈手段。通过合适的评估方法,可以了解学生在数学思维方面的发展情况,教师可以根据评估结果进行教学调整和个别指导。常用的评估方法如下。

(一)考试与辩论

作业和考试是常见的评估手段。教师可以通过给学生设置问题、让学生解决实际问题或应用数学模型等方式测试学生的数学思维能力水平。[7]教师可以设置选择题、填空题、计算题及开放性问题等,在作业与考试中对学生的知识理解、应用分析、综合思维等方面进行评价。教师还可以组织小组讨论或开展课堂辩论,引导学生进行数学问题的分析、推理和解决。通过观察和记录学生的参与程度、思维逻辑和表达能力等方面,评估学生在数学思维方面的进展。

(二)建模与竞赛

建模是指将生活中的问题转化为数学模型,通过分析和解决模型能够更清晰地理解和解决问题。教师需要选择合适的数学工具和评价方法,客观地评价学生建立的模型,在推理和验证模型中考查学生的理解深度。[8]例如,图形的识别、口头的表达和提出的问题等,都可作为模型评价的主要指标。教师要注意是选用的每一个指标都要能反映建模的真实过程。

数学建模竞赛是一种提高初中生数学思维能力的有效途径。竞赛需要让学生在限定时间内解决实际问题,运用数学工具和数学方法进行建模和分析,最后通过比赛成绩和评委反馈,全面评估初中生的数学思维能力,为学生提供进步机会。

(三)反思与元认知

反思与元认知是指让学生对自己的学习过程进行深入的思考和分析。元认知将个体看作一个主动的有机体,个体的主观态度和情感被看作为元认知。元认知在自我调节中起重要作用。反思和元认知是一个循环过程,每次的知识循环都有其内在的连贯性。教师可以鼓励学生反思自己在解决问题中遇到的困难、采取的策略及取得的成就,使学生更好地认识自己的不足,激发自己改进的动力。

数学思维能力的培养是教育领域持续关注和研究的重要话题。数学思维进阶在未来发展中也面临新的挑战。在新课标引领下,教师要促进学生实现数学观察—数学信息获取—数学思维能力的转变,立足数学语言本身,深入探索数学文字、符号和图形的分类和概括,使学生对数学语言深入理解。数学语言的深入是从具体问题到抽象模型的建立过程,也是更高阶的数学思维体现。将数学语言放在首要位置,引导学生进行数学知识的综合应用,促进学生更高层面的思维发展,将认知与应用相互融合,辅助促进数学思维提高的评价方法,才能推动初中学生数学思维的不断进阶。