巧解含参不等式(组)整数解问题

邱 雯

⦿ 广东省惠州市第八中学

对于只有一个不等式含参数的不等式组,求参数值(或范围)问题是中考的一个重要考点,大多数学生通过多次训练或许能够掌握.而对于不等式组中每个不等式都含有参数的问题,命题涉及较少.这类问题又该如何解答呢?下面结合例题进行剖析.

1 整数解个数(或数值)明确

图1

解得3

又a,b均为整数,当a=6,b=6时,2a2+b取得最大值为2×62+6=78.

点评：此题用用含a,b的式子表示不等式组的解集;再根据解集中“整数解仅为2”,建立与a,b有关的新的不等式组,从而确定参数a,b的范围(或取值).

图2

解得0≤a<6,15

所以15

图3

所以整数a的最小值是2.

点评：根据条件“解集中至少有5个整数解”,建立与a有关的不等式是解题的关键所在,通过数轴将“数”转化为“形”,再将“形”转化为“数”.

2 整数解的值不明确

例4(2021江汉)已知关于x的不等式x-a<0的最大整数解为3a+6,则a的值为______.

解：由x-a<0,得x

又不等式的解集中最大整数解为3a+6,则与a最接近的两整数为3a+6与3a+7.

将解集及表示数3a+b与3a+7的点在数轴上表示出来,如图4所示.

图4

点评：用含a的式子表示解集范围,再根据“3a+6为最大整数解”,建立与a有关的不等式组,求得a的取值范围,再通过增设变量表示3a+6的值,进而求得a的值.

因为不等式组的整数解之和是-5,所以不等式组的解整数解为-3,-2或-3,-2,-1,0,1.

当不等式组的整数解为-3,-2时,解集在数轴上的表示如图5所示.

图5

当不等式组的整数解为-3,-2,-1,0,1时,解集在数轴上的表示如图6所示.

图6

综上,m的取值范围是-4

点评：由已知条件“所有整数解的和为-5”得出两组不同的整数解,再分类讨论建立与m有关的不等式组,问题迎刃而解.

又不等式组有解,则m

设四个相邻的整数分别为n-1,n,n+1,n+2.

令不等式组的两个整数解为n和n+1,将不等式的解集在数轴上表示出来,如图7所示.

图7

所以n-1≤m

又因为n为整数,所以n=2.

点评：首先解原不等式组得x的解集,再根据“x仅有2个整数解”建立关于整数n的不等式组,并求出整数n,进而求出m的范围.

解决含参不等式组的整数解问题,一般先把参数看成已知数求出不等式组的解集,再借助整数解的条件确定整数解的个数(或具体数值),将解集在数轴表示出来,关注解集的上下限所表示的点在数轴上的位置,建立与参数有关的不等式(组),解新的不等式组即求出所要的结果.Z