单元整体教学的一次尝试——“勾股定理(第1课时)”的课堂实录

王 俊

⦿ 江苏省无锡市连元英和双语实验学校

作为单元的起始课,对整章知识起着统领与导向作用.做好单元整体教学,需要教师很好地做到三个理解(理解教材,理解学生,理解教学),然后落实到每个具体的教学活动环节,整体设计,再分步骤实施,在整个过程中培养学生的核心素养.下面结合“勾股定理第一课时”的课堂实录及分析,来探讨一下单元整体教学.

1 教材分析

“勾股定理(第1课时)”教学目标主要有两个:(1)经历探索勾股定理的过程,发展合情推理的能力,体会数形结合的思想;(2)能应用勾股定理求直角三角形中未知边的长.前者需要花时间让学生去探索,所以设计了让学生在纸上多次操作验证、观看视频等活动,引导学生去发现勾股定理蕴含的数与形的关系,以及学会如何发现与探索,形成学习的能力,这也是本课重点.

2 设计思路与意图

本节课分六个环节来具体实施:

(1)导入直角三角形边角的内部关系,让学生建立形与数之间的对应关系.

(2)利用面积割补法解决问题,实现直角三角形面积与边边关系的转化,初步感受三边关系;进一步在网格中验证其他直角三角形中相同结论的存在,实现特殊到一般的探索.

(3)运用类比思想,技能迁移,验证锐角三角形和钝角三角形中是否有同样的三边关系.这既是对前面勾股定理探索过程的再一次经历,而且是主动经历,也引出大胆猜想(勾股定理的逆定理),为后续学习作铺垫.

(4)关于勾股定理的课外知识介绍,在传播数学文化的同时,激发学生的兴趣.

(5)利用勾股定理完成练习.

(6)师生小结,为下一课时作铺垫.

3 课堂实录及分析

3.1 导入直角三角形,建立对应关系

师:特殊的图形其边角具备特殊的内部关系,例如,直角三角形,我们已经学过它的内角之间的关系是什么呢?

生1:两锐角互余.

师:除了角与角之间的关系,我们还能研究直角三角形各元素的什么关系呢?

生2:边边关系,边角关系.

师:很好.关于直角三角形的边角关系我们留待初三去探讨.这一章,我们将探索直角三角形边与边的内部关系.你已经知道直角三角形的边有什么样的关系呢?

生3:两边之和大于第三边.

师:很好.可是这一事实对所有三角形都适用,作为特殊的直角三角形,是否有更特殊的边边关系呢?

3.2 利用面积割补法实现面积与边边关系的转化

在下列网格中,将小方格边长看作1,完成下列问题:

备用图

图1中,四边形ABMN是什么形状?你会计算它的面积吗?有哪些方法?

图1

生1和生2上黑板讲解“割”与“补”两种方法.

师:刚刚两位同学发现不能直接利用边长的平方求正方形面积后,采用了割补法将面积进行转化,这一转化思想在后续第五章“函数”中也会经常用到.下面请大家利用割补法,完成探索部分的第1,2题.

3.3 运用类比思想,迁移技能

师:利用上面预习中的方法,计算图2中正方形ABMN、正方形BCDE、正方形ACFG的面积,其面积依次是______,猜想它们之间有何关系?

图2

生1:分别算出三个正方形的面积,得出9+16=25.

教师板书S1+S2=S3后,追问:线段AB,BC,AC之间有何关系?

生2继续转化,直至写出BC2+AC2=BA2(板书).

师:大家通过数量关系,利用面积实现了边边关系的转化.这很好地体现了转化思想和数形结合思想(板书).那么,大家能否用语言组织一下BC2+AC2=BA2这一结论呢?

生3:直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.是否所有的直角三角形都具备这样的三边关系呢?如何验证?

师:对于所有直角三角形,都能在网格中利用面积法来验证“直角边的平方和等于斜边的平方”这一结论.

3.4 介绍勾股定理,传播数学文化

师:其实,我们不仅可以在网格中探索这一结论,还可以利用现代化实验来验证.下面请同学们观看视频实验(以直角三角形三边为边往外作正多边形探索面积的变化),进一步提出猜想——以直角三角形的两直角边为边长的两个正多边形的面积和等于以斜边为边长的正多边形的面积.

3.5 利用勾股定理完成练习

黑板上出示问题,用勾股定理小试牛刀.学生通过小组合作来回答:

在△ABC中,已知∠C=90°及两边的长如下,求第三边:①a=3,b=4;②a=3,c=5;③b=40,c=41.

(学生合作探究过程略.)

如图3,锐角三角形和钝角三角形的三边是否也具备这样的关系呢?模仿前面的方法,思考并探索.如果不符合,三边又有怎样的关系?

图3

师:刚刚我们发现并在网格中验证了勾股定理的正确性,大家有没有想过,勾股定理是否也适用于锐角三角形和钝角三角形呢?(教师停留几秒.)

生1:不一定,有可能……

师:怎么才能确定呢?

生2:画一画,验一验,像刚刚那样画图验证.

师:请大家在网格纸中加以验证,并组内讨论.

学生尝试画图并组内讨论(大部分同学还是可以独立完成的).

师:结论是什么呢?

生4:锐角三角形中是BC2+AC2>BA2,钝角三角形中是BC2+AC2

师:同学们很厉害!看来勾股定理确实只适用于直角三角形.我们又可以做怎样的大胆猜想呢?

生5:反过来,如果三边满足BC2+AC2=BA2,可以得到△ABC是直角三角形.

师:确实,这就是勾股定理的逆定理(板书),这也是第三课时我们将要去深入研究的.

师:同学们通过在网格中构建图形,或者用实验去演示,发现了勾股定理.其实,早在五百多年前,就有古人研究并发现了勾股定理.

老师介绍毕达哥拉斯定理和我国的勾股弦以及“勾3股4弦5”的历史.(展示毕达哥拉斯邮票图片,板书.)

师:下面我们就用这个发现,去解决问题吧.

利用勾股定理,完成书本第79页练习1,2.

3.6 师生小结

师:通过上面的练习,我们再次发现,有了勾股定理,就能实现直角三角形图形内部的数量关系,解决三角形边边关系,这正是勾股定理的重要应用(板书),这也为以后用代数方法解决几何问题提供了有效的工具.

4 对单元整体设计的认识

单元整体教学是一种教学理念,目的是让教师从高处俯视教学的每一个触角,将它们用一条无形的线串联起来,形成一个有机整体.在实施“单元整体”教学的过程中,教师要注重对教学内容进行结构化整合,探索、铺设适合发展学生核心素养的路径.根据新课程标准的要求,尤其要重视数学结果的探索和形成过程.漫漫教学路,教师唯有不断探索创新,才能与时俱进,与学生共成长.只有教师有整体的的眼光、更大的视野,才能引领学生一起走进数学的世界,打开数学之门.Z