斜裂缝梁的振动特性分析

霍瑞丽, 王 坤, 张 姗

(1.南京工业大学 土木工程学院, 南京 211816;2. 上海中森建筑与工程设计顾问有限公司,上海 200062)

梁是建筑和桥梁工程中最基本的受力构件,在复杂应力环境下易产生各种形态的裂缝,裂缝的存在将改变结构原有的动力特性,影响结构的耐久性,严重时引发工程灾难[1-3]。20世纪80年代,Christides等[4]首次对梁上下表面含对称裂缝的欧拉梁建立了微分方程,利用连续刚度公式近似模拟由裂缝引起的应力场变化,该理论也适用于仅一侧存在裂缝梁的弯曲振动。Chondros等[5]基于断裂力学理论,考虑裂缝的影响建立了连续变化的柔度矩阵,建立弹簧刚度Kt与裂缝尺寸之间的关系,为求解裂缝梁的振动提供新思路。王术新等[6]对裂缝梁前3阶固有频率的变化与裂缝位置和深度之间的关系进行了计算和分析,发现裂缝梁的边界条件不同,其振动特性不同,固有频率的变化规律也不同。王敏杨等[7-8]基于裂缝损伤识别技术,为等截面裂缝梁动力特性的研究提供新方法。赵佳雷等[9-10]基于能量法,利用Chebyshev-Ritz法对含多裂缝梁的自由振动进行了分析,并探讨了竖向裂缝参数对结构的影响。

邓焱等[11]对T形截面梁进行了损伤位置和损伤程度检测,验证了曲率模态对桥梁损伤的敏感性。张姗等[12]研究了含单裂纹 T 型梁的自振特性,并与实际 T 型截面梁的有限元分析结果对比验证了结果的正确性。Shivani等[13]通过建立数学模型研究了裂缝倾斜角度、位置、尺寸对不同边界条件下斜裂缝梁振动特性的影响。马辉等[14]建立了斜裂缝悬臂梁的有限元模型,研究裂缝参数对梁非线性振动特性的影响。Sunil等[15]利用扭转线弹簧模型表征斜裂缝的柔度,结合静态挠度测量检测斜裂缝悬臂梁的损伤问题。Nandwana等[16]利用扭转线弹簧模拟了细长梁中的裂缝,探讨了倾角为45°的斜裂缝悬臂梁与含内部裂缝简支梁的横向振动特性。李忠献等[17]采用模态应变能推导了斜裂缝深度的表达式,结合遗传神经网络实现对斜裂缝位置和倾斜角度的识别,为斜裂缝梁的损伤识别提供理论依据。Behera等[18]基于有限元ANSYS软件对斜裂缝悬臂梁进行建模与仿真分析,研究模态参数随裂缝参数的变化规律。蒋杰等[19-20]基于小变形的二维线弹性力学理论,分析了端部有裂纹的悬臂梁和固支深梁的自由振动特性,探讨了高跨比、裂缝深度对自振频率和振型的影响,但只考虑了竖向裂缝,未考虑斜裂纹对结构动力特性的影响。

由于结构几何外形及荷载形式的复杂性,尤其是动力荷载作用下以剪切变形为主的深梁,服役过程中常常产生斜裂缝。当前大多数的学者对带裂缝梁振动特性的研究主要集中于竖向裂缝,对斜裂缝影响结构振动特性理论方面的研究相对较少。本文以带斜裂缝的矩形截面梁为研究对象,精细划分子域单元,通过坐标变换方程将划分后的梯形求解域转化为矩形求解域,采用Chebyshev-Ritz法得到变换后各子域的振动特征方程,结合位移连续性条件联立各子域振动方程进行求解。采用有限元软件进行对比分析验证,研究了裂缝倾斜角度、位置对梁整体振动特性的影响。

1 斜裂缝梁的振动特征方程

1.1 模型单元

考虑含斜裂缝的矩形截面梁,假设裂缝斜向直线型发展,裂缝深度沿梁的宽度方向不发生变化,如图1所示。梁长为l,宽为b,高为h,梁底端存在沿正方向倾斜角度为θ的斜裂缝,斜裂缝长度为a(裂缝沿梁截面高度方向的有效长度为acosθ),梁底端斜裂缝距离梁左右两端的距离分别为l2和l3,斜裂缝尖端距离梁上下表面的垂直距离分别为h1,h2。梁的弹性模量为E,密度为ρ,泊松比为μ。梁宽b远小于梁高h,故可将三维的振动问题采用二维弹性力学的平面应力理论求解。将梁划分为3个子域q(q=1, 2, 3),并建立局部坐标系。

图1 斜裂缝梁的分析模型Fig.1 Analytical model of beams with diagonal cracks

1.2 坐标变换

为简化计算,对矩形子域1进行无量纲化处理,梯形子域2、梯形子域3运用坐标变换系统,将梯形求解域等效为规则的正方形求解域,如图2所示。坐标变换表达式如下所示。

图2 坐标变换系统Fig.2 Coordinate transformation system

子域q=1

(1)

子域q=2

(2)

子域q=3

(3)

根据链式求导法则,各子域q坐标变换前后导数的变换关系式应满足

(4)

式中,雅克比矩阵Jq的表达式为

(5)

故各子域q的雅克比矩阵Jq为

(6)

把式(5)代入式(4),可得两类坐标间的导数关系满足

(7)

故各子域q的坐标间导数转换关系可表示为

(8)

1.3 各子域的振动特征方程

带斜裂缝的矩形截面梁被划分为3个部分后,对3个子域梁的振动问题进行独立分析。由二维弹性力学的平面应力理论,斜裂缝矩形梁各子域q的线弹性应变能Vq与动能Tq分别为

(9)

(10)

平面应力理论中的应力-应变关系满足

(11)

式中:线性应变关系又满足如下关系式

(12)

子域q在x,z方向上的位移函数uq,wq可表示为

(13)

将式(13)分别代入式(9)、式(10),得到各子域梁的最大应变能Vmax,q和最大动能Tmax,q

(14)

(15)

式中,雅克比矩阵Jq的行列式分别为

为得到高收敛性的解,用Chebyshev多项式与边界函数的乘积构造各子域q的位移试函数

(16)

式中:φu,q,φw,q,φu,q,φw,q分别为各子域梁的边界函数沿x,z方向上的分量;Aij,q,Bmn,q为位移函数中相应项的未知系数。Ps(χ) (χ=xq,zq)为在区域[-1,1]的一维s阶Chebyshev多项式函数,表达式为

Ps(χ)=cos[(s-1)arccos(χ)],s=1,2,3,…

(17)

各子域梁的能量泛函Π为

Πq=Vmax,q-Tmax,q

(18)

求解最小泛函

(19)

将式(14)、式(15)代入式(19),推导出各子域q的振动特征方程为

([Kq]-Ω2[Mq]){Xq}=0

(20)

式中:[Kq],[Mq]分别为第q个子域的刚度矩阵和质量矩阵;Ω为无量纲固有频率;{Xq}为未知系数Aij,q与Bmn,q构成的列向量。其中

{Aq}={A11,qA12,q…A21,qA22,q…Ai1,q…Aij,q}T,

{Bq}={B11,qB12,q…B21,qB22,q…Bm1,q…Bmn,q}T

(21)

式(21)中各子域q的矩阵元素分别如下所示。

当q=1时

(22)

其中,

λ1=h1/l1,γ1=h1l1/hl,h1=h-acosθ,

(23)

当q=2,3时

(24)

其中,

λq=h2/lq,γq=h2lq/hl,h2=acosθ

(25)

1.4 斜裂缝梁的振动特征方程

对3个子域梁的振动特征方程进行整合,可得整个斜裂缝梁的振动特征方程

[K]-Ω2[M]){X}=0

(26)

其中,

(27)

由于子域梁段间的位移连续性,子域1与子域2、子域3在交界处的位移试函数满足如下关系式

(28)

式中,

(29)

由Chebyshev多项式的基本性质可知

(30)

(31)

将位移试函数式(16)代入式(28),并借助式(30)和式(31),推导出子域1与子域2、子域3间的未知系数Aij,q,Bmn,q满足关系式

(32)

(33)

式中

(34)

由上述各子域间的位移连续性可知式(26)中列向量{X}的未知系数Aij,q,Bmn,q并非完全独立,因此引入独立的列向量来消除非独立系数。令

(35)

将式(35)代入式(26),整个斜裂缝梁的振动特征方程转化为

(36)

2 收敛性分析

为验证本方法的收敛性,以两端固支的斜裂缝矩形截面梁为例,考虑3种高跨比(h/l=0.1, 0.2, 0.5)的影响,分析结构前8阶无量纲频率参数Ω的收敛情况,如表1所示。该梁的弹性模量E=210 GPa,密度ρ=7 800 kg/m3,泊松比μ=0.3,裂缝长度a=0.2h,裂缝位于跨中(l2/l=0.5)且裂缝倾斜角度θ=30°。计算过程中各子域梁的位移函数uq,wq在x,z方向上选取相同数量的Chebyshev多项式级数项来提高计算效率,由表1可知,随着Chebyshev多项式级数项的增加,频率参数单调收敛,当级数项达到40×10时,无量纲频率参数Ω精度可达到3位有效数字以上,具有良好的收敛性。

表1 不同高跨比两端固支斜裂缝矩形梁无量纲频率参数Ω的收敛性Tab.1 Convergence of non-dimensional frequency parameters Ω of rectangular beams with diagonal cracks fixed at two ends with different high-span ratios

3 结果对比分析

3.1 本文解与文献结果的对比

为验证本文理论方法的准确性,将本文解与文献[21]的试验结果进行对比。试验结果与本文解的对比如表2所示。由表2可知,本文解与试验结果高度吻合,误差控制在1.430 4%以内,证明了本文方法的合理性和有效性。

表2 不同裂缝倾斜角度下两端固支斜裂缝矩形梁无量纲频率本文解与文献[21]试验结果的对比Tab.2 Comparison of non-dimensional frequency between analytical and Ref [21] for rectangular beams with different diagonal cracks fixed at two ends

为进一步证明本文方法的有效性,将本文解与Shivani等的解进行对比分析,不同裂缝角度下(θ=30°, 45°, 60°)无量纲频率的比较, 如表3所示。材料弹模E为2 GPa,密度ρ为7 850 kg/m3,梁的高跨比h/l为0.1。由表3可知两种方法的最大误差为1.862 3%,结果吻合较好。另外,传统方法在分析斜裂缝梁的动力学特性时,通常将梁等效为在裂缝处由弹簧连接的两部分,首先需考虑等效弹簧的刚度,对于斜裂缝梁,还要考虑弹簧位置对结果的影响,频率阶次越高,误差越大。本文提出的理论方法不需进行上述假设,按照实际裂纹形态将梁划分为三部分进行分析,利用坐标变换法将梯形区域转换为矩形求解域,结合位移连续性条件整合三部分方程,具有更高的精度,且还可进一步推广至任意四边形区域广泛应用。

表3 不同裂缝倾斜角度下前3阶无量纲频率本文解与文献[13]解的对比Tab.3 Comparison of non-dimensional frequency between analytical and Ref [13] solutions for different diagonal cracks

3.2 本文解与有限元解的对比

为了检验本文方法对于不同倾斜角度下裂缝梁的精度,考虑当高跨比h/l=0.1,裂缝位于跨中(l2/l=0.5),裂缝长度a=0.2h时,不同裂缝倾斜角度(-15°,0°,15°,30°,45°)下有限元ANSYS软件计算结果与本文解的前8阶无量纲频率参数值对比,采用PLANE183实体单元对斜裂缝梁进行模拟,如表4所示。由表4可知,当倾斜角度值不大于45°时,有限元解与本文解的最大误差可控制在3.578 2%以内;倾斜角度值越小,理论解与有限元解越接近,模拟的误差越小。当裂缝倾斜角度趋于0° 时,理论上斜裂缝梁的计算结果应接近于竖向裂缝梁的理论解,当倾斜角度为0°时,本文解与含竖向裂缝梁的有限元解最大误差仅为-0.673 5%,可以证明本文方法的精确性。

表4 不同裂缝倾斜角度下两端固支斜裂缝矩形梁无量纲频率本文解与有限元解的对比Tab.4 Comparison of non-dimensional frequency between analytical and experimental results for rectangular beams with different diagonal cracks fixed at two ends

高跨比h/l=0.1的两端固支斜裂缝矩形截面梁,裂缝倾斜角度θ=30°,位于l2/l=0.2处时上表面竖向位移W本文解与有限元解的对比,如表5所示。由表5可知竖向位移W有限元解与本文解的最大误差控制在3.820 5%以内,进一步证明了本文方法的精确性。

表5 两端固支斜裂缝矩形梁竖向位移W本文解与有限元解的对比Tab.5 Comparison of the vertical displacement W between analytical and FE solutions for rectangular beams with diagonal cracks fixed at two ends

4 参数分析

4.1 斜裂缝参数对结构频率的影响

以高跨比h/l=0.1,裂缝长度a=0.2h的两端固支梁为例,分别分析了斜裂缝的倾斜角度与裂缝位置对固有频率的影响。4种不同裂缝倾斜角度(0°,15°,30°,45°)情况下前8阶无量纲频率参数随着裂缝位置的变化而产生的影响,如图3所示。由图3可知,对于两端固支的梁,当斜裂缝在跨中时,对结构自振频率的影响相对较大,裂缝位置对高阶无量纲频率的影响更为显著;随着裂缝倾斜角度值的增加,斜裂缝梁的无量纲频率逐渐增加。

图3 不同裂缝倾斜角度下裂缝位置对固支裂缝梁频率的影响Fig.3 The effect of crack position at different diagonal angles on the frequency of beams fixed at two ends

4.2 斜裂缝参数对振型的影响

以高跨比h/l=0.1,裂缝长度a=0.2h的两端固支梁的上表面竖向位移W的振型图为例,分析斜裂缝位置、倾斜角度对振型的影响。当倾斜角度θ为30°时,5种不同裂缝位置(l2/l= 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5)下斜裂缝梁上表面竖向位移W振型图的变化情况,如图4所示。由图4可知:斜裂缝位置对结构振型分布影响不大,但对结构的低阶振型的位移影响较为显著,距离裂缝位置越近,位移值变化越明显;远离裂缝的一端振型分布及位移值没有明显变化;裂缝位置对高阶振型影响较小。

图4 不同裂缝位置固支斜裂缝梁前4阶振型图Fig.4 The first four mode of beams fixed at two ends with diagonal cracks at different crack positions

当裂缝位于跨中(l2/l= 0.5)时,4种不同角度(θ= 15°, 22.5°, 30°, 45°)下斜裂缝梁上表面竖向位移W振型图的变化情况,如图5所示。由图5可知,斜裂缝的倾斜角度对结构的振型分布影响不大,但对低阶振型尤其是一阶振型位移值影响较大,裂缝倾斜角度越大,各点位移值越大。

图5 不同倾斜角度时固支带斜裂缝梁前4阶振型Fig.5 The first four mode of beams fixed at two ends with different diagonal angles

5 结 论

本文以斜裂缝梁为研究对象,通过引入坐标变换方程将梯形子域转换为矩形域,利用Chebyshev-Ritz法分别建立各子域梁的振动方程,结合各子域梁界面交界处的位移连续性得到整个斜裂缝梁的振动特征方程,并结合算例进行了收敛性及参数分析。主要结论如下:

(1)基于弹性力学平面应力理论建立振动方程,无需考虑剪切效应的影响,与传统平截面假定理论相比,分析精度更高,计算更直观便捷,且具有较好的收敛性。

(2)以两端固支斜裂缝梁为例,分析了斜裂缝位置、倾斜角度对结构自振频率的影响。结果表明,裂缝位置对高阶结构自振频率的影响更显著;斜裂缝在固支梁跨中位置时,对结构自振频率影响较大,位于两端时影响较小;同一位置的斜裂缝倾斜角越大,结构的自振频率越大。

(3)以两端固支斜裂缝梁为例,研究了斜裂缝位置、倾斜角度对结构振型的影响。斜裂缝位置及倾斜角度对结构一阶振型的影响较大,距离裂缝位置越近,倾斜角度越大,固支梁上表面位移值增大越明显;对高阶振型影响较小。