三角变换中的小结论的妙用

■何 敏

结论1:sin3θ=3sinθ-4sin3θ;cos3θ=4cos3θ-3cosθ。

证明:sin3θ=sin(2θ+θ)=sin2θcosθ+cos2θsinθ=2sinθcos2θ+(1-2sin2θ)sinθ=2sinθ(1-sin2θ)+sinθ-2sin3θ=3sinθ-4sin3θ。

cos3θ=cos(2θ+θ)=cos2θcosθsin2θsinθ=(2cos2θ-1)cosθ-2sin2θcosθ=2cos3θ-cosθ-2cosθ(1-cos2θ)=4cos3θ-3cosθ。

简评:结论1也叫三倍角公式,它的变形需要熟练掌握,利用结论1 可以简化解题步骤,提高解题速度。

结论2:tanα+tanβ+tan(α+β)tanα·tanβ=tan(α+β)。

证明:因为,所以tanα+tanβ=tan(α+β)-tanαtanβtan(α+β),即tanα+tanβ+tan(α+β)tanαtanβ=tan(α+β)。

例3 tan10°+tan35°+tan10°tan35°的值为____。

解:由tan10°+tan35°+tan10°tan35°=tan10°+tan35°+tan45°tan10°tan35°,结合 结 论2 可 得,原 式=tan(10°+35°)=tan45°=1。

解:由an20°tan40°=tan20°+tan40°+tan60°tan20°tan40°,结合结论2可得,原式=tan(20°+40°)=tan60°=。

简评:结论2 实际是两角和的正切公式的变形,巧妙利用结论2,可以简化解题步骤,提高解题速度。

结论3:在非直角△ABC中,tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。

证明:在△ABC中,由A+B+C=π,可得A+B=π-C,所以tan(A+B)=tan(π-C),即,所以tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC,可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等边三角形

当A=30°时,B=90°,此时tanB无意义,所以A=60°,B=60°,所以此三角形为等边三角形。应选D。

解:由20°+40°+120°=180°,结合结论3得tan20°+tan40°+tan120°=tan20°tan40°·tan120°,所 以

简评:结论3 实际是三角形中两角和的正切公式的变形,注意是非直角三角形,利用它可以简化解题步骤,提高解题速度。

结论4:tanα-tanβ-tan(α-β)tanα·tanβ=tan(α-β)。

简评:结论4 实际是两角差的正切公式的变形,巧妙利用结论4可简化解题步骤,提高解题速度。

例9 (1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)·…·(1+tan45°)的值为____。

解:结合结论5 求值。(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)·…·(1+tan45°)=[(1+tan1°)(1+tan44°)][(1+tan2°)(1+tan43°)]·…·[(1+tan22°)(1+tan23°)]·(1+tan45°)=222(1+tan45°)=223。

例10 tan22°+tan23°+tan22°tan23°的值为____。

解:tan22°+tan23°+tan22°tan23°=tan22°+tan22°tan23°+tan23°=tan22°·(1+tan23°)+ (1+tan23°)-1= (1+tan22°)(1+tan23°)-1=2-1=1。

简评:利用结论5可以简化解题步骤,提高解题速度,但要注意仅是(1+tanα)(1+tanβ)=2成立的充分条件,而不是必要条件,切勿逆用。