意料之外 情理之中

【摘  要】  2023年全国新高考Ⅰ卷导数解答题叙述简洁，层次分明，内涵丰富，注重基础知识和基本思想方法的考查，具有很好的区分度．对该题的解法探究和答题情况进行分析，提出在高三复习教学中务必要从基础入手、注重通性通法、重视数学思想方法，切实提高复习效果．

【关键词】  导数；教学；通性通法

2023年全国高考已悄然落下帷幕，社会各界对全国卷试题的评价众说纷纭．往年基本以压轴形式出现的导数题，却在全国Ⅰ卷中第19题的位置闪亮登场，并且难度适中．笔者的总体感受是：虽在意料之外，但在情理之中．“双减”背景下，高考试题更加注重教考衔接，依据新课程标准命题，更加注重基础的夯实和优化．因此，导数题的难度降低是在情理之中的．

笔者有幸参加了2023年浙江省高考阅卷工作，下面就全国Ⅰ卷第19题的阅卷体会和引发的教学思考，谈一些想法．

题目  （2023年全国数学新高考Ⅰ卷第19题）已知函数f（x）=a（ex+a）－x．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）证明：当a>0时，f（x）>2lna+32．

1  试题剖析

导数是高中数学的重要内容，它与众多知识模块都有知识交汇点，一直以来备受命题者的青睐．纵观近五年的全国高考卷以及各地的模拟卷，导数大题一般出现在最后一题或者倒数第二题，常会被当做有区分度的压轴大题．因此，高考前师生普遍都认为2023年导数仍会是以压轴题的形式出现．结果，让所有师生感到意料之外的是导数大题竟然出现在了第19题，难度中等，这说明全国卷高考稳中有变的理念，启示我们平时要掌握到位每个知识点，而不是去猜测高考要考什么，更不能让应试教育成为高中数学教学的唯一目标导向．1.1  命题意图

本题紧扣新课程标准，叙述简洁，层次分明，内涵丰富，对函数与导数的本质作了充分的考查．其中，第（1）小題5分，考查函数的单调性，需要先求导再进行分类讨论；第（2）小题7分，考查双变量的不等式证明，需要在第（1）问的基础之上先求出函数的最值，再转化为单变量不等式的证明．此题很好地考查了学生灵活运用相关知识的能力以及数学抽象、逻辑推理、数学建模等数学核心素养．

1.2  解法赏析

（1）解：由题意知，f′（x）=aex－1.

当a≤0时，f′（x）≤0，则f（x）在x∈（－∞，+∞）上单调递减；

当a>0时，令f′（x）=0，则x=－lna．

若x∈（－∞，－lna），f′（x）<0，则f（x）单调递减；

若x∈（－lna，+∞），f′（x）>0，则f（x）单调递增．

（2）证明：（法1）由（1）可知，f（x）min=f（－lna）=ae－lna+a+lna=a2+lna+1．

令g（a）=f（－lna）－2lna+32，即g（a）=a2－lna－12，则g′（a）=2a－1a．

当a∈0，22时，g′（a）<0，g（a）单调递减；

当a∈22，+∞时，g′（a）>0，g（a）单调递增．

于是，g（a）min=g22=222－ln22－12=－ln22>0，即f（x）>2lna+32．

（法2）由（1）可知，f（x）min=f（－lna）=a（e－lna+a）+lna=a2+lna+1．

令g（a）=f（－lna）－2lna+32，即g（a）=a2－lna－12=a2－12lna2－12．

又因为lnx≤x－1，所以lna2≤a2－1<2a2－1，所以g（a）>0，即f（x）>2lna+32．

（法3）f（x）－2lna+32=aex+a－x－2lna－32=ex+lna+a2－x－2lna－32

≥1+x+lna+a2－x－2lna－32=a2－lna－12≥a2－a－1－12=a2－a+12>0，即f（x）>2lna+32．

1.3  试题源流通过这次的阅卷交流，笔者更深刻地理解了该题的“源”与“流”．

凸函数的性质（切线不等式）  若f是区间I上的可微凸函数，则经过点（x0，f（x0））（x0∈I）的切线一定在曲线y=f（x）的下方，即成立不等式f（x）≥f（x0）+f′（x0）（x－x0），x∈I．

本题第（2）小题就是以此性质为背景命制而成．当a>0时，函数g（x）=aex+a2－2lna，其在点ln1a，gln1a处的切线方程为y=x+1+a2－lna．同时，g″（x）=aex>0，由凸函数的“切线不等式”可知g（x）=aex+a2－2lna≥x+1+a2－lna>x+32，即aex+a2－2lna>x+32，稍作变形，使得问题更加隐蔽，得到a（ex+a）－x>2lna+32，即为2023年全国新高考Ⅰ卷第19题第（2）问．

1.4  评分策略

本题的评分体现出高考改卷的2个维度：注重方法，解题思想一定要到位；强调计算，关键结论一定要算对．

第（1）小题中，求导和极值点正确分别占2分，单调性正确占1分．第（2）小题中，对于不等式证明的评分，解法1和解法2只要体现作差的意识就有2分，就算考生在求函数的最值时出现错误，也不会影响本步骤的得分；解法3两次切线放缩正确各得2分．

2  错误解析2.1  本题得分情况

本题是解答题的第3题，绝大部分学生有足够的时间和精力解决本题，但本题的平均得分只有5.2，去除0分后平均得分为7.08．从阅卷情况来看，第一，得满分与得两分及以下的百分比大致一样，两极分化比较严重；第二，本题的得分普遍在6分左右，且错误较为集中．2.2  考生常见错误点第（1）小题：

①求导错误：导数求错基本为两种类型，f′（x）=a（ex－1）和f′（x）=（a+1）ex－1.

错误原因主要在于考生求导法则知识点没有掌握到位，对变量的关系比较混乱，搞不清是对a求导还是对x求导；

②分类讨论思想欠缺：忽略a≤0，只考虑a>0的情况；也有部分考生虽然考虑了a≤0的情况，但错误地认为此时函数f（x）的单调性不存在，原因在于定义域和单调性的概念不清．第（2）小题：

①方法不当：部分考生根据第（1）小题求出了函数f（x）的最小值，然后就不知道如何处理a2+lna+1>2lna+32这个式子；也有部分考生用分析法体现了作差思想，即证f（x）－2lna－32>0，但又不知道如何将一个多变量问题转变为单变量问题去解决;

②运算错误：第（1）小题极值点求错导致第（2）小题的最值求错；认为g′（a）=2a－1a关于a单调递增，从而得到g（a）>g（0）>0;

③放缩不当：不等式中出现ex和lnx，有些考生是知道要用切线放缩去证明，但是又不知道从哪里开始放缩，怎么放缩，只是把不等式ex≥x+1和lnx≤x－1写在答题纸上，或者是胡乱放缩;

④数形结合使用不当：证明不等式a2－lna－12>0时，部分考生直接由图像观察得到关系式a2>lna+12，这就相当于要证的不等式仍然没有证明．

总之，考生答题中出现千奇百怪的错误，一方面是基本知识掌握不到位，例如求导错误主要原因在于既有a又有x时考生不知道对哪个量求导．另一方面是没有理解方法的本质，既不知道方法使用的前提条件，也不知道方法的作用，例如要证明一个多变量不等式不知道要转化为单变量去解决，而部分考生只知道需要构造函数去证明，如何构造，为什么要构造卻不清楚．这种机械式学习的方法是数学学习最忌讳的．2.3  得分技巧

①第（1）小题导数f′（x）不能求错，否则后面的所有运算都是错，只能得0分．

②体现解题思想的关键步骤一定要写，比如求f（－lna）是为了将双变量化为单变量，式子f（－lna）－2lna+32或者f（x）－2lna+32体现了作差思想，从中可以看出考生证明不等式的一般思路，那么这位考生第（2）小题的得分至少会有4分．

③优先采用通性通法，其得分点比较清晰，比如第（2）小问，用切线放缩的方法证明，如果放缩错误，很有可能就是0分．

3  教学启示

随着全国新课程改革的推进，越来越多的省份开始回归全国卷，而全国卷的一大特点就是各题的考查顺序不固定．通过仔细分析可以发现，导数出现在第19题虽然是意料之外，但从其考查的基本思想方法看，却又在情理之中．因此，高考命题组向一线数学教师传递了这样个信息：教师一定要在钻研教学内容上下功夫，最重要的是对数学思想的理解，对数学本质的认识．优质的教学不是去猜高考考什么，更不是盲目地搞题海战术，而在于使学生领悟数学问题的本质．针对本题所反应的问题与考查意图，建议在教学中注意以下几个方面.3.1  从易入手，夯实基础

高三第一轮复习中要控制难度，从易入手，重视基础．基础知识的考查是高考数学的一个重要目标．虽然导数题是高考考查的热点，但导数题并非都是高难度，并非都是学生难以解决的问题，也有一些问题极易入手．在复习中，需要牢固掌握求导法则并能正确计算函数的导数；掌握利用导数判断函数的单调性、求曲线的切线方程、求函数的极值最值；理解证明不等式的常用方法等等．在教学中，教师应搜集基础性的问题，让学生在对简单问题的完成中夯实基础，把握导数知识的本质，也可以让学生们在对简单导数问题的解决过程中提升自身解决导数问题的决心，改变谈“导”色变的数学学习现状［1］.

3.2  注重通性通法，淡化解题技巧

高考命题的原则是重视对通性通法的考查，淡化特殊解题技巧．指导学生复习中，不搞偏题怪题，不要刻意追求特殊解法，要注重思考题目的本质是什么，属于哪种类型．因此，教师要精编作业，精选例题，所选题目要体现通性通法，在此基础上适当延伸，从而使复习达到做一题会一类的效果，提高复习的效率．同时，阅卷过程中还发现很多学生会做不会写，在平时的教学中要帮助学生规范答题，明确题目的通性通法的得分点和解题步骤，要求学生按得分点、分步书写，严格训练［2］.

3.3  重视思想方法，落实核心素养

数学思想方法是对数学知识内容及其所使用方法的本质认识，而数学核心素养是对数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度、价值观的综合体现．因此，在导数知识的教学中，需重视常见的数学思想方法，如分类讨论思想、转化与化归思想、数形结合思想等．在解决具体数学问题时借助数学知识和思想方法，可以将未知问题已知化、抽象问题具体化、复杂问题简单化，从而培养学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，发展数学抽象、逻辑推理、数学建模等数学核心素养．

参考文献

［1］  印桃红．如何提升高中生的导数得分率［J］．数理化解题研究，2021（03）：10-11．

［2］  徐茂炳．2015年江苏省高考数学卷第19题阅卷感悟［J］．中学数学研究，2017（01）：11-13．

作者简介  赵凯菲（1989—），女，浙江丽水人，中学一级教师；荣获丽水市优质课一等奖、丽水市高中数学竞赛优秀指导师、丽水市市直优秀班主任等称号;研究方向为高中数学教育．