考虑水泥水化度的混凝土一维差分法理论温升计算*

谢 文 田 峰 周崇旭 曹海明 杨坤坤 王 欣 袁中夏 陈 浩

(1.中核华辰建筑工程有限公司, 西安 712000; 2.兰州理工大学土木工程学院, 兰州 730050;3.兰州理工大学西部土木工程防灾减灾教育部工程研究中心, 兰州 730050)

0 引 言

在实际的现场施工中,大体积混凝土具有结构体形尺寸大、建筑材料导热性能差两个基本特点,这使得大体积混凝土内部容易积聚热量且不易释放。此外,混凝土的硬化过程都会伴随着胶凝材料的水化放热,且混凝土的体量越大,混凝土内部所积聚的热量就越多,其核心温度就越高,而混凝土结构的外表面与外界相接触的温度往往偏低从而产生里表温差,进而引起温度场的不均匀分布产生温度应力和温度变形,并对结构的安全使用产生威胁[1]。因此,选取合适的计算方法对混凝土的温度进行预测,能够提前把握混凝土温度变化动态,有助于采取相应措施提升混凝土施工质量[2]。

目前,关于大体积混凝土温度场常用的计算方法主要有:差分解法、理论解法和有限单元法。在实际的应用中,相对而言较为广泛的计算方法主要有:差分法及有限单元法。而一维差分法作为差分法中的典型算法,因其计算过程较为简便直接,且计算结果明确,具有较高的精度[3],特别适用于手工计算,能够广泛运用于各类复杂的施工条件。

在实际的计算中,最高温度和最高温度出现的时间作为混凝土温度预测的核心,是评判预测方法是否准确合理的重要依据。然而,传统的一维差分法一般选用混凝土终凝后的热力学参数值进行计算,使得理论温升最大值和最高温度出现时间与早期混凝土的实际温度变化情况相差较大[4]。此外,水化反应和外界温度作为影响混凝土温度场的重要因素,一方面随着水化反应的逐步进行,早期混凝土的热学性能会随之发生改变;另一方面外界环境温度的动态变化,也会使得混凝土温度随之产生波动;合理把握两者与混凝土温度变化规律之间的关系,则能够更加真实地反映实际温度变化[5]。

为进一步提升一维差分法计算的准确度,本研究基于一维差分法考虑水泥水化度对不同龄期混凝土热力学参数的影响,分别计算等效龄期下的水泥水化度,以及不同水化度下的比热容和导热系数,并根据混凝土的形态特征和导热特点建立相应的参数调整系数,得到改进后的一维差分法。通过对实际案例的运用分析,对比了传统一维差分法与改进后一维差分法的差异,并探讨了改进后的方法适用性。

1 一维差分法温度场计算

1.1 热传导基本方程

大体积混凝土的热传导问题本质上为固体内有热源的热量传输问题,基于傅里叶热传导定律结合混凝土的放热特点,经过推导得到了大体积混凝土热传导的基本方程[6],如公式(1)所示:

(1)

假设大体积混凝土为无限大平板,则可以将其简化为由边界条件确定的单向热传导一维温度场。此时,热传导的基本方程如公式(2)所示:

(2)

式中:D为导温系数;Q为水泥水化放出的热量;c为水泥比热容;ρ为混凝土的密度。

1.2 一维差分法计算公式

由于热传导方程是物体温度与时间、空间之间的关系,其方程解有无限多;故确定所需的温度场,必须提前获取方程的初始条件和边界条件。一维差分法的基本计算原理是将无限大平板沿厚度方向等分为n-1层,每层厚度为h=L/(n-1),分别求出不同时间下各层面上的温度值[7-9]。

1)初始条件。对于大体积混凝土,通常以浇注温度作为其初始瞬时温度。

2)边界条件。根据不同的接触类型,可分为绝热边界条件和第一、二、三、四类边界条件。其中,大体积混凝土底部与地基相连,地基视为不良导热体,则可假设底部边界条件为绝热边界,如公式3所示:

Tn,t+Δt=(1-2r)Tn-1,t+2rTn-1,t+Δθ

(3)

式中:n为绝热边界;r为计算参数,由导温系数(D)、分层厚度(h),间隔时间(Δt)确定,r=DΔt/h2≤1/2;Δθ为水泥水化放热。

而大体积混凝土顶部与空气直接相接触,属于第三类边界条件,如公式(4)所示:

(4)

式中:n为第三类边界;Ta为环境温度;k为导热系数;β为放热系数;h为分层厚度。

3)内点温度计算。已知初始条件和边界条件,根据差分原理采用通过计算偏导数方程,可以得到不同界面处的温度值,如公式(5)所示:

Ti,t+Δt=(1-2r)Ti,t+r(Ti-1,t+Ti+1,t)+Δθ

(5)

式中:i为除顶部和底部上下界面外的内部分界面。

2 基于水泥水化度的混凝土热性能参数计算

传统的一维差分法通常将公式中的众多参数视为定值,忽略了水泥水化过程中不同计算参数的变化特点,使得混凝土的温度计算值与实际的温升值存在较大的差异。因此,为了进一步提升一维差分法计算的可靠度,研究引入混凝土水化度的概念,分析不同水化度下相应计算参数的变化特征,从而优化一维差分法的计算式,进一步提升混凝土温度计算的准确性。

2.1 等效时间成熟度

成熟度主要是指同种类型的混凝土在其不同部位处,不论其时间和温度以何种方式组合,只要两者的成熟度值相同,则它们的强度也是基本相同的[10]。采用等效时间成熟度概念可以综合考虑反应温度和龄期对混凝土水化反应的影响[3],基于这一特点,国外研究学者提出了用于计算相对参考温度下早期混凝土等效时间的成熟度函数,如公式6所示:

(6)

式中:te为混凝土的等效龄期;E为反应活化能,kJ/mol;Tr为参考温度(通常取20 ℃,即293 K);T为为反应温度采用绝对温度;R为理想气体常数,8.315 J/(mol·K)。

经验值如下[11]:

(7)

2.2 水化度

水化度指水化反应中已经消耗的水泥量相对于水泥总量的比值,其值介于0～1。为了将等效时间和水化度联系起来,国外的一些研究学者通过大量的试验,提出了一些能够将两者联系起来的计算式,主要包括指数型、双曲线型以及复合指数型。其中,指数型计算式的工程参数易于测定,且在各类实验资料中已有关于不同水泥种类的经验值,计算更为简便。故本研究选择采用指数型计算公式求解混凝土水化度,如式(8)所示[12]:

α(te)=1-exp(-ateb)

(8)

式中:α(te)为基于等效龄期的水泥水化度;a、b为常数,由试验结果拟合得到或通过类似工程取值。

2.3 比热容

国外的一些试验研究表明,对混凝土比热容影响大的因素主要有两个:温度和含水量,且比热容在硬化过程会与水化度成线性反比的变化规律[13]。基于此,Breugel通过进一步地深入研究提出了一种能够计算早期混凝土比热容的变化公式[14],如式(9)所示:

(9a)

ccef=8.4Tc+339

(9b)

式中:Wc、Wa、Ww分别为每立方米混凝土中水泥、骨料和水的质量,kg;cc、ca、cw分别为水泥、骨料和水的比热容值;ccef为混凝土水泥的假定比热容值;Tc为当前温度,℃。

2.4 导热系数

混凝土的硬化过程伴随着水化反应地不断进行,而其中混凝土温度、各组分含量、孔隙率也随之时时发生着变化,从而引起混凝土导热系数的不断变化。由于固体的导热能力远大于气体和液体,因此,随着水化反应的进行,混凝土的导热能力将随着内部孔隙率地逐渐增大而降低。国外研究学者通过试验研究表明,早期混凝土导热系数的变化过程可通过线性公式表达[15],基于这一特点,Schindler[16]建立了早期混凝土导热系数与混凝土水化度之间的关系,如式(10)所示:

k(α)=ku(1.33-0.33α)

(10)

式中:k(α)为导热系数;ku为混凝土硬化后最终的导热系数;α为水化度值。

3 考虑水泥水化度的温度场计算

3.1 基于水化度的导温系数计算

混凝土的热学性能参数主要包括导温系数D(m2/h)、导热系数k[kJ/(m·h·℃)]、比热容c[kJ/(kg·℃)]和密度ρ(kg/m3)。此外,骨料、容重及含水状态与混凝土的热学性能也有着密切的关联关系[17],由于材料、配合比等不同会导致不同混凝土的相关参数存在一定差别,使得混凝土温度场的分布产生不同程度的影响。

由式(9)～(10)可知,导热系数k和比热容c会随着水化程度的改变而发生变化,考虑水泥水化度对计算参数的影响,则导温系数的计算式如(11)所示:

(11)

3.2 基于水化度的一维热传导基本方程

混凝土的温度、龄期与早期的混凝土水化反应相关,这使得混凝土的热学参数也将随着水化反应的进行而不断变化,则由式(2)可得基于水泥水化度的一维热传导方程,如式(12)所示:

(12)

由上可知,一维差分法中不同类型的边界条件温度计算,都将随着水化度的变化而改变。

4 实际案例计算分析

4.1 工程概况

GB 50496—2018《大体积混凝土施工标准》中规定:混凝土结构物实体最小几何尺寸不小于1 m的大体量混凝土,或预计会因混凝土中胶凝材料水化引起的温度变化和收缩而导致有害裂缝产生的混凝土,称之为大体积混凝土。

为深入研究一维差分法在大体积混凝土温度计算中的有效性和可靠性[18],本研究在中国甘肃省嘉峪关市一现场工地开展了大体积混凝土试验研究。试验试块水泥型号为P·O 42.5,尺寸为1 m×1 m×1 m的立方体,采用棉毡包裹、洒水养护的保温措施,温度监测采集时间为2020年7月6日至2020年7月29日,共计24 d。如图1所示。

图1 试验试块

4.2 混凝土主要热学性能参数计算

4.2.1水泥水化度计算

混凝土的反应温度为31.9 ℃,其开尔文温度为304.05 K;由式(7)可知,反应的活化能E为33.5 kJ/mol。早期混凝土等效时间的主要计算参数如表1所示。

表1 等效时间计算参数

将计算参数代入式(6),可以得到任一真实时间对应的等效时间,如图2所示。

图2 等效时间示意

运用双指数型水泥水化度计算方法(式(8))求解任一时刻下的水化度,根据试块所采用的混凝土型号,由工程经验可得计算参数a、b的值分别为0.2和1。因此,代入等效时间可计算得到任一真实时刻下的水泥水化度,结果如图3所示。

图3 水泥水化度变化曲线

由图3可知,水泥水化度初期发展迅速,在第5天左右就已经达到了80%以上,到了后期水泥水化反应基本结束,水化速率增长缓慢,随着时间的推移,曲线逐渐趋近于水平直线。

4.2.2比热容计算

取混凝土的入模温度作为试块反应的当前温度,即Tc为31.9 ℃。则由式(9b)可得水泥的假定比热容ccef,为606.96 J/(kg·℃)。试块中各类材料的用量w、材料的比热容c以及混凝土的密度ρ,如表2所示。

表2 比热容计算参数

将上述计算参数代入式(9a),计算结果如图4所示。可以发现,比热容随着水化反应的进行而不断下降,与导热系数变化曲线相似,同样呈现出初期迅速下降,后期趋近稳定近似水平直线的特征。

图4 比热容变化曲线

4.2.3导热系数计算

大量研究表明混凝土硬化后的最终导热系数ku一般为8～12 kJ/(m·h·℃)[6,19]。文中试块的ku值为10 kJ/(m·h·℃),由式(10)可以得到导热系数k随水泥水化度变化的任一时刻下的值。结果如图5所示。

图5 导热系数变化曲线

由图5可知,导热系数k与水泥水化度的变化具有同步性,初期导热系数值快速下降,水化反应基本结束时,导热系数值趋向于稳定。

4.2.4导温系数计算

通过上述计算已分别得到水化度下任一时刻的混凝土比热容c和导热系数k,代入式(11)可得任一时刻下的混凝土导温系数值D,便于后续计算,结果如图6所示。

图6 导温系数变化曲线

对比图3～6可以发现,混凝土的主要热学性能参数与水泥水化度呈负相关的关系。随着水化反应的发展,各类热学性能参数都会呈现初期变化速率极快,后期逐渐将趋近于稳定的变化趋势,且不同阶段数值差异显著,进一步地证明了水泥水化度在大体积混凝土温度计算中的重要性。

4.3 混凝土绝热温升计算

4.3.1混凝土水化热总量计算

通过测定3 d和7 d龄期的水泥水化放热量,由式(13)可得到最终的水泥水化放热量Q01。

(13)

式中:Q3、Q7为龄期3 d和7 d时的累积水化热,kJ/kg。

但是,考虑试块所用的混凝土材料添加了一定量的粉煤灰和矿渣粉,因此仍需对计算所得的水泥水化热乘以相应的调整系数。则混凝土最终水化热的计算式如式(14)所示:

Q0=k1k2Q01

(14)

式中:Q0为经过调整后的混凝土最终水泥水化热,kJ/kg;k1、k2分别为不同掺量的粉煤灰和矿渣粉水化热调整系数,可通过查表获取;Q01为水泥的最终水化热,kJ/kg。

试块的水化放热相关计算参数,如表3所示。

表3 试块水化放热计算参数

根据粉煤灰和矿渣粉的掺量,通过查表计算得到k1、k2的值分别为0.173和0.360。将计算参数代入式(13)、(14),可计算得到混凝土的最终水化热Q0为323.32 kJ/kg。

4.3.2水泥水化热计算

基于不同矿物组成的水泥水化热试验数据及化学反应动力学原理,李东等[20]从胶凝材料水化反应机理出发,提出了一种考虑粉煤灰掺入和温度影响的混凝土水化放热模型。该理论模型下,水泥水化热Q(t)随龄期t变化的函数如式(15)所示:

Q(t)=Q0[1-ae-(kt+b)]

(15)

式中:a、b为与胶凝材料组成有关的影响系数;k为考虑了温度对水化反应速率影响的系数,在恒温条件下为常数。

基于试块的混凝土掺量,结合李东等的研究成果,可以确定a、b、k的值分别为0.978、0.173和0.360,则试验试块水泥水化热计算函数,如式(16)所示:

Q(t)=Q0[1-0.978e-(0.36t+0.173)]

(16)

此外,在实际的水泥水化热计算分析中,通用采用单指数计算式,如式(17)所示:

Q(t)=Q0(1-e-mt))

(17)

式中:m为水泥水化系数,一般为常数。由式(17)可以得到m值的计算式,如式(18)所示:

(18)

将真实时间t和Q0代入式(16)可以得到任一时刻下的水泥水化热Q(t),代入式(18)可以得到任一时刻下的水泥水化系数m,结果如图7所示。

由图7可知,水泥水化系数变化曲线近似呈“直角”分布,初期m极大,随着水化反应的进行,m急速陡降且持续时间极短,约为0.75 d;然后m变化趋于稳定近似水平直线分布,数值为0.737。因此,在大体积混凝土水化热计算中,m通常取其稳定后的数值。同时,由曲线的变化趋势可知,在初期适当放大m值能够更加真实地反映水泥水化放热。

4.3.3绝热温升计算

由于混凝土试块的绝热温升θ(t)并没有通过试验进行测定,因此,研究采用胶凝材料水化放热计算式求解,如式(19)所示:

(19)

式中:W为单位体积混凝土的胶凝材料用量,kg/m3;c(α)为随水泥水化度变化的混凝土比热容;ρ为混凝土的密度;Q0为单位质量混凝土水化热总量kJ/kg;水泥水化系数m取稳定后的数值。

试验试块混凝土的胶凝材料用量为506 kg;将计算所得各类参数代入式(19),可以得到任一时刻下的混凝土绝热温升值,其中最大绝热温升为73.64 ℃。结果如图8所示。

图8 绝热温升变化曲线

4.4 一维差分法混凝土温升计算

4.4.1初始参数确定

一维差分法以厚度为1 m的立方体试块作为研究对象,分为11层,即Δx=0.1 m。从上至下各层编号依次为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。如图9所示。

图9 试块界面分层

根据现场采集的气温数据,初始大气温度为36.7 ℃,初始地基温度为27 ℃,测得的混凝土入模温度为32.12 ℃。其中,每次温度采集的间隔时间为25 min,考虑保温层材料及其厚度通过计算可以得到混凝土的表面放热系数β,为80 kJ/m2·h·℃。

传统的一维差分法通常将环境温度取为固定的常数值,而该值一般为当地气温的平均值。为了更加真实地反应温度波动变化对混凝温度变化的影响,通过采用余弦函数获取当地气温变换的周期函数,计算式如下:

(20)

式中:Ta为气温;Tam为日平均气温;Aa为气温年变幅;t为时间,d;t0为气温最高的时间。

当地日平均气温为28.7 ℃,气温日变幅为32.12 ℃,气温最高的时间为15:00。则当地气温的周期函数如式(21)所示:

(21)

4.4.2关键参数调整

大量实践分析表明,影响一维差分法混凝土温升计算结果的关键参数为导温系数D、水化系数m和放热系数β。

1)导温系数D。

由式(11)可知,影响导温系数D的主要因素是导热系数k和混凝土比热容c;由于试验对象为1 m2的混凝土试块,其体积较小、比表面积大,并不是理想状态下单向传热的大体积混凝土试块。由于一维差分法的理想计算模型为“无限大平板”,其传热方式为单向导热,而真实状态下的大体积混凝土是以向上传热为主的三向导热过程,故在计算中应放大导热系数使其与真实散热情况相接近。因此,在运用一维差分法计算混凝土温度时需对导热系数k乘以放大系数η1。此外,考虑三向导热时,虽然混凝土构筑物的侧面方向会对温度传递产生一定的影响,但其作用相对有限,可假定其最大导热能力为主方向的一半,则η1可以根据混凝土的实际导热状态在1～1.5择取。由于混凝土比热容c受导热状态影响小,故无需调整。

本试验中,考虑试块接近三向导热且为立方体,计算中将η1取为1.4,从而放大由式(11)计算所得的导热系数k。

2)水化系数m。

由图7可知,水化反应的迅速发展,使得水化系数m在初始状态下数值很大,然后急速下降并趋于稳定,且由式(19)可知,m会极大的影响混凝土放热速率。而m急速下降持续的时间约为0.75 d,则可将该期间内的m设为稳定期的2倍,从而更加真实地反映水泥水化反应对于水泥水化系数的影响。

此外,m的大小本身会受到水泥品种、比表面积及浇筑温度的不同而存在明显差异;且m会在初期的极短时间内从较高值下降至极小值,表明混凝土水化反应极为迅速,这个过程虽然十分短暂但却极大地影响温度计算结果,而这种影响在计算过程中不易体现,容易使得计算结果偏低。因此,可将稳定后的水化系数m乘以放大系数η2,以体现前期快速水化反应对温度变化的影响。另外,由于稳定期的m值变化不大且数值较小,当初期水化系数与后期水化系数相差极大时,可将稳定期的m放大2倍等效代替初期快速水化反应,故η2可在1～2之间选取。

由于试块所处的环境温度高,且试块比表面积大,计算中选择将m的放大系数η2取为2。

3)放热系数β。

放热系数β是影响混凝放热速率的一个重要参数,外界因素如保温层、环境温度、太阳辐射等对混凝土的温度作用,直接体现在放热系数上。一维差分法计算时考虑的是单向散热,而实际的混凝土是三向散热,尤其当大体积混凝土多面与空气接触时,计算所得的放热系数β往往比实际的值要小的多,因此,计算时可将放热系数β乘以放大系数η3以反映真实温度变化。另外,在真实环境下混凝土构筑物侧面处的散热状态也会对试块的温度变化产生显著影响,极端情况下可假定侧面散热能力与主方向的散热能力相当,则η3的取值范围可在1～2之间。本试验在计算中选择将β值的放大系数η3取为2。

4)水泥水化热分层调整。

考虑水泥水化热在不同位置处的放热量存在差异,可通过逐层修订混凝土的水化热以降低混凝土温度的理论计算值。由于混凝土水化热从底层至顶层逐级降低,计算假设混凝土水化放热从底层至顶层逐级递减0.05。

4.4.3混凝土温升计算结果分析

分别设置两种工况,计算不同分界面处的混凝土温升值:

1)工况1。引入等效龄期概念,设定环境气温周期性变化,采用基于水泥水化度的一维差分法温度场计算模型,同时考虑比热容和导热系数随水化度的变化。

2)工况2。采用传统的一维差分法,不考虑水泥水化度,比热容、导热系数和水化系数皆取稳定后的数值,不考虑环境气温的周期性变化取当地气温日变化的平均值,其余参数设置与工况1一致。

通过计算可以得到两种工况下不同分界面处任一时刻的混凝土温升值,结果如图10所示。

a—界面0; b—界面1; c—界面2; d—界面3; e—界面4; f—界面5; g—界面6; h—界面7; i—界面8; j—界面9; k—界面10。

由图10可以发现:

1)越靠近上表面,混凝土温度随气温变化愈加显著;且距离混凝土表面越远,混凝土温度随环境温度周期波动的频率越小。

2)初期混凝土水化放热反应剧烈,混凝土温度急速上升,此时混凝土水化温升起主导作用,温升曲线较为光滑;随着水化反应的降低,水泥水化作用放出的热量很小,混凝土温度开始逐渐下降,此时外界环境温度起主导作用,温升曲线随着环境温度出现周期变化,并随着时间的推移愈加明显。

3)相比于传统一维差分法,基于水泥水化度计算得到混凝土温升值明显更高,且达到最高温度时所需的时间也更短。

4)基于水泥水化度的一维差分法,考虑了环境温度的周期性变化。因此,相比于传统的一维差分法,当水泥水化放热作用逐渐降低时,越接近混凝土上表面则相应分界面处的温度受外界环境影响就愈显著。同时,当环境温度周期变化幅度明显时,传统一维差分法计算所得的混凝土温度基本处在震荡温升曲线的中心点处。

5 核心温度对比分析

掌握大体积混凝土核心温度的变化趋势是采取相应措施控制混凝土温度、提升混凝土施工质量的关键,由于第5层分界面位于试块的中心位置,因此该位置处的温度计算值可作为试验试块的核心温度。将试块中心的实际温度值与计算所得的理论值作对比,如图11所示。可以发现:

图11 中心点温度变化曲线

1)混凝土实际最高温度值为65 ℃,达到最高温度的时间为0.98 d;工况1下计算得到混凝土最高温度值为66 ℃,达到最高温度的时间为1.46 d;两者最高温度值相差1 ℃,达到最高温度对应的时间差为0.48 d。

2)工况2下计算得到混凝土最高温度值为62.5 ℃,达到最高温度的时间为1.85 d;与实际温度相比,两者最高温度值相差2.5 ℃;达到最高温度的时间为0.87 d。

3)温升最大值及达到温升最大值的时间,作为大体积混凝土控制的关键因素。在温度上升阶段,工况1的温升曲线与实际温升曲线接近一致,且最高温度值只相差1 ℃,持续时间仅相差0.48 d,能够更加真实地反映混凝土上升阶段的变化趋势。

4)在温度下降段,工况1和工况2温度变化曲线相近,但两者与实际温度变化曲线存在较大的差距。由于试块并不是在标准养护环境条件下养护,而是在室外环境养护,且不定期地对试块进行洒水养护,加之监测期间当地环境气候异常多变,且试块体积小与空气接触面广,并不是理想状态下的一维热传导,使得各类重要计算参数的数值难以准确把握,造成理论温升曲线与实际曲线存在着较大差距。

6 结束语

早期混凝土的温度计算是一个十分复杂的非线性问题,这是由于早期混凝土的温度场计算容易受到自身性能、环境温度等多方面因素的影响。通过引入水泥水化度的概念并考虑多因素的作用,对传统一维差分法进行了改进研究,可以得到以下主要结论:

1)基于水化度概念,考虑水化热、比热容、导热系数随水化度变化的过程,建立了早期混凝土一维差分法温度场计算方法。相比于传统一维差分法,该方法能够更加准确地反映温升曲线变化趋势,且计算结果更加精确。

2)对于早期混凝土的温度场分析,应当考虑早期混凝土导热系数和比热容随水化度的变化,不考虑这两个参数的变化则会导致理论温度计算结果存在温度峰值偏低、温升速度偏慢的问题。