Moran-Sierpinski地毯及Moran-Sierpinski海绵的维数结果

胡 晓 梅

(华中师范大学学报编辑部, 武汉 430079)

图1 Sierpinski地毯的构造

Sierpinski海绵是由奥地利数学家卡尔·门格尔(Carl Menger) 于1926 年提出的一种分形.它形如一座“千窗百孔”的几何大厦.其构造如下.

1) 从一正方体S0开始.

2) 将S0的六个面9等分(立方体的每条棱长均三等分), 相当于将此正方体27等分．

3) 把每一面中间的小正方体去掉, 把体心处的小正方体也去掉, 留下20个小正方体, 并保留它们的表面,得到S1．

图2显示了前面几步S0,S1,S2．

图2 Sierpinski海绵的构造

Moran集[1]作为经典自相似集的推广,有许多关于它的维数研究结果[2-4]. 但是,高维Moran集的Hausdorff维数、packing维数往往难以得到[5-6]. 本文利用Moran 理论将如上定义的Sierpinski地毯及Sierpinski海绵进行推广,得到Moran-Sierpinski地毯和Moran-Sierpinski海绵,它们分别是2和3中的齐次Moran集. 本文利用分形几何中的技巧[7-9],通过计算,分别得到它们的Hausdorff维数, packing维数和上盒维数．

1 预备知识

1.1 Hausdorff维数、上盒维数和packing维数

设F⊆d,ε>0,d中的可列(或有限)子集族{Fi}i≥1称为F的一个ε-覆盖, 如果对所有的i,都有 |Fi|≤ε且这里|Fi|表示Fi的直径.设s≥0,F的s-维Hausdorff测度定义为

F的Hausdorff维数定义为

dimH(F)=inf{s:Hs(F)=0}=

sup{s:Hs(F)=∞}.

F的上盒维数

F的packing维数

上述三种维数分别从不同方面刻画了分形集的复杂程度, 这三种维数之间的关系如下[8]:

下面的质量分布原理是估计维数下界的一种技巧．

引理1[8](Hausdorff维数的质量分布原理)设μ是E上的质量分布, 且对某个s, 存在C>0 和δ>0, 使对所有满足 |U|≤δ的集U, 有

μ(U)≤C|U|s,

则dimHE≥s.

引理2[8](packing维数的质量分布原理) 设E⊂d,

1) 设μ为E上的有界Borel测度, 若存在正常数C,s,r0满足

μ(B(x,r))≥Crs,x∈E,0

则dimpE≤s.

2) 设μ为E上的非零Borel测度, 若存在正常数C,s及正数序列rn→0,使得

μ(B(x,rn(x)))≤Crn(x)s

对所有x∈E成立, 则dimpE≥s.

1.2 R上齐次Moran集

定义1[2]设I=[0, 1].称I的闭子区间族Ι={Iσ;σ∈D}具有齐次Moran结构,如果它满足:

1)I∅=I;

3) 对任意k≥1及σ∈Dk-1,1≤j≤nk, 有

(1)

这里, |A| 表示A的直径．

2 Moran-Sierpinski地毯和Moran- Sierpinski海绵的构造

Moran-Sierpinski地毯T是一个具有Moran结构的非空紧集.很明显, 当mk≡3时,Moran-Sierpinski地毯T是一个经典的Sierpinski地毯．

按如下步骤构造Moran-Sierpinski海绵.

1) 从一个边长为1的正方体J0开始．

Moran-Sierpinski海绵J是一个具有Moran结构的非空紧集.很明显, 当mk≡3时, Moran-Sierpinski海绵J是一个经典的Sierpinski海绵．

3 结果和证明

定理1Moran-Sierpinski地毯T的Hausdorff维数

证明记

首先证dimHT≤s*.对任意t>s*, 存在一子列{ki}, 当i足够大时, 使得

即

(2)

令i→∞, 有

因此dimHT≤t,由t的任意性可得dimHT≤s*．

下面再证dimHT≥s*.令μ是T上的一自然测度, 对任意k阶基本正方形W,

对任意tN时,

μ(U)≤

由质量分布原理, dimHT≥t,由t的任意性,dimHT≥s*.证毕．

定理2Moran-Sierpinski地毯T的packing维数与上盒维数

证明记

先利用packing维数的质量分布原理证dimpT≥s*.令μ是T上的一自然测度, 对任意k阶基本正方形W,

对任意t

(3)

当i足够大时, |Uki(x)|→0,再由(3)式,有μ(Uki(x))≤q|Uki(x)|t.于是根据packing维数的质量分布原理,有dimpT≥t,由t的任意性dimpT≥s*．

再证dimpT≤s*, 此时需要利用关于上盒维数的下面式子:

于是,

vol2(Tδ)≤

因此,

定理3Moran-Sierpinski海绵J的Hausdorff维数

证明令

先证dimHJ≤l*.对任意t>l*, 存在一个子列{ki} 使得当i足够大时有

即

令i→∞, 有

因此dimHJ≤t, 由t的任意性可得dimHJ≤l*．

下面再证dimHJ≥l*.令μ′是J上的自然测度, 对任意k-阶基本立方体W′,

对任意tN′时,

μ′(U′)≤

于是, 由质量分布原理,dimHJ≥t, 由t的任意性, dimHJ≥l*.证毕．

定理4Moran-Sierpinski 海绵J的packing维数与上盒维数

证明记

先证dimpJ≥l*.类似地, 记μ′为J上自然测度, 对任意k-阶基本立方体W′,

对任意t

再证dimpJ≤l*.利用不等式

于是,

因此,