多体量子态基于迭代重排的k可分性判据

周芳宇,王银珠

(太原科技大学 应用科学学院,太原 030024)

在量子信息理论中,纠缠态作为一种重要的物理资源已经被广泛应用于量子通信和量子计算的诸多领域[1-4]。探测一个给定态的纠缠性仍然是国内外众多研究者普遍关注的问题。直到今天已有很多有价值的纠缠判据[5-11],其中探测两体复合量子系统中量子态的纠缠性相对比较容易,但对于多体复合量子系统而言,探测其量子态的纠缠性极其困难,其涉及到多种类型的可分性概念,例如全可分,k可分[12],强k可分[13],Λ可分[14]等。目前国内外关于多体量子态特别是其相对于k体分划的纠缠性识别问题的研究结果相对较少[15]。鉴于此,进一步深入研究多体复合量子系统中量子态相对于k体分划的纠缠性无疑具有重要的理论和实际意义。

在文献[16]中,作者利用密度矩阵元素的重排方法给出了两体量子态可分的一个必要条件,之后该判据也被推广到了无限维情形[17]。重排判据是一种利用密度矩阵元素的置换得到的一种纠缠判据。在文献[18]中,推广了上述重排定义,引入了迭代重排概念。设矩阵Z=(zij)∈Cm×n,令vec(Z)=(z11,…,zm1,z12,…,zm2,z1n,…,zmn)T,矩阵X的重排定义为:

其中T代表转置,Xi,j∈n×n(i,j=1,2,…,m)表示一个n×n的分块矩阵。

M[Am-1,Am]=R(Am-1⊗Am),

则量子态ρ的迭代重排矩阵(记为MIRp(ρ))定义:

文献[18]证明了:如果ρ∈S(H)全可分,则‖MIRp(ρ)‖≤1.

本文将其推广到了多体量子态相对于k体分划的情形,首先讨论了多体量子态相对于k体分划的迭代重排的定义及性质,然后基于此迭代重排的定义,给出了多体量子态k可分的一个必要条件,并通过例子说明该判据是有效的,其可以探测多体k不可分纠缠态。

1 主要结果

为了得出本文的结果,首先给出一些基本定义。

定义1[15]设H=H1⊗H2⊗…⊗Hm,dimHj=dj<+∞,其中Hi是第i个子系统对应的可分复Hilbert空间,称A1|A2|…|Ak)为H的一个k体分划,如果其满足以下条件:

(1)对∀i≠j(i,j∈{1,2,…,k}),有Ai∩Aj=∅,且A1∪A2∪…∪Ak={1,2,…,m};

Ai={ni1,ni2,…,niki},ni1

其中|φs〉∈Hs对每一个s,都是k可分的,{ps}是一个概率分布,则称ρ为k可分的。

定义3设H=H1⊗H2⊗…⊗Hm,dimHj=dj<+∞,ρ∈S(H),令:

由文献[18]得:

接下来,讨论迭代重排矩阵迹范数的性质。

证明根据定义,由于迹范数在局部酉操作下保持不变,故上述结论显然成立。

证明根据迭代重排运算是线性的,以及范数的三角不等式性,有

||T1‖T2‖…‖Tk‖·‖

其中上述过程中第一个不等式是由于:

‖Tj‖=sup{Tr[Tj(ρ(j))]:ρ(j)∈T(HAj),

ρ(j)≥0,Tr(ρ(j))=1}≤1.

接下来,基于迭代重排,给出多体复合量子系统量子态相对于k体分划的k可分性判据。

证明首先证明ρ=|φ〉〈φ|成立。

‖ρA1⊗ρA2⊗…⊗ρAp-1⊗vec(ρAp)⊗

vec(ρAk)T⊗…⊗vec(ρAp+1)T‖=1.

下面举一个具体量子态来解释上述定理的有效性。

例1考虑三体量子态|W〉态和|GHZ〉态:

2 结论

本文首先讨论了多体量子态相对于k体分划的迭代重排矩阵迹范数的一些性质,证明了其满足凸性,酉不变性和LOCC操作下的不增性。然后基于此迭代重排k可分的定义,给出了多体量子态k可分的一个必要条件,得出了多体量子态k可分性的又一个判断方法。