从火热的思考到冰冷的美丽——2021 年全国高中数学联赛加试(A2 卷)第四题的详细分析

江苏省常州高级中学(213003) 李泊明

问题将连续k个正整数从小至大依次写下后构成一个正整数,称为k-连续数.例如依次写下99,100,101 后得到99100101,是一个3-连续数.证明: 对任意正整数N,k,存在一个k-连续数被N整除.

官方标准答案[1]简直拒人千里之外.

荷兰数学教育家弗赖登塔尔曾经这样描述数学的表达形式:“没有一种数学的思想,以它被发现时的那个样子公开发表出来.一个问题被解决后,相应地发展为一种形式化技巧,结果把求解过程丢在一边,使得火热的发明变成冰冷的美丽.”

分析(1)设满足条件的连续k个正整数依次为:x,x+1,x+2,…,x+k-1.为了简单起见,假设它们都是m位数.

评注1这当然可以做到,只要m取得足够大.

评注2关于x的不等式(*)要有解,还需要10m-1≤10m-k,即k≤9×10m-1.

(2)记这个k-连续数为f(x,m),则

下面我们来选择合适的x,m,使得f(x,m)≡0(modN).

评注3为了在模N的意义下化简f(x,m),我们自然希望10m模N的余数很简单.这就联想到欧拉定理: 若(10,N)=1,那么10φ(N)≡1(modN).但是未必有(10,N)=1 成立,于是我们需要将N如下分解.设N=2α5βN1,其中(10,N1)=1,这样f(x,m)≡0(modN) 就拆分为以下两个目标:f(x,m)≡0(mod2α5β)和f(x,m)≡0(modN1).

(3) 先看f(x,m)≡0(mod2α5β) 这个目标.只要取m≥max{α,β},就有f(x,m)≡x+k-1(mod2α5β).从而f(x,m)≡0(mod2α5β)⇔x≡1-k(mod2α5β).

(4) 再看f(x,m)≡0(modN1) 这个目标.因为(10,N1)=1,由欧拉定理,10φ(N1)≡1(modN1),只要取m满足φ(N1)|m,就有

房地产金融风险是指银行为房地产行业提供金融服务，例如筹集、融通资金，进行资金清算服务的过程中，因为各种不能预料到的因素，影响银行的实际收益，使其与银行的预期收益相背离，从而发生经济损失的风险。其主要方面是房地产资金融通方面的风险。

从而

取x满足2x+(k-1)≡0(modN1)⇔x≡-2-1(k-1)(modN1),因为(2,N1)=1,这里2-1是满足2 · 2-1≡1(modN1)的整数.因为(2α5β,N1)=1,所以由中国剩余定理,同余方程组

有无穷多个整数解x,且它们构成以N为公差的等差数列.

(5)解决遗留问题.

①在

的限制下,同余方程组(**) 一定有解吗? 事实上,只要(10m-k)-10m-1≥N,即9×10m-1≥N+k即可.

②m一共要满足哪些条件?m要满足的所有条件如下:这样的m当然存在了.

新写设N=2α5βN1,其中α,β是自然数,(10,N1)=1.由欧拉定理,10φ(N1)≡1(modN1).取充分大的正整数m满足

设x,x+1,x+2,…,x+k-1 是连续k个m位数,即

将x,x+1,x+2,…,x+k-1 依次写下后所得的k-连续数记作f(x,m),则

因为m≥max{α,β},所以f(x,m)≡x+k-1(mod2α5β).因为10φ(N1)≡1(modN1),φ(N1)|m,所以

因为(10,N1)=1,所以(2,N1)=1,记2-1为2 模N1的数论倒数.因为(2α5β,N1)=1,所以由中国剩余定理,同余方程组有无穷多个整数解x,且它们构成以N为公差的等差数列.因为9×10m-1≥N+k,即(10m-k)-10m-1≥N,所以我们可以取x满足(***).因为x≡1-k(mod2α5β),所以

因为x≡-2-1(k-1)(modN1),所以2x+(k-1)≡0(modN1),所以2kx+k(k-1)≡0(modN1),因此

由(****)和(*****)即得N|f(x,m),证毕.

评注4(1)本题不难,但很好地考察了数论的基础知识和表达;

(2)题目的分析过程中多次用到充分性解题,这是数学竞赛的重要思想方法,它常常能大刀阔斧地将解题过程化繁为简.比如本题中我们为了待定的k-连续数的表达式好写,强行让这连续的k个正整数都是m位数(其实并不需要这么强的条件);

(3)在数论题中,我们要习惯把条件写成同余式的形式,因为同余有太多方便的运算性质;

(4)在数论中看到含指数式的代数表达式,联想到费马小定理、欧拉定理、阶、升幂定理是常规的;

(5)中国剩余定理在数论构造性问题中作用很大,这里同余方程组解的具体结构远没有解的存在性重要.