波前校正的变论域模糊控制方法

张亦睿,陈 波,周益林,贾晶晶,李赵仪

(华北理工大学 电气工程学院,河北 唐山 063210)

1 引 言

自适应光学系统主要分为无波前探测型和波前探测型[1],基于哈特曼-夏克(Hartmann-Shack,H-S)传感器的波前探测系统目前仍广泛应用于高速实时校正技术中[2],利用比例-积分-微分(Proportion-integral-differential,PID)算法即可实现较好的效果[3]。但传统的PID控制依赖于变形镜的响应模型[4],响应模型易受扰动影响因此标定过程较为复杂。针对此问题,2017年刘章文等人[5]提出了一种模糊PID控制方法,该方法利用波面加权模板[5],无需对响应矩阵进行标定,摆脱了对变形镜对响应模型的依赖[6],证实了模糊PID控制应用于波前校正的可行性。2020年,张丹玉[7]提出一种双重模糊PID算法,该算法更加灵活,提高了系统的自适应性,但输入输出论域的选取要根据实验环境使用专家经验法判定,不合适的论域选取会影响波面评价指标[7]进而影响系统校正效果。2021年,程爽[8]提出一种基于PID控制的残差校正畸变算法,应用于大幅度畸变波前校正[8],实现了对畸变变量中除周期扩展外残差部分的消除,但仍需对响应矩阵进行分析,计算量较为复杂。

针对上述问题提出一种变论域模糊控制(Variable domain fuzzy control)方法,对波前校正过程进行了优化。变形镜的每一个驱动器都有独立的变论域模糊推理过程,对比例、积分、微分系数分别进行自整定,也就无需对变形镜的响应模型进行标定,同时具有更高的自适应性。波前校正实验的结果表明,经变论域模糊控制校正后波面的波前峰谷值(Peakto Valley,PV)与波前均方根值(Root Mean Square,RMS)均小于传统模糊控制校正后的波面,波前残差的均方根值也更小。控制器性能实验的结果表明,变论域模糊控制较传统模糊控制鲁棒性更高、响应时间更短,最终实现增强系统校正的适应能力、提高校正效率与准确度的目的。

2 变论域模糊控制模型及校正原理

图1 波前校正的变论域模糊控制模型

2.1 波面评价指标的提取

WRS为波前重构过程,设波前重构矩阵为A,WRS计算过程如公式(1)所示:

Δφ=AZn

(1)

WSE为波面评价过程,波面评价过程主要是从实时重构出的波前Δφ中提取波面评价指标P,对应变形镜单个驱动器采集重构波面的深度信息[5]。COV为PID控制时的电压解算过程,传统PID控制跳过WRS和WSE,直接由Zn通过COV解出电压残差ΔV输入到PID控制器。电压残差ΔV可表示为:

ΔV=BAZn=BΔφ=CZn

(2)

式中,B即为变形镜的响应模型矩阵。可以看出,传统PID控制严格依赖矩阵B,而矩阵B的标定又容易受到变形镜温度漂移、振动干扰等因素影响,最终对整个校正过程的精确性与快速性产生影响。同时由公式(2)可以发现C=BA,即变形镜各驱动器相对于H-S传感器子孔径的相对位置矩阵,会限制实验器材在实际光路调试中的安装位置。而在变论域模糊控制中只需要在波前重构之后确定波面评价指标P(n),不需要再对矩阵B进行标定。

经过校正后,变形镜第k次、第n个驱动器的输出电压为:

v(n)(k)=v0+Δv(n)(k)

(3)

(4)

公式(4)中e(n)(k)为第k次、第n个驱动器的波面评价指标P的残差参数,所有残差参数记为e=[e(0)(k),e(1)(k),…,e(n)(k)]T。

即:

(5)

2.2 模糊论域及规则库的设计

首先确定论域的选取范围,包含输入论域{e}和{ec}以及输出论域{Kp}、{Ki}和{Kd},符号{·}表示集合。输入论域的选取参考波面评价指标P的范围,设定{e}和{ec}在模糊集合上的范围分别为[-120,120]和[-6,6]。对于输出论域的选取,当隶属度为正负对称时Kp、Ki和Kd通常需要设定初始值,而隶属度为正分布时则不需要设定初始值[10],因此设定{Kp}、{Ki}和{Kd}在模糊集合上的范围均为[0,1]。其次将模糊集合的范围划分为7个模糊子集,即负大(NB)、负中(NM)、负小(NS)、零(ZO)、正小(PS)、正中(PM)和正大(PB)[11]。模糊控制规则的设计要求如下:误差较大时,控制参数倾向于快速减小误差的效用;误差较小时,控制参数在消除误差的同时,还需要尽量避免系统振荡、减小超调[12]。根据系统在受控过程中对应不同范围的e和ec,建立合适的关于Kp、Ki、Kd的模糊逻辑语句:

1)If(eis NB)and(ecis NB)then(Kpis PB)(Kiis NB)(Kdis PS)

2)If(eis NB)and(ecis NM)then(Kpis PB)(Kiis NB)(Kdis NS)

3)If(eis NB)and(ecis NS)then(Kpis PM)(Kiis NM)(Kdis NB)

……

49)If(eis PB)and(ecis PB)then(Kpis NB)(Kiis PB)(Kdis PB)

最后选取高斯型(Gaussmf)函数构造如表1、表2、表3所示隶属度分布的模糊规则表。

表1 Kp的模糊规则表

表2 Ki的模糊规则表

表3 Kd的模糊规则表

表4 波前校正结果评价指标

2.3 变论域模糊控制算法的设计

变论域模糊算法实质上是在已有规则的模糊控制器的基础上合理添加变论域调节因子,原本的论域范围就会随着误差的变化而实时更新,进而将模糊规则库转变为更加灵活的自适应规则库。输入变量为e,通过伸缩因子α(e)(α∈[0,1])将初始论域[-αE,αE])变换为[-α(e′)E,α(e′)E],如图2所示,无论当论域膨胀还是压缩,都相当于对控制规则进行实施调控,从而提高了控制系统的动态性能,最终达到提升控制精度的效果。

图2 可变论域模糊控制规则变化图

变论域调节因子使用函数法[13]来确定,模糊输入变量的伸缩因子的算式为:

(6)

其中,e∈[-E,E]∈[-120,120],ec∈[-EC,EC]∈[-6,6],τ称为伸缩因子系数,0<τ1<1,0<τ2<1。将和e和ec分别用α、β表示,采用下述公式计算τ(x)的值:

τ(x)=1-ζe-kx2

(7)

则:

τ(α)=1-ζe-kα2

(8)

τ(β)=1-ζe-kβ2

(9)

其中,k称为控制系统灵敏度系数,k>0。在合理的范围内k值越大,论域伸缩的响应速度越快,系统的灵敏度也就越高。ζ称为论域最小取值系数,0<ζ<1。取k=10,ζ=0.1。

模糊输出变量的伸缩因子的算式为:

(10)

式中,Q为比例常数;T为采样周期;P为常数向量;γ(0)为初始值。取Q=100,T=0.001,P=[1,1]T,γ(0)=1。

量化因子ke、kec和比例因子LKp、LKi、LKd的求解按照实际控制系统运行的动态范围,[emin,emax]、[ecmin,ecmax]、[Δkmin(m),Δkmax(m)](m=p、i、d),使用论域正规化[13]变换公式:

(11)

(12)

(13)

2.4 清晰化处理

清晰化过程就是反模糊化的过程,使用重心法[14]可以达到使输出更加平滑的目的。若ΔKp、ΔKi和ΔKd为经过参数整定后的输出量,则Kp、Ki和Kd的最终取值为:

(14)

式中,kp0、ki0、kd0为PID的初始值,均设定为零。在控制过程中,重复上述流程至输出稳定最终实现最优的参数自整定。

3 实验测试与结果分析

3.1 实验设置

波前校正实验中,模拟光源的波长为λ=589 nm,波前畸变由前20阶Zernike多项式表示。H-S传感器孔径面阵为120×120,变形镜驱动器数为49。为保证系统的鲁棒性并提升系统响应的快速性,在波前校正实验的基础上,附加了系统性能对比实验。

3.2 实验结果对比

图3为两种模糊控制算法下波前校正的完整过程。模糊控制与变论域模糊控制校正后重构的波面分别为图3(d)与图3(f),波面峰谷值DPV和均方根值WRMS分别从4.510λ,0.685λ到1.684λ,0.232λ。图4波前复原误差的标准差MSTD由0.206 μm降至0.09 μm。

图3 两种算法的波前校正结果

图4 两种算法波前校正残余误差的标准差

采用频域分析的方法是证明系统性能的有效方法[15]。通过Simulink搭建模糊控制与变论域模糊控制对比仿真实验模型,验证系统对输入信号的跟踪性能,如图5所示。输入采样时间为0.01 s,幅值为1 rad的阶跃信号。模糊控制和变论域模糊控制的阶跃响应曲线如图6所示。两条曲线的稳态误差均为0,通过表5中超调量、上升时间、调节时间和振荡次数四个性能指标对比分析,模糊控制超调量大,振动次数多,调节时间长,充分证明变论域模糊控制具有良好的稳态性能与快速的响应性能。

表5 两种控制器的性能对比

图5 控制系统对比仿真实验模型

图6 输出的阶跃响应曲线

4 结 论

波前校正的变论域模糊控制方法无需标定变形镜的响应矩阵,降低了光路对准调试的难度。借助变论域的自整定特性,校正后的波面峰谷值和均方根值大约为常规模糊控制的50 %,可以更好地实现波前复原。变论域模糊控制器相比于常规模糊控制器,超调量几乎为零,系统调节时间提前了大约33 %。变论域模糊控制方法在保证系统具有更高的鲁棒性,提升系统的快速性的同时,利用参数自整定的特性克服了扰动因素对变形镜响应模型造成的不利影响,增强系统校正的适应能力,缩短了系统的响应时间,提高了校正效率与准确度,对于波前校正更具有实用性。目前已经通过仿真证明波前校正的变论域模糊控制方法具有优势,下一步工作需要利用仪器设备继续进行算法的优化。