理解概念本质 发展数据意识

【摘要】本文以人教版数学四年级下册“平均数”教学为例，引导学生在真实的生活情境中自觉产生用平均数分析数据的需求，在收集、整理与表达数据的过程中理解平均数的概念本质和特有属性，帮助学生发展数据意识，培养学生的数学核心素养。

【关键词】小学数学 平均数 概念本质 数据意识

【中图分类号】G62 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2023）28-0082-04

平均数在小学数学统计与概率领域中起着不可或缺的作用，是统计学中最基础、最重要的概念之一。小学低年级的统计教学主要集中在用统计图表收集、整理数据，进行简单的数据表达。平均数作为一个统计量的学习内容，是学生在小学阶段第一次经历用这个度量进行数据分析的过程，是数据意识初步形成的关键课例。在以往的小学数学教学中，部分教师将教学重心放在了平均数的求法及算法意义上，忽视了学生对统计量概念本质的理解，导致教学情境与生活实际脱节，学生不能充分感知平均数在统计中的价值。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下簡称《2022年版数学课标》）提出“在学习过程中，让学生初步感受现实生活中存在大量数据，其中蕴含有价值的信息，利用统计图表和统计量可以呈现和刻画这些信息，形成初步的数据意识”。本文以人教版数学四年级下册“平均数”教学为例，从统计学的角度设计课堂教学活动，通过“情境中引入概念—理解中分析数据—运用中发展观念”的探索路径，引导学生在真实的生活情境中自觉产生用平均数分析数据的需求，在收集、整理与表达数据的过程中理解平均数的概念本质和特有属性，发展数据意识。

一、在真实情境中产生用平均数分析数据的需求

《2022年版数学课标》指出，数学课程要培养学生的核心素养，主要包括会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界三个方面，数据意识或数据观察是数学语言的主要表现。统计知识的学习不应局限于学会处理数据的方法，统计教学的核心是培养学生的数据意识和数据分析观念，让学生养成数据分析的意识和习惯，形成根据数据分析的结果做出正确判断的思维方式。

学生在学习“平均数”一课之前，已经理解了平均分的含义和除法运算的含义、认识了单式条形统计图，积累了初步的收集和整理、描述和分析数据的经验。在“平均数”一课的课堂导入阶段，教师要充分调动学生的生活经验，设置具有开放性和启发性的问题，以真实的、学生熟悉的情境为载体，引导学生从已有经验出发，主动发现真实情境中蕴含的数学问题和现象，自觉产生用平均数来描述、分析和解决问题的需求，感受平均数对于分析和解决问题的特殊价值，积累数据分析经验，发展数据意识。

首先，教师运用多媒体呈现如图1所示的有挡板的水槽，引导学生思考：“把水槽的挡板拿开，里面的水平面会有怎样的变化？”接着，教师通过动态演示，让学生看到水槽的挡板拿开之后，水平面会变成相同的高度，从而引入平均数的概念。

其次，教师在大屏幕呈现如图2所示的投篮比赛问题情境，让学生自觉产生用平均数分析数据的需求，还原“平均”的本原意义。

[四（1）班组织投篮比赛，每人投10个球，第一组、第二组投中个数统计如表1、表2所示，你觉得哪组的投篮水平更高？

在比较哪组的投篮水平更高时，由于知识的负迁移作用，大部分学生用比较总数的旧经验来思考问题，认为第二组的投篮水平高。在交流、比较和分析之后，学生意识到两个小组的人数不一样，用比较总数的方法来判断哪组的投篮水平更高是不公平的，需要求出每组平均每人投中的个数。通过两组学生投篮情况统计和对比，学生产生了认知冲突和思想碰撞，认识到一组数据的总数并不能代表投篮水平的高低，因为两组的人数不相等，用总成绩进行对比并不合理。有了这样的感受，学生便产生了探究欲望，寻找新的比较方法成为学生的真实需求。学生通过交流讨论，想到了用“分别求出每组平均每人投中的个数后再进行比较”的方法解决问题，从而获得对平均数意义的深刻理解。

二、在解决问题中理解平均数的概念本质

“平均数”一课的教学目标是探索平均数的意义，能解决简单的实际问题；能在简单的问题情境中，合理运用统计图表和平均数，形成初步的数据分析和应用意识。显而易见，平均数的教学不能局限于平均数的求法，不能仅仅停留在算法意义的理解层面，而应在教学过程中突出平均数的意义及其统计意义。因此，教师在教学中要将探寻平均数的计算方法与理解平均数的意义融为一体，在问题创设、数据设置、呈现方式等方面精心设计，以解决问题为主线，引导学生自主探索、合作交流，经历用平均数描述、分析和比较数据的全过程，在用统计方法解决问题的过程中完成概念的意义建构，积累数据分析的经验，理解平均数的本质内涵，感受平均数的价值，发展数据分析意识。

（一）探寻求平均数的方法

教师引导学生根据如图2所示的第一组、第二组的投篮成绩统计情况，在“你觉得哪组投篮水平更高？”这一具体问题的引领下，利用已有的知识经验，自主探求“平均每人投中的个数”的方法。在这个过程中，学生形成了两种不同的解决问题的思路：一是充分利用如图3所示的条形统计图的直观性，通过“移多补少”的方法，找到每一组平均数据的代表；二是先求和再平均分，分别求出两组各自的平均数，第一组的平均数是7个，第二组的平均数是6个。学生经历了移动操作和计算两种方法求平均数的过程，打通了不同方法之间的联系，从而掌握了求平均数的两种方法。

教师在教学设计和组织引导的过程中，没有突出平均数的计算方法，而是在对两组数据比较分析的过程中寻求解决问题的办法，不管是“移多补少”，还是“求和均分”，都能让学生在用数据表达的过程中理解第一组平均每人投中7个、第二组平均每人投中6个的含义，初步理解平均数的概念。

（二）解决真实问题，理解平均数的性质

概念的形成是一个不断深化的过程，是从外部比较具体的非本质特征到内部比较抽象的本质特征的理解。教师仅仅从比较的维度还无法揭示平均数的意义，也无法让学生理解平均数能代表一组数据的整体水平。因此，教师应该从统计学意义上让学生理解平均数的概念本质，使学生学会用数学的眼光来分析和解决真实问题，通过不断强化、辨析的过程理解平均数的性质。

1.研究第一组、第二组的投篮情况，感知平均数的特征

师：第一组的李雷投中的个数是7，算出的平均数也是7，这两个7一样吗？

生1：统计表中的7是李雷投中的个数，另一个7是平均数，这两个数的意义不一样。

生2：统计表中的7是个人的成绩，另一个7是第一组4个人的平均成绩。

生3：平均数7表示第一组的整体水平。

师：你对第二组平均数6是怎么理解的？

生4：平均数6不是某个同学投中的个数，代表的是第二组同学的平均成绩。

生5：这个6是通过计算得到的，是一个虚拟的数。

师：个人最好成绩在第二组，为什么投篮的整体水平比不过第一组？

生6：虽然第二组的林宇投中的个数最多，但是这个组有两名同学投中的个数只有4个，会拉低整体成绩，影响这个组的平均水平，所以第二组投篮的整体水平比第一组低。

生7：组内每个人的成绩都会对平均数有影响。

教师通过问题一引导学生讨论第一组中两个“7”的实际意义，理解平均数的代表性，借助问题二让学生进一步理解平均数的虚拟性，通过问题三让学生感受平均数的敏感性，使学生在不断深入思考与认知冲突中体会平均数与个别数据之间的关系，揭示平均数的本质内涵。学生在用数据分析回答问题的过程中，进一步理解了平均数的性质。

教师通过三个问题的追问，让学生初步理解“平均数能较好地反映一组数据的平均水平”的实质含义。同时，学生体会到平均数与每一个个别数据的关系，即平均数是一个统计量，具有虚拟性，表示的是一组数据的整体水平和集中趋势，而不是某个具体的数据，为下一步理解平均数的本质特征建立了感性认识。

2.研究第三组的投篮情况，感受统计量个数与平均数的关系

平均数容易受到极端数据的影响。为了让学生充分感受到统计量个数的多少与平均数变化之间的关系，教师可以在教学中出示一些例子，组织学生讨论极端数据与平均数的变化情况。例如，教师运用多媒体呈现如表3所示的四（1）班第三组投篮比赛成绩统计情况，请学生算出第三组投篮成绩的平均数。

学生在计算第三组平均投中的个数时出现了两种不同的看法，部分学生认为王莉没有投中，不应该计算在内，另一部分学生认为王莉虽然没有投中，但王莉是这个小组的成员，应该计算在内。不同意见引发了学生激烈的讨论和思维的碰撞，学生在辨析每个数据特点的过程中逐步认识到：平均数是被平均的所有数据的代表，会受到其中每个数据的影响，计算平均数时，数值为0的个数也要考虑在内。

3.研究第四组的投篮情况，基于实践运用平均数

概念教学中建构意义就是帮助学生形成对概念较为深刻的理解，提高学生运用概念解决问题的能力。在明确了平均数的意义与特征后，为了帮助学生进一步理解平均数的特征，教师提出了如下问题，让学生进行分析：“四（1）班第四组4名同学投篮的平均成绩是6个，你能估一估第四组每个同学投中的个数吗？”这是一个开放性问题，教师引导学生清楚表达怎样估计每个同学投中的个数、依据是什么。学生通过思考和交流，知道平均成绩是6个，但并不代表每个同学都投中了6个，可能比6个多，也可能比6个少。学生在交流讨论的基础上，进一步明白平均数是计算得到的，是一个虚拟的数，可能出现在这组数据中，也可能不出现。平均数介于最大数和最小数之间，即使与这组数据的某个数相同，它们的意义也是不同的，平均数只能代表一组数据的集中趋势，不能代表一组数据的个体情况。

接下来，教师又提出问题：“四（1）班第四组4名同学投篮的平均成绩是6个，现在已知3名同学投中的个数如表4所示，那么秦晶晶投中了几个？”这个问题是让学生根据统计量求出具体量，教师引导学生通过逆向思维，求出秦晶晶同学投中的个数是7，再次明晰平均数的意义。

教师不断创设不同的问题情境，通过一系列层层递进的问题设置，赋予平均数不同的意义和价值，体现了统计的基本思想。学生在一次次整理数据、分析数据、做出判断的过程中，展开多维度的思考，自主建构平均数的意义，不仅提高了思维的全面性、深刻性和灵活性，还积累了广泛而丰富的数据分析经验，发展了数据分析意识，获得了对平均数本质内涵的深刻理解。

三、在实际应用中理解平均数的特有属性

数学概念在学生头脑中形成初步表象后，学生需要在实际应用和生活实践中不断深入思考，将新知纳入自己的知识结构，加深对概念本质的理解。对平均数的认识也是如此。平均数意义的理解可以分为以下三個层次：第一层次为计算水平，学会计算一组数据的平均数；第二层次为概念水平，理解平均数的意义；第三层次为统计水平，理解平均数的统计意义和特有属性。因此，学生在经历了解决问题的过程、感知平均数概念的本质以后，教师可以设计四年级学生平均身高的实际问题，引导学生用平均数对生活现象进行判断分析、解释说明，通过知识的运用，进一步理解平均数的统计意义和特有属性。教师把平均数的特点整合到学生身高数据的整理和分析这一具体情境中，让学生在概念应用中深化理解，发展数据意识，培养数学核心素养。

（一）整理数据，感受平均数的“灵敏性”

为了引导学生真切感知平均数是一个虚拟的数，它具有灵敏性、容易受到极端数据的影响，教师设置了“求四（1）班学生的平均身高”的问题情境。教师收集了四（1）班各小组学生的身高数据之后，借助Excel表格整理数据，要求学生仔细观察Excel表格中每次输入一个新的身高数据时，每一组学生身高平均数的变化，尝试寻找平均数的特征。

教师逐一将每个小组中每名学生的身高数据输入Excel表格中，即时生成每一组学生身高的平均数，每输入一个新的身高数据，“平均身高”一栏的数据就会发生变化。每一组学生身高的平均数一会儿变大、一会儿变小，每输入一个新的数据，都牵动着学生的思维，学生在这一过程中直观地感受到了每一个数据对平均数的影响。学生能深刻地体会到：在一组数据中，任何一个数的变化都会影响平均数，平均数既“灵敏”又“善变”。

（二）分析数据，感受平均数的“代表性”

在分析了四（1）班学生的平均身高数据之后，教师进一步提出问题：“请同学们观察四（1）班各小组学生的平均身高，你能估一估四年级学生的平均身高吗？”由于数据量较多，学生估计四年级学生的平均身高各不相同，同时也感觉到在处理特别多的数据时，表格分析数据不够直观。此时，教师适时引入数据分析的另一种方法，绘制特殊的统计图——散点图，散点图具有数形结合、直观易懂的优势，可以帮助学生体会平均数的“代表性”。教师运用多媒体进行动态演示，从四年级一个班级学生的身高散点图，到两个班级学生的身高散点图……到五个班级学生的身高散点图，如图4所示。随着散点图人数不断增多，散点的集中趋势越来越明显。此时，教师在图中点子最密集的地方出示一条红色直线，让学生感悟平均数的趋中性，深入理解平均数能够代表一组数据的集中趋势的特点。

围绕四年级学生的平均身高这个情境，教师提出了以下问题：“四年级学生王军目前的身高是132厘米，请同学们结合四年级学生的身高统计散点图，分析王军的身高情况并提出建议。平时生活中还有哪些情况需要用平均数来分析解决？”问题的设计主要培养学生的数据分析、判断能力，引导学生根据对平均数的理解来解决生活问题、解释生活现象，让学生感受平均数在生活中的广泛应用。

平均数的统计学意义和特有属性是学生理解的难点。培养学生的数据意识，需要让学生经历调查研究、收集数据、分析判断的过程，但在课堂有限的时间和空间里，无法让学生完整地体验统计的全过程。在课堂教学中，教师借助Excel表格的强大功能，通过观察输入数据的过程，借助多媒体的直观性优势，让学生感受平均数的“灵敏性”；教师把平均数放到了一个不同的视角和更广的领域，通过散点图由少到多、集中趋势越来越明显的过程，让学生理解平均数的“代表性”。信息技术与数学教学的融合，不仅展现了数据分析方法的多样性，提高了教学效率，还帮助学生扫清了理解障碍，突破了学习难点，让学生对平均数的理解水平突破算法水平和概念水平，最终达到统计水平的层次。

统计教学的核心是发展数据意识，在“平均数”这一教学课例中，求平均数的方法、数据分析是显性知识的学习，统计概念的理解和感悟、数学推理能力的发展、数据意识的提高则是深层素养的培养。在教学实践中，教师可以将真实情境问题作为载体，从学生已有知识和经验出发，以解决问题为主线，引导学生从数据处理和分析的角度，感受平均数对分析和解决问题的价值，获得对平均数概念和意义的深刻理解，从而发展数据意识，提高数学核心素养。

參考文献

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］史宁中.基本概念与运算法则：小学数学教学中的核心问题［M］.北京：高等教育出版社，2013.

［3］刘加霞.“平均数”的本质及小学生理解水平解析［J］.湖北教育（教育教学），2021（2）：36-38.

作者简介：赖艳彬（1978— ），广西南宁人，硕士研究生，高级教师，主要研究方向为小学数学教学。

（责编 韦榕峰）