用活“主元” 所向披靡

鲁和平

(浙江省嘉善第二高级中学,浙江 嘉善 314100)

一道数学题中,一般含有很多个变量、参数、常数.如果能根据题目要求,打破常规,不拘一格,确定一个处于突出主导地位的元素为“主元”,则解题思路豁然开朗.如何灵活机智地确定“主元”,巧妙地运用“主元法”解题,则要因题制宜,审时度势.

1 反客为主,出奇制胜

在方程或函数里,自变量与参数的地位不是一成不变的,看问题的视角不同,就会发生戏剧性的变化.

例1设方程x2+ax+b-2=0(a,b∈R) 在(-∞,-2]∪[2,+∞) 上有实数根,求a2+b2的取值范围.

解析本题若直接由条件出发,利用实根分布条件求出a,b满足的条件,亦可获解,但过程繁琐.在此,我们反客为主,视方程x2+ax+b-2=0(a,b∈R)为aOb坐标平面上的一条直线:l:xa+b+x2-2=0,且P(a,b)为直线上的点,则a2+b2=|PO|2, 设d为点O到直线l的距离,由几何条件知:

例2 设f(x)=(1+a)x4+x3-(3a+2)x2-4a,对任意实数a,试证明:

(1)方程f(x)总有一个相同的实数根;

(2)存在x0∈R,恒有f(x0)≠0.

解析将f(x)以a为主元整理,得

f(x)=(x4-3x2-4)a+(x4+x3-2x2).

即f(x)=(x-2)(x+2)(x2+1)a+x2(x-1)(x+2).

因为对任意实数a,总有f(-2)=0,故对任意实数a,方程f(x)=0总有实数根x=-2.

因为对任意实数a,有f(2)=16≠0,

故对任意实数a,存在x0=2,恒有f(x0)=16≠0.

2 巧设主元,迅速降幂

对于高次方程(或函数),可以通过整体换元的方式,达到降幂的效果.

例3设a,b∈R, 满足2a+b+2≤0.证明:方程x4+ax3+bx2+ax+1=0 至少存在一个正实数解.

3 咬定主元,巧设函数

对于多变量的不等式问题,可以咬定其中一个作为主元,再运用函数的方法加以解决.

由x+y+z=1,得z=1-x-y.

则x2y+y2z+z2x=x2y+y2(1-x-y)+(1-x-y)2x.

视x为主元,

设f(x)=x2y+y2(1-x-y)+(1-x-y)2x

=x3+(3y-2)x2+(1-2y)x+y2-y3,

=(3x-1)[x-(1-2y)].

因为x-(1-2y)=x+2y-1=(1-y-z)+2y-1=y-z≤0,

所以f′(x)≥0,

4 变中求定,固定主元

在多变量题目中,如果每个变量地位相同,可选择其中一个为主元,并将其固定,减少变量个数,化陌生为熟悉.

多关注自己的晚年生活。老人将儿女养育成人很不容易，承受了太多艰辛。儿女长大成人，有了自己的事业和生活，正是父母彻底放手的最佳时机。放下“一辈子为儿女活”的思想，打开“为自己而活”的晚年生活模式，养花种草、背包远游、上老年大学、跳广场舞，快乐地享受晚年生活。

例5在△ABC中,求y=sinAsinBsinC的最大值.

所以y=sinAsinBsinC

固定A, 由于sinA>0,

5 多管齐下,水到渠成

“主元法”大多是处理“代数问题”,但“代数问题”的求解往往是多姿多彩的.因此,解题时,除了确定“主元”外,还要善于灵活运用多种“代数问题”的解题技巧与手段.

例6已知a,b,c∈R, 且a+b+c=12,ab+bc+ca=45, 试求abc的最大值.

解析由a+b+c=12 ,得a+c=12-b.

代入ab+bc+ca=45 的变形式b(a+c)+ca=45,得b(12-b)+ca=45.

即ca=b2-12b+45.

即b2-8b+12≤0.

所以2≤b≤6.

于是abc=(b2-12b+45)b=(b-3)2(b-6)+54≤54.

不难得到,当a=3,b=6,c=3 或a=6,b=3,c=3 或a=3,b=3,c=6 时,abc取得最大值54.

6 韦达定理,减元神速

韦达定理是涉及两个变量的两个等式,有的还与参数建立联系.这就为我们减元提供了思路,随着元的个数减少,主元随即凸显出来.

由x1+x2=1,得x1=1-x2,x2-1=-x1,

=x1+2x2lnx2

=1-x2+2x2lnx2.

g′(x)=2lnx+1.

7 巧换主元,妙手回春

有些问题的主元只有一个,并且非常显露,但要求解,则无从下手.这时要善于研究式子的结构特征,迅速联想,巧妙换元,将情景化为我们非常熟悉的问题.

8 轮流做主,同心协力

有些多变量最值问题,可以划分为几个阶段解决.即在不同的阶段选择不同的主元解决阶段性的问题,各个变量轮流做主,完成各自在不同阶段的任务.选择主元意味着消元,直到所有变量消失,则问题解决[1].

解析先以c为主元并消去c,配方得

再以b为主元并消去b,由均值不等式,得

最后以a为主元,由均值不等式,得

故所求最小值为4.