谱比法反演震源谱拐角频率的改进研究

夏晨　利学　周卓群　戚承志

摘要： 由于地震波的信噪比，傳播路径效应，震源机制差异和震源过程等因素的影响，传统的谱比法反演的拐角频率结果不精确，离散性大。以谱比法为基础，引入Bootstrap重采样法，Kolmogorov－Smirnov检验以及谱比趋势检验的筛选方法，对谱比法的反演结果进行精度评定和筛选，提高谱比法反演的拐角频率精度。将此方法应用于汶川地震余震的拐角频率、地震辐射能量、辐射效率以及能矩比等震源参数反演，建立拐角频率与地震矩之间的对应关系，验证谱比法以及三种筛选方法的可靠性。汶川地震余震震源参数反演结果表明，汶川地震余震的拐角频率与地震矩对应关系M0∝f-3.295±0.25c存在与自相似关系M0∝f-3c偏离现象。在地震释放能量方面，存在能矩比随地震矩增大而增大，以及大地震的辐射效率大于小地震的现象。

关键词： 谱比法; Bootstrap方法; 拐角频率; 地震矩; 地震辐射能量; 能矩比

中图分类号： P319文献标志码：A 文章编号： 1000－0844（2023）04-0954-09

DOI：10.20000/j.1000－0844.20210903002

Improvement in the inversion of corner frequency of the source spectrum using the spectral ratio method

XIA Chen LI Xue ZHOU Zhuoqun QI Chengzhi1，2，3

Abstract：  Corner frequency is an important dynamic parameter in seismic source physics. Accurate calculation of the corner frequencies is important for obtaining other seismic source parameters and improving the source spectrum model. However， corner frequency inversion results by the traditional spectral ratio method are inaccurate and discrete due to the signal－to－noise ratio of seismic waves， propagation path effects， differences in source mechanisms， and source processes of earthquakes. In this work， we utilized the spectral ratio method to estimate the corner frequency and implemented three tests （Bootstrap resampling method， Kolmogorov－Smirnov test， and spectral ratio trend test） to evaluate the calculated corner frequencies. These three tests can improve the accuracy of the corner frequencies estimated by the spectral ratio method. The spectral ratio method and these three tests were validated by calculating the seismic source parameters of the aftershocks of the Wenchuan earthquake from May 12 to September 12， 2008. We obtained the corner frequency fc， radiation energy ER， radiation efficiency ηR， and energy－moment ratio e of aftershocks with magnitude 3.7-6.5. According to the calculated results， the relationship between the corner frequency and the seismic moment can be expressed as M0∝f-3.295±0.25c， which is not in agreement with the self－similarity law M0∝f-3c. The seismic radiation energy increases with the earthquake magnitude. When the magnitude increases from 3.7 to 6.5， the energy－moment ratio e also increases from 8 × 10-6 to 5 × 10-5， and the radiation efficiency ηR increases from 0.32 to 0.9. If the self－similarity law holds， then the energy－moment ratio e and the radiation efficiency ηR should be constant. The inversion results of source parameters of Wenchuan earthquake aftershocks show that in terms of the energy released by earthquakes， the energy－moment ratio increases with the seismic moment， and the radiation efficiency of large earthquakes is greater than that of small earthquakes.

Keywords： spectral ratio method; Bootstrap method; corner frequency， seismic moment; seismic radiation energy; energy－moment ratio

0 引言

地震震源理论是地震学的重要研究内容。近年来，地震震源研究取得较大进展，根据对台站记录的反演求解地震震源参数，也就是所谓的量化地震已经成为地震学研究的重要工作。震源参数对理解震源物理和震源过程具有重要的意义。作为震源物理中重要的参数，拐角频率直接影响着震源谱模型，因而拐角频率与其他震源参数之间的关系被众多学者讨论。

在Brune的震源谱模型中，地震远场位移幅值谱的高频与低频渐近线交点处的频率被定义为拐角频率［1］。拐角频率的精确反演，对求解震源参数与完善震源谱模型有着重要的意义。朱新运等［2］使用地震位移谱反演拐角频率，发现地震的拐角频率随地震序列的变化特征可能与区域的应力场有关。Izutani［3］使用谱比法反演拐角频率，并得到拐角频率与地震矩之间的关系为M0∝f-3.3±0.2c。杨志高和张晓东［4］通过对首都圈地区117个2.5

谱比法最先由Bath［5］提出，用于计算地层介质的品质因子。其基本思想是：选取两个标准的地震记录，将时间域上的地震记录进行傅里叶转换到频率域计算地震的振幅比，通过幅值谱的比值计算震源参数。Ide等［6］指出与频率无关的品质因子会出现人为的尺寸依赖性，从而导致谱比法计算的地震参数结果不精确。Imanishi等［7］提出并验证了一种稳定的谱比法，并使用修正经验格林函数法（MEGF）计算拐角频率与地震矩。谱比法的优点是应用广，计算稳定性好，可以避免数值方法难以消除的场地效应和传播路径效应的影响。但其缺点也较为明显，需要依赖的因素较多，地震波形截取长短，地震震级大小以及台站所记录到的地震数据都会对谱比法的计算结果产生影响 ［8］。在统计学中Bootstrap重采样法（自助法）用于偏差分析与方差的统计推断。Bootstrap重采样法由Efron ［9］提出之后，已经有部分学者将其运用到地球物理学的研究。Weber［10］利用自助抽样法对震源参数进行误差分析。Cesca等［11］通过Bootstrap重采样对发震断层位置进行了评估。王乐洋等［12］以Amatrice与Visso地震试验验证了Bootstrap重采样法用于震源参数精度评定的有效性和可靠性。

为了提高拐角频率的反演精度，本文以谱比法为基础，引入统计学中的Bootstrap重采样法（自助法）、Kolmogorov－Smirnov检验以及谱比趋势检验对谱比法反演的结果进行筛选。以2008－05－12—2008－09－12期间汶川地震余震记录为例，反演拐角频率。最后构建汶川地震余震的拐角频率与地震矩之间的对应关系，并计算地震辐射能量、能矩比以及辐射效率等震源参数。

1 数据选取

本文原始数据来自2008－05－12—2008－09－12期间的由国家数字强震动台网的76个台站获得385次震相完整的汶川大地震余震加速度记录。上述地震记录为原始数据，从中挑选需要的余震加速度记录。地震记录的选取遵循每次地震至少有3个台站记录，每个台站至少能记录三次地震的原则 ［13］。选取的余震位于龙门山断裂带各个方位。基于此原则选取该时间段内共26个余震的相关记录。

在选取的地震事件中震级MS6以上地震共8个，MS5～MS6共5个，MS4～MS5地震共9个，MS4以下地震共4个。选取的台站共有42个，每个台站均包含NS（南北方向），EW（东西方向）和UD（上下方向）三个方向的强震动加速度时程。选取的地震震源位置和台站位置如图1所示。

2 方法

以谱比法为基础，反演地震的拐角频率。震源谱模型采用Brune［1］的ω-2震源谱模型，即S波幅值谱U（ f ）可以表示为：

根据选取的汶川地震余震事件，从中选取震源位置相近的大、小地震形成一组地震事件，并基于上述谱比法计算两个地震事件的拐角频率。大、小地震的选取原则为：大地震与小地震的震级相差1～2级，并且震源距离小于50 km。对于不同地震组，优先选取重复台站较多的地震组，最多重复台站可达12座台站。表1中展示了5组6级以上地震及其配对的小震。在计算过程中，将式（4）中的地震矩之比M01/M02以及大、小地震的拐角频率fc1和fc2设置为未知数，并对这三个未知数进行网格搜索计算。

由Hanks和McGuire［15］提出的圆盘型破裂假定下的解，拐角频率可定义为：

式中：β为剪切波速，取3 300 m/s，Δσ为应力降。对于fc1与fc2的网格搜索范围，将式（5）的计算结果fcb设置为理论值，搜索范围为0.5fcb≤fc≤1.5fcb。对于地震矩之比M01/M02，设置的搜索范围为1～103。将观测结果的谱比与理论预测的谱比结果进行对比，在上述搜索范围里确定最优参数。

由于地震波的信噪比，传播路径效应，震源机制差异和震源过程等因素都会影响谱比法的计算结果，造成反演的拐角频率具有一定的离散性。为降低这些因素的影响，提高谱比法计算结果的可靠性，对谱比法反演的结果引入三种筛选方法——参数的Bootstrap重采样评定，Kolmogorov－Smirnov正态分布检验以及谱比趋势筛选。保留同时满足这三个筛选过程的反演结果，剔除不符合任一筛选过程的结果。

2.1 Bootstrap重采样评定

在统计学中，Bootstrap重采样法或者叫自助抽样法是一种从给定训练集中有放回的均匀抽样方法，也就是说，每当选中一个样本，它有可能地被再次选中并被再次添加到训练集中。自助法由Efron提出，通过重采样的样本来描述真实数据的分布情况。当样本来自总体，能以正态分布来描述，其抽样分布为正态分布;但当样本来自的总体无法以正态分布来描述，则以漸进分析法、自助法等来分析。自助法对小数据集的检测效果好，且自助法可以通过方差的估计构造置信区间，使其运用范围得到进一步延伸。Bootstrap重采样法不需要任何的计算模型假设以及精确的计算公式，只需要对样本的统计量进行检验就可以描述真实数据的分布情况以及方差。因此使用Bootstrap重采样方法可以避免复杂的运算，合理地检验计算结果。

在对汶川地震余震拐角频率的反演中，将理论值fcb代入式（4）得到谱比曲线的理论结果，由网格搜索得到的最佳拐角频率和地震矩之比代入式（4）得到谱比曲线的反演结果，利用两者的差值创建一个Bootstrap样本。利用该样本对式（4）的理论谱比曲线进行调整，并计算调整后的谱比曲线拐角频率。为保证反演的精度及计算效率，对每组反演的谱比曲线结果采用1 000次Bootstrap重采样分析。

为检验反演结果是否通过Bootstrap重采样检测，对拐角频率值的Bootstrap取样设置为95%的置信区间。若取样结果集中在95%的置信区间之内，则认定此计算结果为合理的，若取样结果较为分散或者在置信区间之外，将舍弃此计算结果。

图2（a）与（b）中展示了6.5级与4.7级地震组成的地震组中拐角频率1 000次Bootstrap取样情况。（a）为6.5级地震的拐角频率重新取样情况，拐角频率网格搜索区间为0.05～0.15 Hz，由图中黑色重采样点可以看出，重采样情况超出95%的置信区间。而（b）为同一组地震事件中震级为4.7级的地震，搜索区间为0.5～1 Hz，从图中可以看出重采样之后反演的拐角频率值符合95%的置信区间阈值。由于一组地震中大地震的重采样结果不符合95%的置信区间要求，因此对于此计算结果进行舍弃。图2（c）与（d）为另一组地震组两次地震的拐角频率采样值，大小地震的重采样计算均符合95%置信区间的要求，因此该地震组计算结果可取。

2.2 Kolmogorov－Smirnov分布检验

理想情况下，理论值及其与实际观测数据的差值的离散度将遵循正态分布［16］。Kolmogorov－Smirnov检验是基于累积分布函数，用以检验一个经验分布是否符合某种理论分布或比较两种经验分布是否有显著差异的方法。本文利用K－S實验的前一种作用，检验log（原始数据）-log（理论计算值）差值的离散度是否符合正态分布。

图3（a）中展示了符合差值正态分布的结果，其原始数据为6.5/4.7级的地震组事件中LXM台站所记录。LXM台站三个方向的计算结果均符合正态分布，因此该计算结果符合K－S检测的要求。而图3（b）中的计算结果不符合K－S实验中的正态分布，因此剔除该台站的数据计算得出的拐角频率结果。

2.3 谱比趋势的筛选

经过上述两个步骤的筛选之后，得到同时满足Bootstrap重采样和差值正态分布的计算结果。最后一步，将谱比法反演的震源参数带入式（4），从而得出反演的最佳谱比结果。对比观测记录的谱比与反演的最佳谱比结果的曲线重合程度，做最后的筛选。

图4为经过最终筛选之后得出的两张图，图中红色曲线为反演的理论值所绘出的曲线，而黑色的曲线为汶川地震余震记录由傅里叶变换之后得出的结果。图4（a）中红色曲线与黑色曲线的趋势基本相同，因此该台站的计算结果同时符合上述三个筛选要求。而图4（b）中红色曲线与黑色曲线的趋势相差甚远，不符合谱比趋势的要求，此计算结果应剔除。

3 计算与结果分析

运用上述谱比法对所选取的汶川地震余震拐角频率进行反演，进一步通过三个筛选法则保留符合要求的拐角频率，计算的震源参数如表2所列。

3.1 拐角频率与地震矩的对应关系

拐角频率作为地震谱中高频与低频阶段渐近线的交点 ，反映了地震震源尺度的大小 ［17］。地震矩是继地震能量之后的第二个关于震源定量的特征量，也是描述地震大小的绝对力学量。建立拐角频率与地震矩之间的关系具有重要意义。Kanamori和Anderson以及Hanks在其研究中指出，拐角频率与地震矩之间的关系遵守地震的自相似法则，即大小地震震源参数之间存在着一定的比例关系，拐角频率与地震矩的关系式可以表示为［18－19］：

M0∝f_c^-3（6）

由于地震震源的复杂特征，式（6）不完全成立。Aki［20］提出地震存在自相似性偏离现象。使用反演和筛选之后的汶川地震余震拐角频率值fc，在对数坐标系下对拐角频率及相应的地震矩进行拟合，得到二者的对应关系。

由式（5）的计算结果可以得到不同震级地震对应的拐角频率理论值。选取汶川地震余震记录，其中最小震级为3.7级，由谱比法反演得出对应的拐角频率为2.52 Hz，最大震级为6.5级，对应的拐角频率为0.107 Hz。将谱比法反演的拐角频率结果与Hanks和McGuire［15］的理论值进行对比，结果如图5所示。图5中黑色的点为经过谱比法反演所得到的结果，红色的点为拐角频率的理论值。结果显示，使用谱比法反演的拐角频率结果在小震级时比理论值小，而在大震级时比理论值大。在图（5）中，对数坐标系下理论值的分布成直线型，直线斜率为-3，对应地震自相似条件下的M0∝f-3c。将谱比法反演得到的拐角频率在对数坐标系下进行拟合得到黑色实线，黑色实线的斜率为-3.295，拟合区间为（-3.523，-3.06），对应本文所得到的地震矩与拐角频率的关系式，如式（7）所示。由谱比法反演结果拟合的曲线斜率比理论值的曲线斜率小。

M0∝f_c^-3.295±0.25（7）

图6对比了反演的汶川地震余震拐角频率值与Izutani和Kanamori及Izutani的拐角频率反演结果。图6中黑色方形的点为本文的计算结果，绿色圆形以及红色三角形的点为Izutani和Kanamori与Izutani的拐角频率反演结果。 Izutani和Kanamori［21］得到拐角频率与地震矩的关系式为：

式中：μ为剪切模量;ΔσS为应力降。表2中的计算结果表明，地震事件中随着震级从3.7增大到6.5时，辐射效率ηR由0.32增大到0.9。而产生的摩擦能EH大部分会以热能的形式消散。能矩比e以及辐射效率ηR随着震级逐渐增大，这两个现象说明在震级增大过程中地震辐射能量ER在地震释放能量的占比逐渐变大，因此汶川地震余震在地震释放能量方面，存在能矩比随地震矩增大而增大，以及大地震辐射效率大于小地震辐射效率的现象。表明大地震相对于小地震而言是更有效率的地震能量辐射体，地震自相似性偏离现象仍然存在。

4 结论

本文以谱比法为基础，引入三种筛选方法—Bootstrap重采样方法，Kolmogorov－Smirnov检测以及谱比趋势筛选试验。避免地震波的信噪比，传播路径效应，震源机制差异和震源过程等因素对拐角频率的反演结果造成影响，提高拐角频率的反演精度。将此方法运用到对2008－05－12—2008－09－12期间汶川地震余震观测记录的震源参数反演，得出3.7～6.5级地震的拐角频率fc，地震波辐射能ER，辐射效率ηR以及能矩比e等震源参数，并讨论参数之间的关系。

根据上述方法反演得出拐角频率与地震矩的关系可以表示为M0∝f-3.295±0.25c。地震辐射的能量随着地震震级的增大而增大。当震级从3.7增大到6.5时，能矩比e由8×10-6增大到5×10-5;輻射效率ηR由0.32增大到0.9。反演结果表明，汶川地震余震的拐角频率与地震矩对应关系存在自相似偏离的现象。地震释放能量方面，能矩比随地震矩增大而增大，大地震的辐射效率大于小地震辐射效率的现象。

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收稿日期：2021-09-03

基金项目：国家自然科学基金（51708018）;北京市教委科研项目－科技计划一般项目（KM202010016016）;北京建筑大学市属高校基本科研业务费专项资金资助（X18268，X19025）

第一作者简介：夏 晨（1989-），男，博士，副教授，主要研究方向为强地震动模拟，震源物理以及地下结构抗震。

E－mail：xiachen@bucea.edu.cn。