从否认到确认、从表面到本质、从个别到一般——以“平行四边形的面积”的教学为例

□江 燕 郜舒竹

本刊上一期刊登的《“平行四边形的面积”教学中的问题分析》［1］一文指出，有关“平行四边形的面积”的教学，常常存在以下问题：教师只重视学生对“平行四边形的面积=底×高”的确认，忽视学生在“长方形面积等于相邻两边长度乘积”图式影响下形成的“平行四边形的面积等于相邻两边长度乘积”的直觉错误的否认；教学只强调利用转化将平行四边形变为长方形来推导和记忆面积公式，忽视引导学生对图形面积测量本质的理解、对转化行为背后原因的探究以及对计算方法实质的认识；教材只针对一个平行四边形采用一种剪拼方式将其转化为长方形，根据“长方形的面积=长×宽”得出“平行四边形的面积=底×高”的结论，忽视学生构建多种转化方式的可能性和对结论合理性的质疑。

基于此，学生会形成“只知道是什么，不知道不是什么”的单一思维，“知其表面，不知其本质”的浅层思维，以及“离开公式算不来，没有数据算不出”的固有思维，从而导致对内容的理解模糊不清、对方法的迁移无能为力。因此，与平行四边形的面积相关的认知活动不应该只是对公式的推导、运用和记忆，更应该注重对图形本质及其关系的理解和规律的发现，是“从否认到确认、从表面到本质、从个别到一般”的认知过程。

一、从否认到确认

人在认识和了解陌生事物时，会无意识地运用已有的经验。由于个体与生俱来的主观差异性，不同的个体对同一经验会形成不同的认识和理解，在经验的影响下，对陌生事物的认识和理解也会有所不同，既包括积极的正见，也包括消极的误解。因此，人在承认和确认陌生对象“是什么”的同时，也应对其“不是什么”进行否认和筛选。同理，对“为什么是”的解释和对“为什么不是”的解读之间也应存在共生与并存的关系。只有排除了可能性中的“不是”，才能真正相信并确定“是什么”以及“为什么是”。所以，指向学生认知的课程教学，不仅要有“是什么”和“为什么是”的学科逻辑，还要有“如何知道并相信”的认知逻辑，即一种“从否认到确认”的认知过程。这样的认知过程可以概括为“枚举—否认—承认—确认”的基本框架（如图1）。

图1“从否认到确认”认知框架示意图

●枚举：根据学生已有经验枚举“可能是什么”。

●否认：通过对诸多可能性进行比较筛选，得到“不可能或不应当是什么”。

●承认：在筛选的基础上承认“应当是什么”。

●确认：在承认的基础上进一步证实并确认“一定是什么”。

这样的认知过程遵循的思维逻辑是“为知是什么，先知不是什么”，强调否认是承认与确认的前提，对“是”的承认与确认需要经历对“不是”的否认。［2］

以“平行四边形的面积”为例，学生已经知道“长方形的面积=长×宽”，基于长与宽之间的垂直关系可能得出“平行四边形的面积=底×高”的猜想（以下简称“可能性1”）。同样，学生在长和宽是相邻关系的影响下也会形成“平行四边形的面积等于相邻两边长度乘积”的猜想（以下简称“可能性2”）。对于这两种可能性，实际教学时教师往往倾向于对可能性1 的承认和确认，忽视对可能性2 的否认。这使得学生在知道平行四边形的面积是“底和高的乘积”时，仍对“为什么不是相邻两边长度乘积”存有疑问。所以，若想承认并确认“平行四边形的面积=底×高”，在此之前要先让学生经历对“平行四边形的面积等于相邻两边长度乘积”的否认。那如何引导学生经历这一否认过程呢？教师可以采用逆向推理的方式：若平行四边形和长方形的面积都可以用“相邻两边长度乘积”进行计算，那么“对应边长度相等的长方形和平行四边形的面积一定相等”。因此，要完成对“平行四边形的面积等于相邻两边长度乘积”的否认，学生需明确“对应边长度相等的长方形和平行四边形的面积不相等”。具体到教学实践中，可以通过下面的数学活动来实现。

●数学活动：给定邻边长度，尽可能多地画出符合要求的长方形和平行四边形。

在数学活动中，学生可以通过画一画发现，给定相邻两边长度只能画出一个长方形，却可以画出无数个平行四边形，从而认识到：当长方形相邻两边长度确定时，长方形的形状和面积唯一确定；而当平行四边形相邻两边长度确定时，平行四边形的形状和面积都不能确定（如图2）。因此，对应边长度相等的长方形和平行四边形的面积并不相等。

图2 长方形旋转为平行四边形示意图

实际上，这里采用了一种“从给定到确定”的推理方式，这种方式建立了一种从原因到结果的因果关系。比如对长方形而言，若只给定长或宽其中之一，长方形的面积是无法确定的；若同时给定长和宽，此时长方形的形状和面积大小存在且唯一。这表明长方形的面积是因长和宽的同时给定而确定的，即它的面积由长和宽的长度共同决定。［3］而对平行四边形而言，同时给定相邻两边长度，平行四边形的形状和面积存在但并不唯一，也就是说，它的面积不由相邻两边长度共同决定。因此，学生就可以确认“对应边长度相等的长方形和平行四边形的面积并不相等”，进而实现对“平行四边形的面积等于相邻两边长度乘积”的否认，为“平行四边形的面积=底×高”的承认和确认提供前提。

二、从表面到本质

“从表面到本质”是一种“知道是这样，还要知道为什么是这样”的认知过程，在数学教学中则体现为既要知道知识是什么，还要知道知识的生成过程，即要深入理解知识的本质及其产生的原因，不能停留在表面的认知上。小学阶段与面积测量和计算有关的内容，重视公式的推导、记忆和应用，忽视对面积度量本质及意义的理解。然而，度量是数学的本质，是人们创造出来认识数学、认识现实世界的工具。［4］面积度量的实质是面积单位的累加，也就是测量图形包含了多少个面积单位。所以，面积单位的累加才是面积测量的本质，而各类面积计算公式只是对面积测量方法的描述。教学时，教师应从注重计算方法转向注重度量单位，超越知识表面，直击知识本质，让学生“知其然知其所以然”。

“云上交通遨碧空，峻岭险峰飘彩虹。磅礴乌蒙通天路，冲破关山万千重。”毕节的交通建设，脚踏实地蹄疾步稳，一个脚印一支歌。

从“平行四边形的面积”的教学来看，部分教师摒弃“数方格”法，直接通过“分、移、补”活动将平行四边形转化为长方形，然后根据原有平行四边形和转化后长方形之间的对应关系，结合“长方形的面积=长×宽”推导出“平行四边形的面积=底×高”。这种“只谈是什么，不谈为什么”的教学，忽视了对转化目的及知识本质的探究，使得学生对平行四边形面积的理解仅仅停留在公式推导上，不能真正理解图形面积的实质是面积单位的累加，而将平行四边形转化为长方形这一行为的目的是实现面积单位的密铺。事实上，基于面积单位的密铺，学生可以通过“数方格”法数出“行数”和“列数”，再根据“行数×列数”的方法直接计算出平行四边形所含面积单位的个数，从而认识到“平行四边形的面积=底×高”的本质是数面积单位。

因此，“平行四边形的面积”的教学需要实现以下目标：理解面积度量的本质是面积单位的累加；理解将平行四边形转化为长方形是为了实现面积单位的密铺；明确面积单位密铺中“列数”“行数”与平行四边形的“底”“高”之间的关系。针对上述教学目标，学生需要经历以面积单位度量图形面积的过程，探究平行四边形的面积不能用“数方格”法直接数出的原因，思考解决问题的办法，构建对象间的联系。具体到教学实践中，可以开展下面两个数学活动。

●数学活动1：结合方格图，解释“长方形的面积=长×宽”。

●数学活动2：在方格纸上数出给定长方形和平行四边形的面积。

在数学活动1 中，学生经历借助方格（面积单位）解释长方形面积计算公式的过程，明白可以用“行数×列数”的乘法计算面积单位的个数，即“长×宽”的本质是数面积单位。基于这样的认识，学生对图形面积的理解不再停留在浅层的“计算方法”层面，而是发展到深层的“度量本质”层面，即图形面积的度量就是测量图形所包含的面积单位的个数，可以用“行数×列数”计算得到。在数学活动2中，学生通过“数方格”法，发现能直接数出长方形的面积，却不能直接数出平行四边形的面积。由此，学生会产生“为什么长方形的面积可以直接数出，而平行四边形的面积不能直接数出”的认知冲突。在这种认知冲突中，学生能够认识到长方形所包含的方格都是“整格”，而平行四边形包含的方格既有“整格”的，也有“不满一格”的，只有被面积单位密铺的图形，才能利用“数方格”法直接数出它的面积。那如何实现“图形被面积单位密铺”呢？学生会想到用剪拼方式将“不满一格”的方格拼成“整格”，并发现所有“凑整”方法中，将“平行四边形转化为长方形”这种方法最为简便。自此，转化这一方法被自然而然地引入，其实质是“实现面积单位的密铺”。与此同时，学生将平行四边形转化为长方形后，可以借助方格纸，利用“行数×列数”计算出平行四边形所包含的面积单位的个数，即平行四边形的面积。接着，通过观察图形，建立“行数”与“高”、“列数”与“底”之间的联系，从本质上解释平行四边形的面积为什么是“底×高”。

三、从个别到一般

小学数学的内容依据其作用可以分为规律性知识、规则性知识和规定性知识三类。其中，规律性知识是对数学中某种客观规律的描述。比如“三角形任意两边的和大于第三边”，它所反映的是三角形的三条边之间的内在联系，是三角形的自然属性，平面上任意一个三角形都具有这种属性。这类知识反映的是客观事实，具有较强的客观性。正是这样的客观性，决定了此类知识对学习者来说具有“确定性”，不以人的意志为转移。［5］认识规律性知识的基本活动是“发现”，强调对具体对象及其关系进行观察和比较，找到制约这些现象及关系的确定性因素，进而通过归纳和解释确定具有普遍性的规律，并对规律进行推广和应用。［6］这样的过程属于“从个别到一般”的认知过程，是在对多个对象及其关系认知和理解的基础上获得适用于同类事物的一般性结论的过程，是一种“注重结论或规律普适性”的认知方式。这样的认知过程和方式可以概括为“形成猜想—验证猜想—得出结论”的基本框架（如图3）。

图3 “从个别到一般”认知框架示意图

●验证猜想：在经历多个对象或寻求多种证据的基础上证明“假设的合理性”。

●得出结论：在对猜想进行验证的基础上得出“一定是什么”的结论。

这一认知过程遵循的思维逻辑是“基于个别对象认为应该是什么，结合多个同类现象或证据进行合理性证明，得出一定是什么”，强调基于多种对象对猜想的合理性进行证明，以获得一般性结论。

“平行四边形的面积”这一内容反映的是平行四边形的面积大小与其内部关键因素（底和高）间的相互依赖与制约的关系，不以人的意志为转移，是对客观规律的描述，属于规律性知识。对于这一知识内容的教学，教科书先从一个“形内高”平行四边形中沿着高分出一个直角三角形，然后把这个直角三角形移动到另一侧，补齐成为长方形，最后结合长方形的面积计算方法推导出“平行四边形的面积=底×高”。这样的设计没有让学生经历由个别到一般的过程，他们无法真正认同结论的有效性并认识转化方法的多样化。基于此，教学时需要实现以下目标：1.构建多种转化方式，异中求同，发现共性；2.证明任意平行四边形的面积都可以用“底×高”计算。对于目标1，学生需要进行自我构建，即用尽可能多的剪拼转化方式将平行四边形变为长方形，并对多种方式进行观察与比较，发现其关键属性。针对目标2，学生要在目标1 的基础上建立对象间的联系，即利用转化后面积相等、对应边长度相等（长=底、宽=高），结合“长方形的面积=长×宽”推导出“平行四边形的面积=底×高”，同时经历借助多种材料或多个对象完成对“平行四边形的面积=底×高”这一假设的验证过程。具体到教学实践中，可以通过下面两个层次的活动来实现。

数学活动1：在方格纸上数出平行四边形的面积。

数学活动2：在方格纸上画出任意三个不同形状的平行四边形，利用数学活动1中得出的规律计算其面积，并通过数一数进行验证。

在数学活动1中，学生面对用“数方格”法不能直接数出平行四边形的面积的情况，经历用剪拼的操作将平行四边形变为长方形的转化过程，通过自我构建、全班交流等形式感受转化方式的多样化。同时，通过对多种转化方法的观察和比较，发现这些转化方式的关键属性是沿着平行四边形的高进行剪拼（如图4），这样才可以保证转化后的图形为长方形。最终，结合对图形转化的观察，发现规律并猜测计算方法为“平行四边形的面积=底×高”。

图4 平行四边形剪拼成长方形示意图

在数学活动2 中，学生利用数学活动1 得出的计算方法“平行四边形的面积=底×高”计算三个不同形状的平行四边形的面积，同时借助“数方格”法数出它们的面积，然后根据两种方法所得到的面积数之间的等价关系来说明计算方法的合理性，进而得出“任意平行四边形的面积都等于底和高的乘积”的一般性结论。

“从否认到确认、从表面到本质、从个别到一般”作为一种“如何知道、知其本质、重视发现”的认知过程，强调学生在接触新知识时要保持怀疑的态度，在经历“为什么不”这样证伪的思维过程后逐渐从否认转向确认，发展学生的批判性思维；鼓励学生超越表面现象，深入挖掘知识内容的本质规律和基本原理，使学生更好地理解数学概念的本质和内涵，掌握其应用方法，并在更高层次上运用数学知识解决问题；重视学生对多个对象及其关系的观察和对规律的发现，培养学生的观察能力和规律性思维。

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》强调：数学课程要培养学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。因此，数学课程及教学应融入“从否认到确认、从表面到本质、从个别到一般”的认知过程，让数学学习成为在多种可能性中进行比较和筛选的过程，成为“知其然知其所以然”的过程，成为基于知识内容及其关系发现规律的过程，真正落实对学生核心素养的培养。