电子朗道能级稳定性系数及应用于强磁化的中子星

谭 俊，赵新军，高志福

(1.运城学院 数学与信息技术学院，山西 运城 044000；2.伊犁师范大学 物理科学与技术学院，新疆凝聚态相变与微结构实验室，新疆 伊宁 835000；3.伊犁师范大学 微纳电传感器技术与仿生器械实验室，新疆 伊宁 835000；4.中国科学院 新疆天文台，新疆 乌鲁木齐 830011)

目前宇宙学认为：宇宙的主要成分是暗物质和暗能量[1-3].磁场无处不在.已经观测到的行星、恒星、星系和星系团的磁场很大，范围也很广.宇宙高能粒子、活动星系核、星暴等活动都与磁场有关[4-6].磁星是一类较为特殊的致密天体[6-7]，其表面磁场超过量子临界磁场Bcr(Bcr=4.41×109T).在这样的强磁场下，电子的朗道能级被强烈地量子化.磁星的典型特征之一是在X 射线波段和软γ射线波段有着超过爱丁顿光度的短期爆发；部分磁星甚至会发射出中等或巨型闪耀，后者在不到0.5 s 内能释放出高达1046J 的能量.软γ射线重复暴和反常X 射线脉冲星被认为是磁星候选者.磁星的闪耀和爆发被解释为由剧烈的磁重联或者壳层破裂造成的，其在宁静状态X 射线辐射归因于超强磁场的衰减[8-9].

在中子星壳层的低密度区域ρ≤ 107kg·m-3，该密度区的组分是56Fe，电子气体处于非简并态，并且原子没有完全离子化.而在中子星壳层的高密度区域ρ≤ 1010kg·m-3，电子是完全简并和相对论的，并处于β平衡中.其分布函数f（Ee）服从费米-狄拉克统计.当温度T→0 时，电子化学势μe称为电子费米能EF(e).电子费米能是致密星的物态方程中一个非常重要的物理量.近年来，不少作者[10-12]对致密星环境下的物态方程、中微子辐射和相对论电子进行研究，并取得丰硕的成果.李新虎等[13]得到“零磁场近似”下的电子费米能表达式：

式中：Ye是电子丰度，其定义为Ye=ne/nb，其中ne和nb分别为电子数密度和重子数密度，方程(1)适用于几乎整个中子星内部相对论电子的物质区域.此外，本课题组还推导出超强磁场中相对论电子压强pe的一般表达式，讨论了朗道能级的量子化及强磁场对物态方程的影响.

与普通射电脉冲星相比，磁星可能是一个密度更大的中子星[14].尽管对磁星的观测和理论研究是当前中子星领域一个重要的热点，但是有关磁星的诸多问题仍然没有得到解决，如磁星的磁场起源与演化、内部温度和表面温度关系、中微子光度、软X/γ 射线辐射机制等问题.对磁星相对论电子的研究不仅仅是一个涉及到量子力学、核物理等学科的物理问题，而且还有助于人们对中子星内部各种Urca 过程、中微子辐射、磁场演化等问题的理解.Zhu 等[15]通过引入电子朗道能级稳定性系数gn，研究了在磁星内部电子的朗道能级的稳定性，推导出超强磁场下相对论EF(e)的特解，并讨论了特解的适用范围.1965 年，Kubo[16]在他所著的统计物理教科书中给出关于强磁化电子气体的微观状态数Npha的计算，得出“在超强磁场中EF(e)随B的增加而减低”的结论.这种计算方法遭到Peng 等[17]的质疑.我们发现：在文献[16]中，作者人为地引入了一个错误的假设，即将非相对论电子回旋运动方程的解应用到相对论电子运动中，得出结论：EF(e)∝1/B.在过去的50 年中，文献[16]被其他作者反复地引用，其结果可能导致人们错误地理解强磁化中子星的物理.由于地球上缺乏中子星量级的强磁场，人们无法在实验室中直接验证EF(e)与B的关系.我们认为，在超强磁场下处理量子化的电子朗道能级应该引入Dirac-δ 函数，动量空间朗道柱面随着B的增加而变得窄长，如果B≥1013T 时，窄长的朗道柱面将会简化为一维或二的线性链，文献[14-15]中的结论将不再适用.重新研究超强磁场下相对论电子无疑对于修正中子星的物态方程至关重要.

本文将在文献[15]的基础上，对中子星超强磁场中相对论电子相关属性进行研究.在第1 部分，给出超强磁场下修正的相对论电子压强表达式；第2 部分，讨论超强磁场下量子电动力学现象；第3 部分，选择强磁化中子星的外壳层晶格物质和外核中理想的npe 物质系统为代表，讨论了超强磁场对物态方程的影响效应；第4 部分是对本文进行总结与讨论.

1 中子星超强磁场中相对论电子的压强

1.1 超强磁场中电子朗道能级稳定性及电子能态密度如果中子星内部磁场太弱，磁场对EF(e)的影响可以忽略.在弱磁场近似下B＜＜Bcr，EF(e)和pe均由ρ和Ye共同决定[14].为了得到在超强磁场中修正的电子压强表达式，我们有必要对文献[15]中的工作进行回顾.在文献[15]中，作者考虑到微观状态的不确定性，首次引入超强磁场中电子的朗道能级稳定系数gn，假定gn具有幂率指数形式：

式中：g0和α分别表示电子的基态能级稳定性系数和能级稳定性指数.很显然，gn是n和α的函数.当n=1 时，g1=g0，即基态和第1 激发态能级具有相同的稳定性.为了简化数值模拟，假定基态能级稳定性最高，即g0=1.由量子力学可知，由于占据能级数n较大的电子具有较高的能量，电子容易发生激发跃迁，从而占据n较小的能级，并且n越大，电子在该能态占据的时间越短，朗道能级稳定性越低，激发跃迁概率越大，因此，α应该为负数[15].

将电子磁矩假定在一个沿着z轴方向的匀强磁场B上.在超强磁场中电子的费米面变成了狭长的朗道柱面，电子在z轴方向动量pz(e)为：

式中：σ=2σ′=±1 是自旋投影值，最大动量的范围是0～EF(e)/c,me是电子的质量，c是光速.在弱磁场极限下，最大能级数nmax→∞.在超强磁场下，nmax由EF2(e) ≥m2ec4(1+2νB*)来限制，其中ν=n+1/2+σ′.引入垂直于磁场的电子动量p⊥[17].在6 维相空间中电子的微观状态数为：

式中：h为普朗克常数, Dn为自旋简并度，当n=0 时,Dn=1,n≥1,Dn=2.方程（4）最终化为[15]

1.2 超强磁场中相对论电子的压强在nmax≥ 6 时，方程（5）中的求和可以用积分来代替.引入变量t=pzc/EF(e)，并且根据泡利不相容原理，电子能态密度等于电子数密度，于是得到：

式中：λe=h/mec是电子的康普顿波长，NA为阿伏伽德罗常数.求解方程（6）给出

对于极端相对论的电子，量纲为1 的费米动量χe=pF(e)/mec＞＞1，高志福等[14]已经证明：在平行和垂直于磁场方向电子的最大动量都等于电子的费米动量.

由式(8)可以看出，在平行和垂直于磁场方向电子压强是相等的，即p⊥=p‖=pe.相对论电子看成是理想的费米气体，将电子的动量进行体积分：

xeφ(xe)→x4e/12π2

式中：φ(xe)是多项式.当 ＞＞1 时，则 ，则方程（9）变为：

由于pe正比于EF(e)的4 次方，由此得出pe∝ne4/3，对比无磁场情况下的指数关系，得到α= -0.5，于是，方程(10)可简化为：

（11）式就是超强磁场中修正的电子压强表达式，其适用范围为ρ≥1010kg·m-3和Bcr＜B≤1013T.根据泡利不相容原理，电子将从最低量子能态填充到最高能态.随着B的增加，越来越多的电子占据更高的朗道能级，但随着能级数n的增加，能级稳定性系数会减小，而ne的增加意味着电子简并压强的增加.

2 超强磁场中量子电动力学现象

2.1 超强磁场对中子星物质的影响超强磁场提供通过修正相对论电子的相空间，这会导致简并的相对论电子重新分布.由核物理知识可知，质子的丰度反映了核物质的非对称性，质子丰度的值与核物质的对称能、体积束缚能等参量密切相关[18-21]；超强磁场可能会增加核物质的非对称性，提高质子的丰度.特别地，在中子星外壳层中，个别原子将沿着这个外加的磁场方向被拉长，由被拉长的原子构成的晶体就与通常的晶体性质有着很大的不同，特别是前者具有明显的各向异性[19].磁场对一个中子星外壳物质结构的影响的大小是由参数η决定：

式中：α0、Z、αB和B8分别是氢原子的第1 玻尔半径、原子核电荷数、量子化磁场中电子云半径以及以108T为单位的磁场[20].当η＞＞Z-3/2时，外磁场决定了核外电子的分布结构.

在文献[20]中，作者基于相对论的Hartree 理论，研究了超强磁场对物质的对称性及β平衡下物质特性，给出了下列结论：在中子星核心处可能存在超强磁场B∽1016T，质子丰度Yp是B和ρ的函数，当B接近质子的量子临界磁场（Bcr(p)∽1.48×1016T），这时质子的朗道能级间的回旋运动动能等于质子的静质能时，Yp的值极大地增强.超强磁场（B∽1016T）通过对质子和电子相空间的强烈修正，能够引起中子→质子（n→p）的大量转换，转换后的物质系统有着更软、更独特的物态方程；质子丰度会高于普通中子星内部质子丰度的平均值（Yp≈Ye=0.05），直接的Urca 反应可能会发生在磁星内部.根据维里定理，在中子星内部当磁场B＞1014T 时，磁场能量EB(EB∽R3B2/6,R表示星体半径)超过引力束缚能Ep（Ep∽3Gm2/5R，G和m分别表示引力常数和星体质量）时，超强磁场会在磁流体中引发一个动力学上的不稳定性.

2.2 超强磁场中电子磁化现象最近，不少学者[22-25]对中子星强磁场下费米子系统自旋极化现象进行研究.相比于质子与中子的自旋完全极化，电子的自旋完全极化给出的中子星内部磁场强度最大值(Bs∽1012T)要低得多，但更符合磁偶极模型对中子星磁场的估计[9-10].

中子星内部出现一个宏观上的感应磁矩，就会导致一个感应磁场，后者的大小取决于电子系统的磁化率χ或磁化强度M.磁星内部可能包括化石起源的原始磁场和顺磁磁化产生的感应磁场[25-26].后者为磁星提供制动力矩，影响磁星辐射特性和内部热演化.电子磁化由2 种成分构成：一是电子内禀磁矩在外磁场中的泡利顺磁部分；二是在外场中电子轨道运动量子化引起的朗道抗磁部分[27].由电动力学可知，磁化强度M= χB及相对磁导率μr=1/(1-μ0χ)，μ0为真空磁导率.当μ0χ→1 时，磁场变得越强，出现这种临界磁化现象.为了讨论方便，引入无量纲磁场B*（B*=B/Bcr）.由文献[27]可知，相对论电子的顺磁磁化系数为：

将n′e=(B*)1/6ne代入到方程（13）中，得到相对论电子总的磁化率χ：

利用方程(14)作出在不同强磁场下相对论电子的χ与ne的关系图，如图1 所示.

图1 在不同磁场下中子星内部相对论电子的磁化率χ 与电子数密度 ne 的变化关系Fig.1 The relation between the magnetic susceptibility χ and number density of relativistic electrons ne in neutron stars with different magnetic field strengths

图1 中的水平点划线表示临界磁化率.当ne一定时，χ随B的增加而增大；当B一定时，χ随ne的增加而增大.因此，临界磁化这种在地球实验室中难以见到的现象，在致密天体中很可能出现，尤其在中子星高密度区域会更容易出现，磁化系数会大于1.对于原生中子星，在以中微子辐射主导的冷却过程中，随着温度的降低，一方面，物质分布的层次性使得中子星内部磁化不均匀，导致磁场诱导项产生；另一方面，顺磁化的电子系统相当于减弱了磁场的扩散，出现等效扩散系数等于0 的临界情况，在中子星磁场演化过程中增加了新的相变可能性.随着扩散的减弱，磁化强度会随着外加磁场的增加而发生振荡，出现De Haas-van Alphen 不稳定性，中子星表现出磁星的活动性，如耀斑和外暴.

3 超强磁场对物态方程的影响

3.1 “中子滴出密度”下的中子星壳层物质当中子星密度增加到约4×1014kg·m-3时，中子数和质子数之比达到一个临界值.超过这个密度的任意增加都会导致原子核内的中子向外逸出，离开原子核形成自由的中子气体，完全的晶格于是被破坏.这种现象称为“中子滴出”现象.通常用ρd表示“中子滴出密度”，它表示一个临界密度.本文考虑在ρd下的BPS 模型(Baym, Pethick & Sutherland 1971)[28]，该模型成功之处在于引入晶格能.在弱磁场近似和超强磁场2 种情况下，对平衡核素出现的物质密度进行对比和分析，研究超强磁场对物态方程的影响.根据文献[28]，中子星外壳层物质被假设由核子数为A、核电荷数为Z的原子核组成的，系统总的能量密度为：

式中：nN是原子核数密度，WN是单原子的能量，WL为立方体心晶体单个原子核的晶格能量：

式中：a= (2/ nN)1/3是晶格常数.Ee(ne) 是单位体积的电子能量，零温下的电子费米能EF(e)为：

式中：μe为电子化学势，物质系统的总压强p的表达式为：

式中：nb表示重子数密度，pe和pL分别为电子压强和晶格压强，它们满足：

每当存在从一种稳定核素(A,Z)到另一种稳定核素(A′,Z′)相变时，就会伴随着重子数密度nb及物质密度ρ（ρ=Etot/c2）的不连续性，在两相边界上，ne基本上是连续的.在低于ρd的任意密度下，平衡核素Z和A的值都是在固定的重子数密度下，使Etot达到最小值时求得的.由于原子核数密度和电子数密度都可以用nb表示：nN=nb/A和ne=nbZ/A，则有n′b-nb≈ne(A′/Z′-A/Z).在给定压强下，核素(A,Z)向核素 (A′,Z′)转变时发生相变，物质密度有跃迁，其程度为：

以核素56Fe (Z/A= 0.464 3)到核素62Ni (Z/A=0.451 6)的相变为例，利用方程(20)计算出物质密度跃迁增加了2.98%.核子的平均吉布斯自由能Gn的表达式：

首先，给定压强p，任取A和Z的试探值，求解总的压强方程（18），然后，由式（21）计算Gn；重复这个过程，直到找到相对于(A,Z)的最小值.采用BPS 模型，我们给出了在弱磁场近似下所发现的物质组分及计算结果.在表1 中，第2 列表示Z/A之比或电子丰度，第3 列表示(A,Z)出现的最大平衡物质密度ρm；第4列为ρ=ρm处的EF(e)，第5 列为ρ=ρm处的pe，pe的值由本文中的方程（11）计算得到，第6 列表示相变处的物质密度的相对变化（注意，本文中的ρd=4.30×1014kg·m-3）.

表1 在弱磁场近似下中子星壳层“中子滴出密度”以下的平衡核素Tab.1 Equilibrium nuclei below "neutron drip density" in the crust of neutron stars under the weak magnetic field approximation

由于在两相边界处的ne几乎相等，并且pe仅仅依赖于ne，因此，在相变处的pe几乎相等.在外壳层，电子丰度Ye=Z/A，将表1 中第5 列的pe值代入到方程（11）中，得到在不同磁场下ρm的值.然后分别取4 种不同的磁场：B*＜＜1、B*=5、B*=20 及B*=100，计算出由(A,Z)到 (A′,Z′)相变时的平衡物质密度，部分计算结果列于表2 中.从表2 可以看出，超强磁场能够对中子星壳层物质特性及物态方程产生极大的影响，随着磁场强度B的增加，核素(A,Z)出现的平衡密度ρm会缓慢地降低，相变会发生在较低的物质密度区域.我们认为：与物质的总压强一样，中子星内部电子压强也是半径的连续函数.

表2 中子星外壳层不同磁场下核素出现的平衡物质密度Tab.2 Equilibrium nuclei density in the outer crust of neutron stars with different magnetic fields

3.2 中子星外核中理想的n-p-e 物质本部分采用与弱磁场近似下所对应的ST 方法（Shapiro &Teukolsky，1983）[21]来处理理想的n-p-e 物质的物态方程.在中子星密度范围为ρ∽(0.5～2.0)ρ0，处于β平衡下的n-p-e 物质，电子是相对论性的，中子和质子是非相对论的.根据ST 方法，当ρ＞＞1016kg·m-3时，中子数nn占主导地位，则有ρ≈mnnn，其中mn为中子质量，nn=1.7×1044(ρ/ρ0) m-3.利用电中性要求，得到np=ne= 9.6×1041(ρ/ρ0)2m-3；β平衡要求动量守恒pF(e)=pF(p)和化学势平衡：

式中：μp=E′F(p)=p2F( p)/2mp为不含静质能的质子化学势,μn=E′F(n)=p2F(n)/2mn为不含静质能的中子化学势.在弱磁场近似下的电子费米能为[16]：

而在超强磁场下的电子费米能为[13]：

（23）、（24）式的适用范围都为ρ∽(0.5～2.0)ρ0.

将方程（24）代入到方程（11）中，得到在超强磁场中理想的n-p-e 物质中pe的表达式：

在图2 中，给出在不同强磁场下pe随ρ的变化图线，其中物质密度的范围和磁场的特征值与图3 中完全相同， 由图2 可以看出，当ρ是一个给定值时，在理想的n-p-e 物质中pe随B*的增加而增大；当B*是一个给定值时，pe随ρ的增加而增大.

图2 在中子星不同磁场下理想的n-p-e 系统中电子压强pe 随密度ρ 的变化关系Fig.2 The relation between electron pressure pe and matter density ρ in an ideal n-p-e system of neutron stars with different magnetic fields

图3 在中子星不同磁场下理想的n-p-e 系统中质子压强pp 随物质密度ρ 的变化关系Fig.3 The relation between proton pressure pp and matter density ρ in an ideal n-p-e system of neutron stars with different magnetic field strengths.

根据文献[21]，我们得到在弱磁场近似下质子化学势的表达式：

通 过 比 较 方 程（24）、（25）和（26），得 到 近 似 关 系：μe≈μn.再 定 义 中 子 量 纲 为1 的 动 量xn=pF(n)/mnc=(2μn/mnc2)1/2，获得一个与φ(xe)完全相同的多项式：

同样地，质子量纲为1 的动量为xp=pF(p)/mpc=(2μp/mpc2)1/2，所对应的多项式φ(xp)与方程（27）的形式完全相同.由于中子和质子都是非相对论的，则有xn＜＜1 和xp＜＜1，方程(32)可简化为φ(xn)→xn515π2，同样地，质子的多项式φ(xp)→xp5/15π2.理想的n-p-e 系统总压强p为：

式中：λp和λn分别为质子和中子的康普顿波长.在弱磁场近似下各成分的压强分别为：

式中利用了电子丰度Ye与物质密度ρ关系：Ye=0.005 65(ρ/ρ0).为了讨论超强磁场对质子和中子压强的影响效应，必须给出超强磁场中电子量纲为1 的动量xe的表达式：

由以上讨论可知，在超强磁场下质子的化学势μp和量纲为1 的费米动量xp写为：

于是，得到在超强磁场下理想的n-p-e 物质系统中质子压强的pp的表达式：

利用方程(32)，我们计算了在不同磁场下理想的n-p-e 系统中pp的值.如图3 所示，在不同的磁场下，理想的n-p-e 物质系统中pp随ρ和度B的变化关系.比较发现，当B一定时，pp随着ρ的增加而增大；当ρ一定时，pp随着B的增加而增大，其中的蓝色点划线由方程（29）中的第2 式拟合得到的.

由方程(27)可知，超强磁场中的中子化学势为μn=μe+μp-Δ(mn-mp)c2，中子和质子的质量差Δ(mn-mp)c2=1.29 MeV，利用Ye随ρ变化的表达式，则中子量纲为1 的费米动量xn为：

于是，得到在超强磁场下理想的n-p-e 气体系统中子压强pn的表达式：

其磁场强度的适用范围为：Bcr＜B≤1013T.利用方程（34），我们计算中在不同磁场下理想的n-p-e 系统中中子 压强pn的 值，主要的 计算结果如 下：当B*＜＜1 时，pn∽2.14×1031～ 2.16×1032Pa；当B*=5 时，pn∽3.77×1032～4.35×1033Pa；当B*=20 时，pn∽6.92×1032～8.09×1033Pa；当B*=100 时，pn∽1.41×1034～1.68×1035Pa.

将方程(25)、(32)和(34)代入到方程(28)中，得到n-p-e 系统中总压强p的表达式：

式（35）适用范围为：Bcr＜B≤1013T.可以看出：总压强p也是一个关于B和ρ的函数，由于在中子星的外核区域，中子压强占主导，即p≈pn，因此，总压强p随B及ρ的变化关系将不再讨论.

本文选择理想的n-p-e 气体为代表性物质系统，忽略了核子之间的相互作用，类似于准粒子近似，其目的是为了简化计算.如果考虑核子相互作用，需要选择合适的物质系统，例如，由核子、电子和μ介子组成的传统中子星，核子的质量要用其有效质量来代替，相关研究可以参考文献[29-30]，这些文献也能得出中子星物质压强随磁场的增加而增大的结论.在实际的中子星环境下，超强磁场会改变空间的球对称性，平行于磁场方向的压强p∥与垂直于磁场方向的压强p⊥存在着一定的差异.在本文所选择的强磁场模型下（B*≤ 103），核子的磁矩可以忽略不计.

4 总结与讨论

本文在我们以往的工作基础上，通过引入电子朗道能级稳定性系数和Dirac-δ 函数，给出超强磁场下修正的相对论电子压强表达式及适用范围；讨论了中子星内部超强磁场QED 效应.考虑了超强磁场对中子星物态方程的影响效应，超强磁场能够对中子星壳层物质特性及物态方程产生影响.研究发现，由于电子压强也是星体半径的连续函数，在壳层中“中子滴出密度”以下的BPS 晶格中，超强磁场会使壳层中核素(A,Z)转化为核素μ′e(A′,Z′)相变发生在较低的物质密度区域，磁场强度越高，发生相变的平衡密度ρm会越低；给出在超强磁场中理想的n-p-e 物质系统中各个组分及总压强的表达式及相关的计算.

2013 年我们对磁星内部压强的各向异性进行讨论[14]，主要的结果如下：当B＜＜1016T 时，星体内部磁化方向与外磁场方向相反，即M＜ 0, Δp＞ 0，或p⊥＞p‖，沿磁场方向磁张压使中子星发生形变，变成类似于地球的旋转椭球星；当B≥1016T 时，可能出现中子磁矩磁化，则M＞ 0,p⊥＜p‖.然而，在本文的理论模型下，由于超强磁场引起的压强各向异性很小，可以忽略不计.由于篇幅有限，本文没有讨论QED 效应对弱相互作用过程的影响，这些将是我们未来研究工作的方向之一.

近30 年来，超强磁场对电子朗道能级的影响已引起人们广泛的广注，研究结果已成功地应用于依靠电子简并压来抵抗引力的白矮星研究之中[31-34].本文研究将为磁星及依靠电子简并压来抵抗引力的强磁化白矮星的物态方程和热演化的研究提供了参考，将为射电脉冲星的等离子磁层数值模拟、高磁场脉冲星及磁星的辐射机制[35-37]、限制中子星引力波上限[38]等相关研究提供有用的信息.